正阳县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

正阳县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________

姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．R

B ．[1，+∞）

C ．（﹣∞，1]

D ．[2，+∞）

2． 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）

{

}

2

|10A x x =-=①；②；③；④．1A ∈{}1A -∈A ??{}1,1A -?A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

3． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（

）

A ．35

B ．

C ．

D ．53

　

4． 已知椭圆

，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（

）

A ．4

B ．5

C ．7

D ．8

5． 设a ∈R ，且（a ﹣i ）?2i （i 为虚数单位）为正实数，则a 等于（ ）

A ．1

B ．0

C ．﹣1

D ．0或﹣1

　

6． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7． 自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 2

2

(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则点轨迹方程为（

）

O P A ． B ． C ． D ．86210x y --=86210x y +-=68210x y +-=68210

x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

8． 下列命题中的说法正确的是（

）

A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”

B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件

C ．命题“?x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”

D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题

9． 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线

的渐近线的距离为（

）

A ．1

B ．

C ．

D ．10

．已知向量

，

，其中

．则“

”是“

”成立的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件11．已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（

）

A ．M ＞N ＞P

B ．P ＜M ＜N

C ．N ＞P ＞M

　

12．在ABC ?中，222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]

A ．(0,

]6

π

B ．[

,)6

π

π C. (0,

]3

π

D ．[

,)

3

π

π二、填空题

13．幂函数在区间上是增函数，则

．

1

22

2)33)(+-+-=

m m x m m x f （()+∞,0=m 14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是

.

【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.15．下列命题：

①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=

，k ∈Z}；

②在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；

③把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x 的图象；

④函数y=sin （x ﹣

）在[0，π]上是减函数

其中真命题的序号是 ．　

16．已知平面向量，的夹角为，，向量，的夹角为，与

a b 3π6=-b a

c a - c b - 23

πc a -= a 的夹角为__________，的最大值为

．c

a c ? 【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.17．已知含有三个实数的集合既可表示成}1,,

{a

b

a ，又可表示成}0,,{2

b a a +，则=+20042003b a

.

18．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的

()0,2()4,0()7,3(),m n m n +值是

．

三、解答题

19．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .

12

（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －1＝0，求m 的值；

（2）讨论函数φ（x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a 的取值范围．

20．（文科）（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．

21．解不等式a 2x+7＜a 3x ﹣2（a ＞0，a ≠1）．

22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，()()323

1312

f x x k x kx =-+++其中.

k R ∈（1）当时，求函数在上的值域；

3k =()f x []0,5（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.

()f x []1,2k

23．（本小题满分12分）

已知圆：的圆心在第二象限，半径为，且圆与直线及轴都

C 02

2

=++++F Ey Dx y x 2C 043=+y x y 相切.

（1）求；

F E D 、、（2）若直线与圆交于两点，求.

022=+-y x C B A 、||AB 24．如图，已知几何体的底面ABCD 为正方形，AC ∩BD=N ，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=2EC ，EC ∥PD ．

（Ⅰ）求异面直线BD 与AE 所成角：（Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD ；

（Ⅲ）判断平面PAD 与平面PAE 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．

　

正阳县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由于f （x ）=x 2﹣2ax 的对称轴是直线x=a ，图象开口向上，故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a ，+∞）上为增函数，又由函数f （x ）=x 2﹣2ax ，x ∈[1，+∞）是增函数，则a ≤1．故答案为：C

2． 【答案】C 【解析】

试题分析：，所以①③④正确.故选C.{}1,1A =-考点：元素与集合关系，集合与集合关系．3． 【答案】D

【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D ．

【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．　

4． 【答案】D

【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，

显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，

，解得m=8

故选D

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．　

5． 【答案】B

【解析】解：∵（a ﹣i ）?2i=2ai+2为正实数，∴2a=0，解得a=0．故选：B ．

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．　

6． 【答案】A

【解析】解：由奇函数的定义可知：若f （x ）为奇函数，则任意x 都有f （﹣x ）=﹣f （x ），取x=0，可得f （0）=0；而仅由f （0）=0不能推得f （x ）为奇函数，比如f （x ）=x 2，显然满足f （0）=0，但f （x ）为偶函数．

由充要条件的定义可得：“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0””的充分不必要条件．故选：A ．　

7． 【答案】D

【解析】由切线性质知，所以，则由，得，

PQ CQ ⊥2

2

2

PQ PC QC =-PQ PO =，化简得，即点的轨迹方程，故选D ，

2222(3)(4)4x y x y -++-=+68210x y --=P 8． 【答案】D

【解析】解：A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错误，B ．由x 2+5x ﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B 错误，C ．命题“?x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2+x+1≤0﹣5，故C 错误，

D ．若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理得sinA ＞sinB ，即命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D 正确故选：D ．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．　

9． 【答案】A

【解析】解：因为抛物线y 2=8x ，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）

又双曲线

．渐近线为y=

有点到直线距离公式可得：d==1．

故选A ．

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．　

10．【答案】A

【解析】【知识点】平面向量坐标运算

【试题解析】若

，则

成立；

反过来，若，则或

所以“”是“

”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A 11．【答案】A

【解析】解：∵0＜a ＜b ＜c ＜1，∴1＜2a ＜2，＜5﹣b ＜1，

＜（）c ＜1，

5﹣b =（）b ＞（

）c ＞（

）c ，

即M ＞N ＞P ，

故选：A

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．　

12．【答案】C 【

解

析

】

考点：三角形中正余弦定理的运用.

二、填空题

13．【答案】【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂

函数是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函

()y x

R α

α=∈αα数在上单调递增，则，若在上单调递减，则；（3）在比较幂值

()y x R α

α=∈()0,+∞α0>()0,+∞0α<的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1

14．【答案】54

【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的x 倍数的数，所以所有输出值的和.54171311751=+++++15．【答案】　③　．

【解析】解：①、终边在y 轴上的角的集合是{a|a=，k ∈Z}，故①错误；

②、设f （x ）=sinx ﹣x ，其导函数y ′=cosx ﹣1≤0，∴f （x ）在R 上单调递减，且f （0）=0，∴f （x ）=sinx ﹣x 图象与轴只有一个交点．

∴f （x ）=sinx 与y=x 图象只有一个交点，故②错误；

③、由题意得，y=3sin[2（x ﹣）+

]=3sin2x ，故③正确；

④、由y=sin （x ﹣）=﹣cosx 得，在[0，π]上是增函数，故④错误．

故答案为：③．

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．　

16．【答案】，.

6

π

18+【解析】

17．【答案】-1【解析】

试题分析：由于，所以只能，，所以。{}2,,1,,0b a a a b a ??

=+????

0b =1a =-()20032003200411a b +=-=-考点：集合相等。18．【答案】345

【解析】

考

点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ，设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0），由h （x ）＝ln x 得h ′（x ）＝，（x ＞0），

1x

则有，

{

1

x 0＝m

mx 0－ln x 0－1＝0)

解得x 0＝m ＝1.∴m 的值为1.

（2）φ（x ）＝x 2＋x ＋a －e x ，

12

φ′（x ）＝x ＋1－e x ，令t （x ）＝x ＋1－e x ，∴t ′（x ）＝1－e x ，

当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0，x ＝0时，t ′（x ）＝0.

∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0，即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减，且当a ＝1有φ（0）＝0.

∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0，当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，

即（a －1）（a －）＜0，

2e －3

2

∴1＜a ＜，即a 的取值范围为（1，）．

2e －322e －3

2

20．【答案】（1）；（2）万；（3）.0.3a 3.6 2.9【解析】

（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：；()0.50.080.160.30.40.520.7385%?++++=<月均用水量低于3吨的频率为：

；

()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%?+++++=>则吨．1

0.850.73

2.50.5 2.90.30.5

x -=+?

=?考点：频率分布直方图．

21．【答案】

【解析】解：当a ＞1时，a 2x+7＜a 3x ﹣2等价于2x+7＜3x ﹣2，∴x ＞9；当0＜a ＜1时，a 2x+7＜a 3x ﹣2等价于2x+7＞3x ﹣2．∴x ＜9．综上，当a ＞1时，不等式的解集为{x|x ＞9}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x|x ＜9}．

【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．　

22．【答案】（1）;（2）.[]1,212k ≥【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再()'f x =()()31x x k --分和两种情况进行讨论；

1k ≤1k >试题解析：（1）解： 时，3k =()3

2

691

f x x x x =-++

则()()()

2

3129313f x x x x x =-+=--'

令得列表

()0f x '=121,3x x ==x 0

()

0,11

()

1,33()

3,53

()f x '+

0 -0

+()

f x 1

单调递增5

单调递减

1

单调递增

21

由上表知函数的值域为()f x []

1,21

（2）方法一：()()()()

2

331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递增1k ≤[]()1,2,'0x f x ?∈≥()f x []1,2所以()()()min 3

1113132

f x f k k ==-+++= 即（舍） 5

3

k =

②当时，，函数在区间单调递减

2k ≥[]()1,2,'0x f x ?∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++?+= 符合题意

③当时,

12k <<当时，区间在单调递减

[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以()()()322min 3

13132

f x f k k k k k ==-+++=化简得：32340k k -+=即()()2

120

k k +-=所以或（舍）

1k =-2k =注：也可令()3

2

34

g k k k =-+则()()2

3632g k k k k k =='--对()()1,2,0

k g k ?∈'≤在单调递减

()3234g k k k =-+()1,2k ∈所以不符合题意

()02g k <<综上所述：实数取值范围为k 2

k ≥

方法二：()()()()

2

331331f x x k x k x x k =-++=--'①当时，，函数在区间单调递减2k ≥[]()1,2,'0x f x ?∈≤()f x []1,2 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++?+= 符合题意 …………8分

②当时，，函数在区间单调递增

1k ≤[]()1,2,'0x f x ?∈≥()f x []1,2所以不符合题意()()min 23f x f <=

③当时,

12k <<当时，区间在单调递减[)1,x k ∈()'0f x <()f x [)1,k 当时，区间在单调递增

(],2x k ∈()'0f x >()f x (],2k 所以不符合题意()()()min 23f x f k f =<=综上所述：实数取值范围为k 2

k ≥23．【答案】（1） ，，;（2）.22=D 24-=E 8=F 2=AB 【解析】

试

题解析：（1）由题意，圆方程为，且，

C 2)()(2

2

=-+-b y a x 0,0>

|

43|=+b a 22=b ∴圆方程为，

C 2)22()2(22=-++

y x 化为一般方程为，0824222

2

=+-++y x y x ∴，，.

22=D 24-=E 8=F （2）圆心到直线的距离为，

22,2(-C 022=+-y x 12

|

22222|=+--=d ∴.

21222||2

2

=-=-=d r AB 考点：圆的方程；2.直线与圆的位置关系.124．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，∴EC ⊥平面ABCD ，又BD ?平面ABCD ，

∵底面ABCD为正方形，AC∩BD=N，

∴AC⊥BD，

又∵AC∩EC=C，AC，EC?平面AEC，

∴BD⊥平面AEC，

∴BD⊥AE，

∴异面直线BD与AE所成角的为90°．

（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，

∴BC∥AD，

∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，

∴BC∥平面PAD，

∵EC∥PD，EC?平面PAD，PD?平面PAD，

∴EC∥平面PAD，

∵EC∩BC=C，EC?平面BCE，BC?平面BCE，∴

∴平面BCE∥平面PAD，

∵BE?平面BCE，

∴BE∥平面PAD．

（Ⅲ）假设平面PAD与平面PAE垂直，作PA中点F，连结DF，∵PD⊥平面ABCD，AD CD?平面ABCD，

∴PD⊥CD，PD⊥AD，

∵PD=AD，F是PA的中点，

∴DF⊥PA，

∴∠PDF=45°，

∵平面PAD⊥平面PAE，平面PAD∩平面PAE=PA，DF?平面PAD，∴DF⊥平面PAE，

∴DF⊥PE，

∵PD⊥CD，且正方形ABCD中，AD⊥CD，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD．

又DF?平面PAD，

∴DF⊥CD，

∵PD=2EC，EC∥PD，

∴PE与CD相交，

∴DF⊥平面PDCE，

这与∠PDF=45°矛盾，

∴假设不成立即平面PAD与平面PAE不垂直．

【点评】本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理能力和空间思维能力．