概率论与数理统计总复习计算题

习题一

1．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

1

(),

02,02(,)8

0,

x y x y x y ??+≤≤≤≤?=???其它

（1） 求X Y 与的边缘密度函数(),()X Y x y ??； （2） 判断X Y 与是否独立？为什么？ （3） 求Z X Y =+的密度函数()Z z ?。

（1）1

1

(1),

[0,2](1),

[0,2](),

()4

4

0,[0,2]

0,

[0,2]

X Y x x y y x y x y ????+∈+∈??==????????

（2）不独立

（3）2

1,0281

()(4),

2480,Z z z z z z z ??≤≤???=-≤≤?????

其它

三、应用题与证明题(28分)

1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，

乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3

件产品中恰有2件次品的概率。

解：（1）设i A 表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i 件次品”，（i=0,1,2,3） 设B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

321123111

33333331233131311

66666661

()()(|)04n

i i i C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C ===?+?+?+?=∑

（2）22()

(|)0.6()

P A B P A B P B ==

3．(8分)设0()1P A <<，证明：A B 与相互独立?(|)(|)P B A P B A =。 证明：因为(|)(|)P B A P B A =?()()()()P AB P A P AB P A =

()[1()][()()]()P AB P A P B P AB P A ?-=- ()()()P AB P B P A ?=

?A B 与相互独立 附表：

0.950.9750.950.951.65, 1.96,(35) 1.6896,(36) 1.6883,u u t t ==== 0.9750.975(35) 2.0301,(36) 2.0281,t t ==

习题二

二、（12分）设连续型随机变量X 的密度为：

,0

()0,0x ce x x x ?-?>=?

≤? （1）求常数c ； （2）求分布函数()F x ； （3）求21Y X =+的密度()Y y ?

解：（1）0

()11x

x dx ce dx c ?+∞

+∞

--∞

=?

==?? （2）0

0,

0()()1,0x

x t x

x F x t dt e dt e x ?---∞≤??

==?=->???? （3）Y 的分布函数1

(){21}{}2

Y y F y P X y P X -=+<=<

11

2

20,11,

10,1

0,

1y y x e dx y e y y y ----??

??>->==????≤≤?

?? 1

21,

1()2

0,1

y Y e y y y ?--?>?∴=??≤?

三、（15分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度为

,01,0(,)0,

c x y x

x y ?<<<

?其它

（1）求常数c ； （2）求X Y 与的边缘密度(),()X Y x y ??； （3）问X Y 与是否独立？为什么？

（4）求Z X Y =+的密度()Z z ?； （5）求(23)D X Y -。 解：（1）1

00

1(,)2

x

c

x y dxdy cdydx ?+∞+∞

-∞

-∞

===

?

?

?

?

， 2c ∴= （2）022,01

()(,)0,

x X dy x x x x y dy ??+∞

-∞

?=<

122(1),01()(,)0,

y Y dy y y y x y dx ??+∞

-∞

?=-<

==?????其它

（3）X Y 与不独立；

（4）/2

1

/2

2,01()(,)22,120,

z z X Y z dy z z z x z x dx dy z z ??+∞+-∞?=<

??

???其它

（5）112230021

2,

232EX x dx EX x dx ====?? 112200112(1),2(1)36EY y y dy EY y y dx =-==-=??

22121111(),()23186318DX DY =-==-=

10012,4x EXY xydydx ==??1211

cov(,)43336

X Y EXY EX EY ∴=-?=-?=

7(23)492cov(2,3)18

D X Y DX DY X Y ∴-=+-=

五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。

解：设1A ={某机床为车床}，19

()15P A =

； 2A ={某机床为钻床}，21

()5P A =；

3A ={某机床为磨床}，32

()15P A =；

4A ={某机床为刨床}，41

()15P A =；

B ={需要修理}，11(|)7P B A =，22(|)7P B A =，33(|)7P B A =，41

(|)7

P B A =

则4

1

22()()(|)105

i i i P B P A P B A ===

∑ 111()(|)9

(|)()22

P A P B A P A B P B =

=

。

习题三

二、计算题（34分）

1、 （18分）设连续型随机变量)(Y X ，的密度函数为

,01,01

(,)0,

x y x y x y ????

??+≤≤≤≤=其他

（1）求边缘密度函数)(),(y x Y X ??； （2）判断X 与Y 的独立性；

（3）计算cov(,)X Y ；（3）求),max(Y X Z =的密度函数)(z Z ?

（1） ?

??≤≤+==其他,01

0,2/1)()(x x x x Y X ??

（2） 不独立。

（3）?

??≤≤=其他,01

0,3)(2z z z Z ?

2、（16分）设随机变量X 与Y 相互独立，且同分布于)10)(,1(<

1,0X Y Z X Y +?=?+?若为偶数，若为奇数

。

（1）求Z 的分布律；

（2）求)(Z X ，的联合分布律；

（3）问p 取何值时X 与Z 独立？为什么？

解（1）求Z 的分布律；

pq Y X P Y X P Z P 2)0,1()1,0()0(===+====

22)1,1()0,0()1(q p Y X P Y X P Z P +===+==== （2）)(Z X ，的联合分布律：

（3）当 5.0=p 时，X 与Z 独立。 三、应用题（24分）

1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。

解：设X 表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X ～)2.0,5(B ，分布律为：

5,...,1,0,8.02.0)(55===-k C k X P k k k

设Y （万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y 的分布律

????

??

?=≥≥-===========057.0)3(,3,2205.0)2(,2,0410.0)1(,1,5328

.0)0(,0,10)(X P X X P X X P X X P X X f Y 则216.5=EY （万元）。

2、（12分）将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为

0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入信道，输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

解：设321,,A A A 分别表示输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的事件，B ~

表示输出为

ABCA 的随机事件。由贝叶斯公式得：∑==31

111)~

()()~

()()~

(i i i

A B P A P A B P A P B A P

1.0)(,4.0)(,5.0)(321===A P A P A P 0064.08.01.01.08.0)~

(1=???=A B P 0008.01.01.08.01.0)~(2=???=A B P 0008

.01.08.01.01.0)~

(3=???=A B P 10.50.00648

()0.50.00640.00080.40.00080.19

P A B

?==?+?+?