河南省十所名校2013届高三考前仿真测试(数学文)

河南省十所名校2013届高三考前仿真测试

数学（文）试题

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效,考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z ＝

5(2)

i

i ＋（i 为虚数单位）的共轭复数所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．已知集合M ＝{x ｜2x －3x ≤0}，N ＝{x ｜y ＝

ln （x －2）}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是 A ．[2，3] B ．（2，3] C ．[0，2] D ．（2，＋∞）

3．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，

则｜a －b ｜＝

A ．5

B

C ．

D ．6

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A B ．

C D 5．将函数f （x ）＝sin （2x ＋

3π）的图象向右平移4

π

个单位 后得到函数y ＝g （x ）的图象，则g （x ）的单调递增区间为

A ．[2k π－

6π，2k π＋3π] （k ∈Z ） B ．[2k π＋3

π

，2k π＋56π] （k ∈Z ）

C ．[k π－6π，k π＋3π] （k ∈Z ）

D ．[k π＋3

π

，k π＋56π] （k ∈Z ）

6．曲线y ＝lnx ＋x 在点M （1，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是

A ．

14 B ．12 C ．34 D ．4

5

7．如果执行下面的程序框图，输出的S ＝240，则判断框中为

https://www.360docs.net/doc/7d18136872.html,/

A ．k ≥15?

B ．k ≤16?

C ．k ≤15?

D ．k ≥16?

8．已知双曲线21x m n

2y －＝

的离心率为3，有一个焦点与抛物线y ＝21

12x 的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为

A ．±y ＝0

B ．x ±＝0

C ．x ±2y ＝0

D ．2x ±y ＝0

9．如图，半径为5cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm 的小圆，现将半径为1cm

的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无

公共点的

概率为

A ．

12 B ．21

25

C ．12

25

D ．34

10．已知四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AC ＝4，CD ＝AB ⊥平面ACD ，则四面体

ABCD 外接球的表面积为

A ．36π

B ．88π

C ．92π

D ．128π 11．设函数f （x ）＝2x

a

－－2k x

a （a ＞0且a ≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是减函数，则g （x ）

＝log ()a x k －的图象是

12．若直线y ＝－nx ＋4n （n ∈N ﹡）与两坐标轴所围成封闭区域内（不含坐标轴）的整点的个数为n a （其

中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则

1

2014

（a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2013）＝ A ．1012 B ．2012 C ．3021 D ．4001

第Ⅱ卷 非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题－第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．如果实数x ，y 满足条件10010x y x y ??

???

－＋≥y ＋1≥＋＋≤，那么目标函数z ＝2x －y 的最小值为____________.

14．已知递增的等比数列{n b }（n ∈N ﹡）满足b 3＋b 5＝40，b 3·b 5＝256，则数列{n b }的前10项和10S ＝

_______________．

15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2x 2

＋y －8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，

使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为_________．

16．对于n

m （m ，n ∈N ，且m ，n ＞2）可以按如下的方式进行“分解”，例如2

7的“分解”中最小的数是

1，最大的数是13．若3

m 的“分解”中最小

的数是

651，则

m ＝

___________．

三、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点（a ，b ）在直线4x cosB －y cosC ＝c cosB 上． （Ⅰ）求cosB 的值；

（Ⅱ）若BA uu r ·BC uu u r

＝3，b ＝a 和c ．

18．（本小题满分12分）

某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方式

培育的树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图（单位：cm ）：

（Ⅰ）依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大?

（Ⅱ）现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm 的树苗中随机抽取两株，求高度为86 cm

的树苗至少有一株被抽中的概率；

（Ⅲ）如果规定高度不低于85cm 的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能

否在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为树苗高度与培育方式有关?”

下面临界值表仅供参考：

19．（本小题满分12分）

如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝6，O 为AC ，BD 的交点．将

四边形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B －ACD ，M 为BC 的中点，且BD ＝ （Ⅰ）求证：OM ∥平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆2221x a b 2

y ＋＝（a ＞b ＞0）的中心在原点，右顶点为A （2，0），其离心率与双曲

线2

13

x 2y －＝

的离心率互为倒数． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过椭圆顶点B （0，b ），斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且

｜BD ｜，｜BE ｜，｜DE ｜成等比数列，求2

k 的值．

21．（本小题满分12分）

已知函数g （x ）＝2

b lnx －bx －3（b ∈R ）的极值点为x ＝1，f （x ）＝

2

12

ax －ax －3． （Ⅰ）求函数g （x ）的单调区间，并比较g （x ）与g （1）的大小关系；

（Ⅱ）记函数y ＝F （x ）的图象为曲线C ，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的

不同两点，如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得x 0＝

12

2

x x ＋且曲线C 在点 M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）存在“中值相依切线”．

试问：函数F （x ）＝g （x ）－f （x ）是否存在“中值相依切线”?请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ACED 是圆内接四边形，延长AD 与CE 的延长线交于点B ，且AD ＝DE ，AB ＝2AC ． （Ⅰ）求证：BE ＝2AD ；

（Ⅱ）当AC ＝2，BC ＝4时，求AD 的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系,xOy 中，曲线C 1：22x y ＋＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l ：3cos θ－2sin θ ＝

8

－．

（Ⅰ）将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C 2，试写出直

线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；

（Ⅱ）求C 2上一点P 到l 的距离的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x －m ｜＋｜x ＋6｜（m ∈R ）． （Ⅰ）当m ＝5时，求不等式f （x ）≤12的解集；

（Ⅱ）若不等式f （x ）≥7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．

数学(文科)·答案

（17）解：（Ⅰ）由题意得 4cos cos cos a B b C c B -=，……………………………（1分） 由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，

所以4sin cos sin cos sin cos A B B C C B ?-?=?，………………………………………（3分） 即4sin cos sin cos sin cos A B C B B C ?=?+?，

所以4sin cos sin()sin A B C B A ?=+=，…………………………………………………（5分） 又sin 0A ≠， 所以1

cos 4

B =

.………………………………………………………………………………（6分） (Ⅱ）由3BA BC ?= 得cos 3ac B =，又1

cos 4

B =，所以12ac =.………………（9分）

由2222cos b a c ac B =+-

，b =2224a c +=，

所以()2

0a c -=，即a c =,………………………………………………………………（11分）

所以a c ==…………………………………………………………………………（12分）

（18）解：（Ⅰ）用甲种方式培育的树苗的高度集中于60～90 cm 之间，而用乙种方式培育的树苗的高度集中于80～100 cm 之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大.……（3分）

（Ⅱ）记高度为86 cm 的树苗为,A B ，其他不低于80 cm 的树苗为,,,,C D E F “从用甲种方式培育的高度不低于80 cm 的树苗中随机抽取两株”，基本事件有：

(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F

(,),(,),(,),(,),(,),(,),C D C E C F D E D F E F 共15个.…………………………………（5分）

“高度为86 cm 的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有：

(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A D A E A F B C B D B E B F 共9个，…………（7分）

故所求概率93

.155

P ==……………………………………………………………………（8分） （Ⅲ）

…………………………（9分）

（20）解：(Ⅰ)

双曲线2213y x -=

的离心率e =

2， 由已知得椭圆的长半轴2a =,又

c a =

，所以c =3分） 所以222

1b a c =-=，………………………………………………………………………（4分）

所以椭圆的方程为2

214

x y +=.……………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得过点B 的直线为1y kx =+，

由22

141x y y kx ?+=???=+?

，得22(41)80k x kx ++=， 所以2814D k

x k =-+，22

1414D k y k

-=+，……………………………………………………（7分） 依题意知0k ≠，且1

2

k ≠±

. 因为,,BD BE DE 成等比数列，所以2

||||||BE BD DE =?，又||,||,||BD BE DE 在y 轴上的投影分别为1,,||D D y b y -，它们满足2

(1)D D b y y =-，即(1)1D D y y -=， ……（9分） 显然0D y ＜，

所以221414k k -=+2

k =

， 所以当,,BD BE DE 成等比数列时，2k =

.…………………………………（12分） （21）解：（Ⅰ）易知函数()g x 的定义域是(0,)+∞，且2

()b g x b x

'=-，……………（1分） 因为函数2()ln 3()g x b x bx b =--∈R 的极值点为1x =，所以2(1)0g b b '=-=，且0b ≠, 所以1b =或0b =（舍去）,………………………………………………………………（3分） 所以()ln 3g x x x =--，1() (0)x

g x x x

-'=

> ， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，

所以1x =是函数()g x 的极大值点，并且是最大值点，…………………………………（5分） 所以()g x 的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞,()(1)g x g ≤.………………………（6分） （Ⅱ）不存在.…………………………………………………………………………………（7分） 理由如下：()()()F x g x f x =-21ln (1),2x ax a x =-+-1

()(1).F x ax a x

'=-+- 假设函数()F x 存在“中值相依切线”．

设1122(,),(,)A x y B x y 是曲线()y F x =上的不同两点，且120x x <<，

则2

2212121212121

1(ln ln )()(1)()

2AB

x x a x x a x x y y k x x x x ---+---==-- 211221ln ln 1

()(1).2

x x a x x a x x -=

-++--…………………………………………………（8分）

曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率

1212012

2() 1.22x x x x k F x F a a x x ++??''===-?+- ?+??……………………………（9分）

依题意得

2112122112ln ln 12

()(1)(1).22

x x x x a x x a a a x x x x -+-++-=-?+--+

化简可得：212112ln ln 2x x x x x x -=-+，即212212121

1

212()ln 1x x x x x x x x x x ??

- ?

-??==++． 设

2

1

(1)x t t x =>，上式可化为2(1)4ln 211t t t t -=

=-++,即4ln 21t t +=+． 令4()ln (1)1h t t t t =+>+,则222

(1)14

()(1)(1)t h t t t t t -'=-=++． 因为1t >,显然()0h t '>，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增,显然有()(1)2h t h >=恒成立． 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4

ln 21

t t +

=+成立．…………………………………（11分） 综上所述，假设不成立．所以函数()()()F x g x f x =-不存在“中值相依切线”．…（12分） （22）解：(Ⅰ) 因为四边形ACED 为圆的内接四边形,所以,BDE BCA ∠=∠………（1分） 又,DBE CBA ∠=∠所以BDE △∽BCA △，则

BE DE

BA CA

=

.……………………………（3分） 而2AB AC =，所以2BE DE =.…………………………………………………………（4分） 又AD DE =，从而2.BE AD =……………………………………………………………（5分）

（24）解：（Ⅰ）当5m =时，()12f x ≤即5612x x -++≤，

当6x <-时，得213x -≤，即132x -≥，所以13

62

x -<-≤；

当65x -≤≤时，得1112≤成立，所以65x -≤≤；

当5x >时，得211x ≤，即11

2

x ≤

，所以1152x <≤.

故不等式()12f x ≤的解集为1311|22x x ?

?-???

?≤≤.………………………………………（5分）

（Ⅱ）因为()()()666f x x m x x m x m =-++--+=+≥， 由题意得67m +≥，则67m +≥或67m +-≤， 解得1m ≥或13m -≤,

故m 的取值范围是(][),131,-∞-+∞ .…………………………………………………（10分）