高中数学复习资料
第一章集合与简易逻辑
开篇集合与逻辑建基础
合页方法和思想立梁柱
编者寄语本部分知识内容是高中数学学习内容与初中学习内容的联结处，是
从初中到高中的思想认识跨越。无论是从学习的方法思想还是从对从前的学习过的知识内容的再认识。由于大量数学符号和带有字母的恒等式（或不等式）变形的出现以至于学习的内容较抽象。同时，对感性认识到的事物现象与数学理论可能产生本质上的差异。比如说，对自然数的理解、对逻辑联结词“或”的理解。因此，在学习过程中要根据知识拓展的特点和规律性，循序渐进地展开学习内容。符号运算的出现是初中没有的，而本部分内容却是大量新符号的运算和新的抽象问题的产生，同时也是新的思想方法的运用。总之，一切都是一个“新”字。
学习设计
集合的基本概念⑴集合元素的三个要素：确定性、无序性、互异性；
⑵集合的表示法：列法、描述法、图表法（韦恩图）。
元素与集合的关系：属于和不属于（∈，?），反映个体与整体之间的关系。
集合与集合的关系：相等、包含与不包含关系。（=，?，?，）
集合的运算：交集（A∩B={x︱X∈A,且x∈B }、并集(A B={x︱x∈A,或x∈B}、
补集(C u A={x︱x∈U,但x?A}
集合中常用性质
①A?B,B?C,A?C(传递性);A?B,B?A,A=B(相等性);A A=A,A A=A (自身性)
②A B=B A,A B=B A （交换律）
③A B=A≒A?B,A B=A≒B?A
④(A B)? A(B) ? (A B)
⑤C U (A B)=(C U A) (C U B ),C U (A B) =(C U A ) (C U B )（德摩根律）
⑥A ?=?;A ?=A;C U?=U;C U U=?;A C U A=?
重要结论：n元素集合共有2 n个子集；其中（2 n -1 ）个真子集，（2 n - 1）个非空子集。
不等式
不等式的性质
①若a>b,则a+c>b+c;②若a>b,c>0,则ac>bc;
③若0 ④若a,b∈R+，则2 2 ab a b a b + + ,当且仅当a=b时，“=”成立。 ⑤a b a b a b -１?，a,b∈R. a b a b ab +=+鄢;0 a b a b ab -=+郏 逻辑联结词常用的逻辑联结词有：或、且、非。 真值表 四种命题的关系①原命题；②逆命题；③否命题；④逆否命题。 充分条件和必要条件充分不必要条件；必要不充分条件； 充要条件；既不充分也不必要条件。 反证法：对命题进行否定，从否定的结论出发，产生矛盾的证明方法。 记忆妙语集合概念很抽象，看书听课施四化：一是运算格式简明化；二是抽象问题具体化；三是抓住实质学会进行转化；四是学习数学语言表达符号化。元素与集合关系与集合之间关系区别大；子集不忘自身和空集、非空集合的真子集要想到空集。集合运算交并补，想到逻辑联结词且或非去连补。学了集合关系式接着学习不等式：学好一元、二元、简单的高次和分式不等式，不要忘却学会解含有绝对值的不等式，同时不等式的解集要用前面学习过的集合知识去表示。学会不等式就开始学习命题逻辑关系式：命题的四种关系和真假判断要注意，特别是对命题的否定和否命题的区分要留意。证明等式和不等式的基本方法有反证法，切记要注意反证法是对命题的否定。理解充分条件和必要条件的关系，还要学习用集合思想判断充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件四种基本条件关系。 求交集口诀：大取大，小取小是找公共部分的小技巧。数（或式）的大小比较：一看正负二比1三作差断四作比五用函数单调性去诊断。 典型例题分析 例1、下列符号语言表述正确的有（）个 （1）0∈{0} （2）0∈?（3）?∈{1} （4）{0}? （5）（2，3）∈{2，3}（6）?∈{? } （7）（1，1）∈{（x,y）︳y=x} A 2 B 3 C 4 D 5 解析：本题主要考查元素与集合和集合与集合的之间关系如何用符号来表示的问题。被选项中（1），（2），（5），（6），（7）体现的是元素与集合的关系，但（5）不正确，（2）是 错误的；（3），（4）体现的是集合与集合的关系。但（3）是错误的表示。故选（C ） 点评：本题关键是区分空集与非空集合以及它们之间有什么关系；二是区分点集和数集；三 是要注意对?∈{ ? }与{ ? } ?的理解，前者表示元素与集合之间的关系，后者 表示空集是非空集合的真子集。 例2集合M ={x |x = 24k p p +,k ∈Z },N ={x |x =42 k p p +,k ∈Z },则( ) A M =N B M N C M N D M ∩N =? 解析 对M 将k 分成两类k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ), M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4 3π ,n ∈Z }, 对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ), N ={x |x =n π+2 π,n ∈Z }∪{x |x =n π+4 3π ,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪ {x |x =n π+ 4 5π ,n ∈Z } 答案 C 点评：本题主要考查集合与集合之间的关系。通过对集合M 、N 的分类发现集 合M 是集合N 的真子集。此题也可列举两个集合的部分元素发现集合M 是集合N 的子集。读者不防一试。 例3、已知集合2 {||2|}A x x x x =?，B={X ︳x 2 – 3ax +2a 2≦0} ，若B A ∩B ， 求实数a 的取值范围． 解：A={x ︱1≤x ≤3,或x=0}.当a<0时,2a ≤x ≤a ；a=0时,x=0； 当a>0时,a ≤x ≤2a.∵B ? A ∩B ?A,∴a 取值范围为1≤a ≤3 2 ,或a=0。 例4、解下列关于的不等式 （1）︱- x 2+3x + 4︱≦x 2 - 3x- 4 ；(2) (x-2 ) ︳x - 3 ︳>0 ； (3) (a-2)x 2 +(a -1) x +1 >0 ； （4）x 3 ︳x ︳( x 2 +3x – 4 ) ≧0 解： （1）︱- x 2+3x +4︱=︱ x 2- 3x - 4︱≤x 2 - 3x- 4等价于x 2 - 3x- 4=0 ∴x=4,或-1，故原不等式的解集为{4，-1} （2）原不等式等价于x – 2>0, 且︱x+3︱≠0,即x>2,且x ≠3 故原不等式的解集为{x ︱x>2,且x ≠3} (3)当a=2时,x> - 1, 当a ≠2时，原不等式等价于(x+1) ( x-1 2a - )>0, ∴当a>3,a<2时,-1 12a -；当2 1 2a - a=3时,x ≠-1。 综上所述，当a=2时，原不等式的解集为{x ︱x> - 1}；当2 为{x ︱1 2a - a>3,a<2时，不等式的解集为{x ︱-1 2a -}；当 a=3时 不等式的解集为{x ︱,x ≠-1}。 （4）原不等式等价于x ( x-1)（x+4） ≧0, ∴不等式的解集为{x ︱-4≤x ≤0,或x ≥1}。 例5、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则 11 a b <．给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③p ←④ q ←，其中真命题的个数为（ ） ()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4 解析：命题P 为真，命题Q 为假，所以①，③为假。 例6、命题p: y=c x – 2 是增函数（C ﹥1），Q ：︳x+3 ︳(x 2-4x+3) ≧0 .若P 或Q 为真，P 且Q 为假，求x 的取值范围。 解：P ：x>2;Q: x ≧3,或x ≤1, x 的取值范围是2 在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =?，证明此结论 命题意图本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨 出所考查的知识点，进而解决问题 知识依托解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =?转化为A ∩C =?且B ∩C =?，这样 难度就降低了 错解分析此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内 涵，因而可能感觉无从下手 技巧与方法 由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值 解 ∵(A ∪B )∩C =?，∴A ∩C =?且B ∩C =? ∵21y x y kx b ì?=+?í?=+?? ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =?∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0 ∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解， 其充要条件是16b 2－16>0, 即 b 2>1 ① ∵???+==+-+b kx y y x x 052242 ∴ 4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0 ∵B ∩C =?,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0 ∴k 2－2k +8b －19<0, 从而8b <20, 即 b <2 5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 224810,230 k k k k ì?-+ 三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 命题意图在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考 生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力 知识依托 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出 来。 错解分析本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索 技巧与方法 画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系 解 赞成A 的人数为50× 5 3 =30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞 成的学生人数为3 x +1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞 成B 而不赞成A 的人数为33－x 依题意(30－x )+(33－x )+x +(3 x +1)=50,解得x =21 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人 例9已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠?,求实 数m 的取值范围 解 由22010(02) x mx y x y x ì?+-+=?í?-+=＃?? 得x 2+(m －1)x +1=0 ① ∵A ∩B ≠? ∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解 首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求 当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内 故所求m 的取值范围是 M ≤ －1 例10． 集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取 什么实数时，A ∩ B ?和A ∩ C =?同时成立 解 log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3} 由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =?，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩ B ?,即A ∩B ≠?, ∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2 当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =?不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =?，A ∩ B ?，∴a =－2 例11．已知函数b ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式0≤)(x f ≤23的解 集是[2,1][2,4]-- ． （Ⅰ）求c b a ,,； （Ⅱ）是否存在实数m 使不等式2 3 (2sin )2 f m q -+<-+ 对一切q ?R 成立？若成立，求出m 的取值范围； 若不存在，请说明理由． 解 （Ⅰ）)(x f 是奇函数?()()f x f x -=对定义域内一切x 都成立?0b =．1分 从而1()c f x x a x 骣÷?= +÷?÷?桫．…2分 又(2)0,(2)0(2)04(2)0.(2)0f f f c f f 祆吵镲 镲圹=?-眄 镲-? 镲铑 ． 再由(1)(3)f f <得0,3.a c ì>??í??? 从而确定0a >． 此时，14()f x x a x 骣÷?= -÷?÷?桫在]4,2[上是增函数（注：此处单调性若不证明，可不扣分），注意到0)2(=f ，则必有2 3 )4(=f ，即143442a 骣÷?-=÷?÷?桫，∴2a =． 综上知，4,0,2-===c b a 。 法2：确定0>a （同法1），则0≤)(x f ≤ 2 3 ?0≤42x x 骣÷?-÷?÷?桫≤a 3 2 2220,0,(1)40,(2)40,2280.2280.x x x x x ax x ax 祆><镲镲镲镲?? 眄 镲镲镲--?- 镲铑 或由题设知， 不等式组（1）的解集必为]4,2[，不等式组（2）的解集必为[2,1]--，从而求得2a =． （Ⅱ）由（Ⅰ），14()2f x x x 骣÷?= -÷?÷?桫，它在(,0)- 以及(0,)+ 上均为增函数， 而3-≤θsin 2+-≤1-，所以(2sin )f q -+的值域为53 ,62 轾犏 -犏臌， 符合题设的实数m 应满足： 233 22 m ->，即20m <， 故符合题设的实数m 不存在． 常见解题误区分析 （1） 要重视发挥图示法（韦恩图）和数轴的作用，通过数形结合思想直观地分析和解 决问题； （2） 注意空集?的特殊性，在解题中，若未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性， 如A ?B ,则有A =?或A ≠?两种可能，此时应分类讨论； （3） 对最高次的项的系数是字母（或关于含有字母的代数式）的不等式、方程和函数时 要讨论其系数在有意义范围内的取值情况； （4） 对逻辑联结词“或”的理解要与语文中的“或”的理解区分开来；要注意数学中的 “或”字包含三层含义。 （5） 当需要分类讨论时，应从整体分析，局部检验，不要遗漏特殊可能的取值也不要扩 大取值范围。 (6) 分式不等式化为整式不等式时要注意有等号的情况. 方法归纳和小结 集合是高中数学的基本知识，为高考必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用 此部分内容主要是领会知识点的基本架构以及正确运用集合符号语言表示关系，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用；掌握四种命题的关系；学会反证法证明的步骤；理解并会运用充分条件和必要条件，并且还能运用集合知识转化化四种条件关系；加强题型练习和答题方法、书写规范的格式等方面的练习。 练习题（提高学生思维能力和解决问题能力） 1．已知命题p ：若220,x y +=则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则 11 a b <．给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③p ?④ q ?，其中真命题的个数为（ ） ()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4 2．,,A B C 是三个集合，那么“A B =”是“A C B C = ”成立的 （ ） ()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件 3．已知函数2 )(x x f =，集合},)1(|{R x ax x f x A ∈=+=，且A ∪R + =R + ，则实数a 的取 值范围是 （ ） ()A (0,)+ ()B ),2(+∞ ()C [4,)+ ()D (,0)[4,)-? 4．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,4M =，{}1,3,6P =，则集合{}5,7,8是（ ） ()A P M ()B P M ()C ()U M P e ()D ()U M P e 5．设集合2 2{|1,},{|45,}A x x a a N B y y b b b N ==+?=-+ ，则下列关系中正确的是（ ） ()A A B = ()B B A D1 ()C A B D1 ()D A B f = 6．下列命题中，使命题M 是命题N 成立的充要条件的一组命题是 （ ） ()A 22:;:M a b N ac bc >> ()B :,;:M a b c d N a d b d >>->- ()C :0,0;:M a b c d N ac bd >>>>> ()D :||||||;:M a b a b N a b -=+ 7．不等式()()2 22240a x a x -+--< 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是 （ ） ()A ()2,2- ()B (]2,2- ()C (],2- ()D (),2-? 8．如果,,a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是 （ ） ()A ab ac > ()B ()0c b a -> ()C 22 cb ab < ()D ()0a c a c -< 9．二次函数)(x f 的二次项系数为正数，且对任意项x R ?都有()(4)f x f x =-成立，若 22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 （ ） ()A 2x > ()B 2x <-或02x << ()C 20x -<< ()D 2x <-或0x > 10．解关于x 的不等式22 21x a a x a --￡-．（当a>1,或a<0时,a 2 ,当a=0,或1时，无解） 11．已知集合2{||2|}A x x x x =?，2 {|20}B x x ax a =-+ ， 若A ∩B=B ，求实数a 的取值范围． 11．解：A={x ︱x=0,或1≤x ≤3},∵A ∩B=B, ∴B í A （1）当B=￠时,0 -2ax+a ≤0在x ∈A 时 有解。∴a=0,或1时，符合题意；令f(x)= x 2 -2ax+a ，由题意知 f(1)≤0, 且 f(3)≤0 得，a≥9,综上所述，a 的取值范围为0≤a≤1,或a≥9 能力达标 1 集合M ={x |x = 24k ππ+,k ∈Z },N ={x |x =42 k ππ+,k ∈Z },则 ( ) A M =N B M N C M N D M ∩N =? 2 已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1 A －3≤m ≤4 B －3 C 2 D 2 3 已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________ 4 x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )| b y a x - =1,a >0, b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________ 5 集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ?和A ∩C =?同时成立 (参考例10) 6 已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0的数，首项a 1和公差d 均为实数，它的前n 项和 记作S n ,设集合A ={(a n , n S n )|n ∈N *},B ={(x ,y )| 41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R } 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明 (1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠? 7． 设f (x )=x 2 +px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }(1)求证 A ?B ; (2)如果A ={－1，3}，求B 6 解 (1)正确 在等差数列{a n }中，S n = 2)(1n a a n +,则21 =n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,n S n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , n S n )均在直线y =21x +21 a 1上 (2) 正确 设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组1221122 114 y x a x y ì??=+??í??-=????的解，由方程组消 去y 得 2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =?；当a 1≠0时， 方程(* )只有一个解x = 1 2 1 24a a --,此时，方程组也只有一解??? ? ???-=--= 12 112 14424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解 ∴A ∩B 至多有一个元素 (3）不正确 取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N * ,有a n =a 1+(n －1)d =n >0, n S n >0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0 如果A ∩B ≠?,那么据 (2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=2114225a a --=-＜0,y 0=103 24 a x +=＜0,这样的(x 0,y 0）?A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =?，所以a 1≠0时一定有A ∩B ≠?是不正确的。 7．解：(1)证明 设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0) 即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ?B (2)证明 ∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x }, ∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得 13(1),1(1)33 p p q q 祆-+=--=-镲镲T眄镲-?=-镲铑 ∴f (x )=x 2－x －3 于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*) 的根, 将方程(*)变形，得(x 2－x －3)2－x 2=0 解得x =1,3,3,－ 故B ={－3，－1，3，3} 误解:∵A={-1,3},∴-1,3 是方程x 2+px+q=x 的根, ∴p=-1,q=-3 ∵ A ?B, ∴x 2-x-3=-1, x 2-x-3=3 即 x=-1,-2,2,3∴ B={-1,-2,2,3} 对“空集”的妙用两例 例1、方程ax 2 + 2x + 1= 0 至少有一个负实根的充要条件是------------------------。 解：设方程至少有一个负实根时，a 取值集合为A ；于是 方程只有正实根时，a 的取值集合为B = ?；方程无实根时， a 的取值集合为 C = {a ︱a ﹥1}。因此 A=) (C B R C ?={a ︱a ≦1} 即 方程ax 2 + 2x + 1= 0 至少有一个负实根的充要条件是 a ≦1 例2、已知集合P=[12 ， 2]，函数Y=log 2(ax 2 – 2x+2)的定义域为Q ，若P ∩Q= ?，求实数a 的取值范围。 分析：设不等式ax 2 – 2x+2 ≦ 0在（-∞，1 2 ）∪（2，+∞）上恒成立时a 的取值集合为A 当P ∩Q=?时，实数a 的取值集合为B 令f(x)= ax 2 – 2x+2，故f( 1 2 )≦0, 且 f(2)≦0, 于是得 a ≦ -4 即 A={a ︱a ≦ - 4},由P ∩Q ≠?，知 ，不等式ax 2 – 2x+2 > 0在[1 2，2]上有解. 因此不等式ax 2 – 2x+2≦0在（-∞，1 2）∪（2，+∞）上恒成立 所以，由 A ∩B =?，得B={a ︱a>-4},所以a 的取值范围为 a>-4. 基础提升 一、选择题 1. 若集合A=｛x|（x-1）（x-2）> 0｝，B=｛x| 1 2 x x --30｝，C=｛x|(x-1)(x-2)231｝ ，则 （ ） （A ）A B C == （B ）A B C 烫 （C ）A B C 吞 （ D ）A B C ?