2015届高考调研文科课时作业77

课时作业(七十七)

1．若直线的参数方程为???

x ＝1＋2t ，

y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )

A.2

3 B ．－23 C.32 D ．－32

答案 D

2．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.?

??

x ＝t ，y ＝t 2

(t 为参数) B.???

x ＝sin 2t ，y ＝sin t

(t 为参数) C.???

x ＝t ，y ＝|t |(t 为参数) D.???

x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t (t 为参数)

答案 D

解析 考查四个选项：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ； 对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，但要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t

2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2即符合y 2＝x .

因此D 是正确的，故选D.

3．与参数方程为???

x ＝t ，

y ＝21－t (t 为参数)等价的普通方程( )

A ．x 2

＋y 2

4＝1

B ．x 2

＋y 2

4＝1(0≤x ≤1)

C ．x 2

＋y 2

4＝1(0≤y ≤2)

D ．x 2

＋y 2

4＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)

答案 D

解析 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y

24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.

4．圆C ：???

x ＝1＋cos θ，

y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为____________，设O 为坐

标原点，点M (x 0，y 0)在C 上运动，点P (x ，y )是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为____________．

答案 (x －1)2＋y 2＝1 (x －12)2＋y 2＝1

4 解析 ∵???

x －1＝cos θ，

y ＝sin θ，

∴(x －1)2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.

M 点的坐标可以设为M (1＋cos θ，sin θ)，则P (1＋cos θ2

，sin θ

2)，即???

2x －1＝cos θ，

2y ＝sin θ.

∴(2x －1)2＋(2y )2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴点P 的轨迹方程为(x －12)2＋y 2＝1

4.

5．已知直线l 的参数方程是???

x ＝1＋t sin α，

y ＝－2＋t cos α(t 为参数)，其中实数α的范围

是(0，π

2)，则直线l 的倾斜角是________．

答案 π

2－α

解析 首先要根据α的范围把直线的参数方程化为标准参数方程，根据标准式结合α的范围得出直线的倾斜角．

直线l 的参数方程可以化为?????

x ＝1＋t cos (π

2－α)，

y ＝－2＋t sin (π

2－α)(t 为参数)，所以根据方

程可知直线的倾斜角是π

2－α.

6．已知抛物线C 的参数方程为???

x ＝8t 2

，

y ＝8t

(t 为参数)．若斜率为1的直线经

过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.

答案

2

解析 由抛物线参数方程???

x ＝8t 2

，

y ＝8t

消去t ，得y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)．

∴直线l 的方程为y ＝x －2.

又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|1＋1

＝ 2.

7．(2014·衡水调研卷)直线??? x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆???

x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.

答案 π6或5π

6

解析 直线y ＝x tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12.∴α＝π6或5π

6.

8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???

x ＝cos α，

y ＝1＋sin α(α为参数)．在

极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．

答案 2

解析 曲线C 1的参数方程为???

x ＝cos α，

y ＝1＋sin α，

化为普通方程x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，r ＝1.

曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程x －y ＋1＝0，则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.

9．圆C ：???

x ＝1＋2cos θ，

y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x

－y ＋m ＝0相切，则m ＝______.

答案

2 －1或3

解析 由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |

1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或

3.

10．求直线?????

x ＝1＋45t ，

y ＝－1－3

5t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π

4)所截的弦长为

________．

答案 7

5

解析

将方程?????

x ＝1＋45t ，

y ＝－1－3

5t ，

ρ＝2cos(θ＋π

4)分别化为普通方程3x ＋4y ＋

1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C (12，－12)，半径为22，圆心到直线的距离d ＝1

10，弦长＝2r 2

－d 2

＝2

12－1100＝75.

11．将参数方程???

x ＝3sin 2

θ，

y ＝4cos2θ

(θ为参数)化为普通方程，并指出它表示的曲

线．

答案 8x ＋3y －12＝0(x ∈[0,3])，表示一条线段

解析 y ＝4cos2θ＝4－8sin 2

θ，由x ＝3sin 2

θ，得sin 2

θ＝x

3.

∴y ＝4－8

3x ，即8x ＋3y －12＝0. ∵x ＝3sin 2θ∈[0,3]，

∴所求普通方程为8x ＋3y －12＝0(x ∈[0,3])，它表示一条线段．

12．已知圆锥曲线???

x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥

曲线的左、右焦点．

(1)求经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；

(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．

答案

(1)???

??

x ＝3

2t －1，y ＝12t

(t 为参数)

(2)ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3

解析 (1)圆锥曲线???

x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程是x 24＋y 2

3＝1，所以F 1(－1,0)，

F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝

0－3

1－0

＝－3，于是经过点F 1垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝3

3，直线l 的倾斜角是30°，所以直线l 的参数方程是?

??

x ＝－1＋t cos30°，y ＝0＋t sin30°(t 为参数)， 即???

??

x ＝3

2t －1，y ＝12t

(t 为参数)．

(2)方法一：直线AF 2的斜率k ＝0－3

1－0

＝－3，倾斜角是120°.设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点，

则根据正弦定理得ρ

sin60°＝1

sin (120°－θ)

，

即ρsin(120°－θ)＝sin60°， 即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.

方法二：直线AF 2的直角坐标方程是y ＝－3(x －1)， 将???

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ代入得直线AF 2的极坐标方程 ρsin θ＝－3ρcos θ＋3，即ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.

13．(2014·保定模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为???

x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α

(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 的相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 答案 (1)A (0,0)，B (22，7π

4) (2)???

x ＝－1＋t ，y ＝1

(t 为参数)或?????

x ＝－1－4

5t ，

y ＝1＋3

5t

(t 为参数)

解析 (1)直线l 的普通方程为y －1＝－(x ＋1)， 即y ＝－x .①

曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.② ①代入②，得2x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. ∴A (0,0)，B (2，－2)，极坐标为A (0,0)，B (22，

7π

4

)． (2)由题意可得圆心C (2,0)到相交弦的距离为22－(3)2＝1. 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，即y ＝kx ＋k ＋1. ∴|2k ＋k ＋1|k 2＋1

＝1，∴k ＝0或k ＝－

34.

∴l ：??

?

x ＝－1＋t ，y ＝1

(t 为参数)或?????

x ＝－1－4

5t ，

y ＝1＋3

5t

(t 为参数)．

14．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π

4)＝m (m >0)的距离为3.

(1)求实数m 值；

(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

答案 (1)m ＝2 (2)(x ＋28)2＋(y －28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，1

4为半径的圆

解析 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.

由点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2m |

2＝1＋m ＝3，

∴m ＝2.

(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π

4)＝2， 设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则???

ρρ0＝1，θ＝θ0????

??

ρ0＝1ρ，θ0＝θ.

①

因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π

4)＝2.②

将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π

4)．化为直角坐标方程为(x ＋28)2＋(y －28)2＝1

16.

则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，1

4为半径的圆．

15．已知圆ρ＝2，直线l ：ρcos θ＝4，过极点作射线交圆于A 点，交直线l 于B 点，直线l 与极轴的交点为N .

(1)求AB中点M的轨迹的极坐标方程；

(2)判断△OMN能否为等边三角形，并说明理由．

答案(1)ρ＝

2

cosθ＋1(2)△OMN不可能为等边三角形

解析(1)设M(ρ，θ)，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，

则θ＝θ1＝θ2，且2ρ＝ρ1＋ρ2.

由于ρ1＝2，得ρ2＝2(ρ－1)．

而B(ρ2，θ2)在直线l：ρcosθ＝4上，则ρ2cosθ2＝4，

则2(ρ－1)cosθ＝4，则ρ＝

2

cosθ＋1.

所以AB中点M的轨迹的极坐标方程为ρ＝

2

cosθ＋1.

(2)若△OMN为等边三角形，则∠NOM＝60°.

那么此时|OM|＝

2

cos60°＋1＝5，而|ON|＝4，知|OM|≠|ON|.

那么△OMN不可能为等边三角形．

16．已知直线l：ρsin(θ－π

4)＝4和圆C：ρ＝2k·cos(θ＋

π

4)(k≠0)，若直线l上

的点到圆C上的点的最小距离等于2.

(1)求圆心C的直角坐标；

(2)求k值．

答案(1)C(

2

2k，－

2

2k)(2)k＝－1

解析(1)ρsin(θ－π

4)＝4化为ρ(sinθcos

π

4－cosθsin

π

4)＝4，∴x－y＋42＝0即

l方程．

又将⊙C方程化为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，

即(x－

2

2k)

2＋(y＋

2

2k)

2＝k2.∴C(2

2k，－

2

2k)．

(2)∵直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2，

∴|

2

2k＋

2

2k＋42|

2

＝|k|＋2.即|k＋4|＝|k|＋2.

两边平方，得8k＝4|k|－12.

k>0时，4k＝－12，k＝－3(舍)；k<0时，12k＝－12，k＝－1.

综上k值为－1.