正余弦定理解三角形题型归纳总结

专题：正弦定理和余弦定理

考点集结

一、正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理

余弦定理

内容

2sin sin sin a

b

c R

A

B

C

=

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2cos ,2cos ,2cos .

a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+- 变形形式

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=

2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c

R

; ③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

sin sin sin sin a b c a A B C

A

++=

++

222

2

2

2

2

2

2

cos ;

2cos ;2cos .

2b c a

A bc a c b

B ca a b c

C ab

+-=+-=+-=

解决的问题

① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他

两角。

① 已知三边，求各角； ② 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

注：在ΔABC

中，sinA>sinB

是A>B

的充要条件。（∵

sinA>sinB ?

22a b R

R

>?a>b ?A>B ）

二、应用举例

1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

①北偏东α

即由指北方向顺时针旋转α

到达目标方向；

②北偏本α 即由指北方向逆时针旋转α 到达目标方向；

③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式

（1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()22

2

4abc S ab C ac B bc A R R

==

=

=

为外接圆半径；

（3）1()()2

S r a b c r =

++为内切圆半径。

考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用

〖例1〗（11浙江文）在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，

则2sin cos cos A A B +=（ ） A ．

12

B ．

12

C ． -1

D ． 1

答案：D

在△ABC 中，2

22sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是

（A ）(0,]6

π

（B ）[,)6

π

π

（C ）(0,]3

π

（D ）[,)3

π

π

答案：C

解析：由2

2

2

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得2

2

2

a b c bc ≤+-，即2

2

2

122

b c a

bc

+-≥

，

∴1cos 2

A ≥

，∵0A π<<，故03

A π<≤

，选C ．

考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围 〖例2〗（1）（10

上海文）若△A B C 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则

△A B C

A ．一定是锐角三角形.

B ．一定是直角三角形.

C ．一定是钝角三角形.

D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得011

5213115cos 2

2

2

c ，所以角C 为钝角

（2）在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC

cos A

的值等于______，AC 的取值范围为________．

解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BC sin A . 即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴AC

cos A

＝2.

∵△ABC 是锐角三角形，

∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π

4

.

由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 答案：2 (2，3)

1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且b a －b ＝sin2C

sin A －sin2C

(1)判断△ABC 的性状；

(2)若|BA ＋B C |＝2，求BA ·B C

的取值范围． 解：(1)由b a －b ＝sin2C sin A －sin2C 及正弦定理得sin B ＝sin2C ，

∴B ＝2C ，且B ＋2C ＝π，

若B ＝2C ，π3＜C ＜π2，∴2

3π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)；

∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形． (2)∵|BA

＋B C |＝2，∴a 2＋c 2

＋2ac ·cos B ＝4， ∴cos B ＝2－a 2

a 2(∵a ＝c )，

而cos B ＝－cos2C ，π3＜C ＜π

2，

∴1

2

＜cos B ＜1， ∴1＜a 2

＜43

，

又BA ·

B C ＝ac cos B ＝2－a 2

，∴BA ·B C ∈(23

，1)． 2、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c

2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为

( )

A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形或直角三角形

D ．等腰直角三角形 解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝a

c ，

∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ， ∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2

，

∴△ABC 为直角三角形． 答案：B

考点三：利用正余弦定理求三角形的面积

〖例3〗（2009浙江文）在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足

25cos

25

A =，3A

B A

C ?=

．

（I ）求A B C ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解析：（Ⅰ）

5

3

1)5

52(

212

cos 2cos 2

2

=

-?=-=A A w w 又),0(π∈A ，

5

4cos 1sin 2

=-=A A ，而35

3c os ...==

=bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ，所以

ABC ?的面积为：25452

1sin 2

1=?

?=A bc

（Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 22

2

=?-+=

-+=

A bc c b a

1、在A B C ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos

25

A =，3A

B A

C ?=

．

（I ）求A B C ?的面积；

（II ）若6b c +=，求a 的值． 解 （1）因为25

cos 25

A

=

，2

34cos 2cos

1,sin 2

5

5

A A A ∴=-=

=

，

又由3AB AC ?=

得cos 3,bc A =5bc ∴=，1

sin 22

A B C S bc A ?∴=

=

（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得 222

2cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=

2、在?ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=13

。

（I ）求sinA 的值； (II)设AC=

6，求?ABC 的面积。

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本

小题满分12分 解：（I ）由sin()1,,C A C A ππ-=-<-<知2

C A π

=+。

又,A B C π++=所以2,2

A B π

+=

即2,0.2

4

A B A π

π

=

-<<

故2

13cos 2sin ,12sin ,sin .3

3

A B A A =-==

B D

C

A

(II)由（I ）得：6cos .3

A = 又由正弦定理，得：sin ,32,sin sin sin

B

C A C A B C A C A

B

B

==?=

所以11sin cos 3 2.2

2

A B C S AC BC C AC BC A ?=

??=??=

考点四：利用正余弦定理求角

〖例4〗（2011届稽阳联考）如右图，在△ABC

中，D 为BC 边上一点，

βα=∠=∠CAD BAD ,，10

103cos ,5

52cos ==

βα．

（1）求BAC ∠的大小； （2）当中点为BC D 时，求

AD

AC 的值．

解：（1） 由已知，5

5cos 1sin 2

=-=αα …………………1分

10

10cos 1sin 2

=

-=ββ…………………2分

βαβαβαsin sin cos cos )cos(cos -=+=∠BAC …………3分 2

2

10105510103552=

?-?=

…………………5分 ∵),0(π∈∠BAC ∴4

π

=∠BAC ．………………………… 7分

（2）B

AD ABD sin sin BD

=?α

中，

（1）…………………9分

B AC

ABC sin )sin(BC =

+?βα中，（2）………………11分 5

10225

52)

sin(sin 2sin )

sin()

1()2(21=

?

=+=

?+=

=∴=βαααβαBD

BC AD

AC BC BD 14分

（2010山东文）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

若2a =，2b =,sin cos 2B B +=,则角A 的大小为 .

【解析】由sin cos 2B B +=

得12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0

B

D C

A

以B=45 ，又因为2a =，2b =，所以在A B C ?中，由正弦定理得：

22=

sin A

sin 45

，

解得1sin A 2

=

，又

考点五：正余弦定理实际应用问题

〖例5〗（本小题满分12分）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋

3)海里的两

个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于

B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的

C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达

D 点需要多长时间？ 解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，

∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.

在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB ，

∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°

sin 105°

＝

5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)

3＋1

2

＝103(海里)．

又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，

在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×1

2＝900，

∴CD ＝30(海里)， ∴需要的时间t ＝

30

30

＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时． 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在

一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时 ( ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 解析：如图所示，设A 、B 为相距10海里的灯塔，半小时后这艘船到达S 点， 则∠ASB ＝75°－60°＝15°，∠SBO ＝30°，∴∠SAB ＝15°， 即AB ＝BS ＝10，∴SO ＝1

2

SB ＝5，

设船的速度为v ，则1

2

v ＝5，∴v ＝10. 答案： C

【当堂应用】

1.(2010

年高考宁夏卷文科

16)在ABC 中，D 为

BC

边上一点，

3BC BD =,2AD =,135ADB ο

∠=.若2AC AB =,则BD=_____【答案】25+

2.（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科14）已知α为第二象限的角，3s i n 5

a =

,则

tan 2α= .

24

7

-

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为α为第二象限的角,又3sin 5

α=, 所以4cos 5

α=-

，sin 3tan cos 4

ααα

=

=-

,

所2

2tan 24tan(2)1tan 7

ααα

=

=-

-

3.（2010年高考全国卷Ⅱ文科13）已知α是第二象限的角,tan α=1/2，则cos α=__________

【解析】255

- ： ∵1tan 2α=-

，∴

25cos 5

α=-

4.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝20

3

，b sin A ＝4.

(1)求cos B 和a ；

(2)若△ABC 的面积S ＝10，求cos4C 的值． 解：(1)由b sin A ＝4，得a sin B ＝4， 又a tan B ＝203，∴cos B ＝35

. 又由a tan B ＝

203知tan B >0，则sin B ＝45，tan B ＝4

3

，故a ＝5. (2)由S ＝1

2

ac sin B ，得c ＝5，∴A ＝C .

由cos4C ＝2cos 22C －1＝2cos 2(A ＋C )－1＝2cos 2

B －1＝2×(35)2－1＝－725

.

5、设A B C ?的内角A 、

B 、

C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2

A C

B -+=，2

b a

c =，

求B 。 09全国卷7页

分析：由3

c o s ()c o s 2

A

C B -+=，易想到先将()B A C π=-+代入3c o s ()

c o s 2A C B -+=得3

cos()cos()2A C A C --+=。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4

A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2

sin sin sin B A C =，

进而得3sin 2

B =

.故23

3B π

π=

或

。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23

B π=时，由1cos cos()2

B A

C =-+=-，进而得3cos()cos()212

A C A C -=++

=>，矛盾，

应舍去。

也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23

B π=

。不过这种方法学生不易想到。

6、如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，

速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75°，求山顶的海拔高度。

解：在△ABP 中，∠BAP=30°，∠APB=75°－30°=45°

660

2180=?

=AB

根据正弦定理，

BAP

BP APB

AB ∠=

∠sin sin ，

30

sin 45

sin 6BP =

，23=BP

23

33)3045sin(2375sin +=

+?=?

BP

所以，山顶P 的海拔高度为2

3

3172

3

3310-=

+-=h （千米）