概率统计教案

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件

教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。 教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。 教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。 教学内容： 1、随机现象与概率统计的研究对象 随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。 研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。 2、随机试验（E ） 对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。 3、基本事件与样本空间 （1）基本事件：E 中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用表示。 （2）样本空间：E 中所有基本事件的集合称为这个随机试验E 的样本空间，用表示。 4、随机事件 （1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A 、B 、C 等表示。 （2）随机事件的集合表示 （3）随机事件的图形表示 必然事件（）和不可能事件（E ） 5、事件间的关系与运算 （1）包含（子事件）与相等 （2）和事件（加法运算） （2）积事件（乘法运算） （3）互斥关系 （4）对立关系（逆事件） （5）差事件(减法运算) 6、事件间的运算规律 （1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律 教学时数：2学时 作 业：习题一 1、2

ωΩΩ

第二节 概率的定义

教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。 教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。 教学内容： 1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。 2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定

P(A)=

3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验

向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域内(称事件A 发生)

的概率与的度量成正比，而与的位置和形状无关。

（2）几何概率。在几何型试验中规律定

P(A)=

4、频率与统计概率 （1）事件的概率

设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值

为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为 （2）频率的性质

○1；○2；○3； ○4时，； ○5 随机性：的出现是不确定的；○6稳定性： （3）统计概率，规定

P(A)=P

（4）统计概率的计算

(n 很大)

5、概率的基本性质

n

k

A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数1G 1G 1G 的度量

的度量

G G 1n

r

n

r A f n =)(1)(0≤≤A f n 1)(=Ωn f 0)(=Φn f Φ=AB )()()(B f A f B A f n

n n +=+r )()(∞→→n p A f n

n

r

A p ≈

)(

从以上三种定义的概率中可归纳得到： （1）0 （2） （3）

（4）若AB=，则 教学时数：2学时

作 业：习题 一 4、7、8、11

;1)(≤≤A P 1)(=ΩP 0)(=φP φ)()()(B P A P B A p +=+

第三节 概率的公理化体系

教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式求概率。 教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。 教学难点：用概率基本公式计算概率。 教学内容：

1、概率的公理化定义

（1）为什么要用公理定义概率 ○

1数学特点 ；○2深入研究的需要；○3是第二节中三种特殊形式的扩展。 （2）定义

设A 为随机试验E 中的任何事件，如果函数P(A)满足 公理一(范围) 0； 公理二(正则性) ；

公理三(可列可加性)。若可列个事件两个互斥，则

则称P(A)为事件A 的概率。 2、概率的性质 从公理出发，可以严格证明

性质1：

性质2：若事件两两互斥，则

性质3：对任何事件A ， 性质4：若

性质

注：○1 ○2

性质5 P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)

注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展 教学时数：2学时

作 业：习题一 15、16

1)(≤≤A P 1)(=ΩP ΛΛn A A A A 321,,)()(1

1

∑∑∞

=∞==n n n n A P A p 0)(=φP ΛΛn A A A A 321,,)()(1

1

∑∑===n

n i

n n i

A P A p )(1)(A P A P -=P(A)-P(B)B)-P(A ,=?则

B A ‘

4P(AB)-P(B)A)-P(B )A P(B ==P(AB)-P(A)B)-P(A )B P(A ==)()(B P A P B A ≤?

第四节 条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式

教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的应用。 教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。 教学内容： 1、条件概率

（1）实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书例，在具体问题

求条件概率。 （2）定义：若P(B)>0，称

为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率。 2、概率的乘法公式

(1)

(2)

(3) 3、概率的全概率公式与贝叶斯公式

(1)看书。例3 分析和解决看两公式的实际背景。

(2) 定理1 设事件两两互斥，且，对于任何

事件B ，若

，则有 (全概率公式)

(3) 定理2 ，定理1中的事件中，又，则有

(m=1,2,)(贝叶斯公式)

教学时数：2学时

作 业：习题一 12、14、17、18

20p )

()

()|(B P AB P B A P =

)()()(B A P B P AB P ?=)()(A B P A P ?=)()()()(AB C P A B P A P ABC P =()

12121312121)()()()(-=n n n A A A A P A A A P A A P A p A A A P ΛΛΛ23p n A A A A Λ321,,),2,1(0

)(n i A P i Λ=>B A

n

i i

?∑=1

)()()(1

∑==n

i i i A B p A P B p 0)(>B P =

)(B A P m ∑=n

i i

i

m m A B p A P A B p A P 1

)

()()

()(n Λ

第五节 独立试验概型

教学目的：掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算；掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。 教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。 教学内容： 1、两事件的独立性 定义1 对任意两事件A ，B ，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A 、B 相互独立。 2、两事件独立的性质

若事件A 与B 独立，则事件A 与，，都相互独立。

3、三事件的独立性 定义2 设有事件A 、B 、C ，若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C)，则称事件A ，B ，C ，两两相互独立；又，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A ，B ，C 相互独立。

4、n 个事件的独立性

定义3、设有事件，若 其中()为(1,2，

中任意S 个不同的数。（）则事件相互独立。

5、独立情况的概率公式

定理1．设事件相互独立，则

（1）

（2）

定理2、若事件独立，则分别与独立。 6、贝努里概型

（1）贝努里试验：只有两个结果（和）的试验。

（2）重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复次。也称贝努里概型。

7．二项概率公式

在重贝努里试验中，时间恰好发生次的概率为

教学时数：2学时 作 业：习题一

19、23、26、27、28

B B 与A B 与A n A A A A Λ321,,()

s i i i A p A p A P Λ)()(21s i i i ,,,21Λ)n Λ2,3,,s n =L n A A A A Λ321,,n A A A A Λ321,,11

(

)()n n

i

i

i i P A P A ===∑∑1

1

(

)1()n

n

i

i

i i P A P A ===-∑∑,,A B C A B AB A B +-、、C A A (),(),01,1P A p P A q P p q ==<<+=n n n A k (),0,1,2,,k k n k

n n P k C p q k n -==L

第二章 随机变量及其分布

第一节

随机变量与分布函数

教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，掌握随机变量的分布函数的概念和性质。 教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。 教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。 教学内容： 1．随机变量的概念 （1）引入随机变量的目的 深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。 （2）定义

定义1、设随机试验的样本空间为，若，有一个实数与之对应，则称为随机变量，并简记为。 2．事件的表示

（1）对的取值加上形式的限制条件。 （2）为一个数集。 3．概率分布

（1）随机变量取得概率的点及其数量的分布情况。 （2）可用的概率分布确定表示的事件的概率 （3）两个大的类型：

离散型随机变量与连续型随机变量 4．分布函数

（1）定义2、设有随机变量，对于任何实数，称概率为随机变量的分

布函数。记为 （2）分布函数的几何意义

落在数轴点左侧（含点）处概率的数量。 （3） 5．分布函数的性质 （1）

（2）

Ωω?∈Ω()ξω()

ξωξξ<>=≠L 、、、S {}S ξ∈ξξξξx ()P x ξ≤ξ()()()F x P x x ξ=≤-∞<<+∞x x ,()()()a b P a b F b F a ξ?<≤≤=-0()1F x ≤≤()0,()1F F -∞=+∞=

（3）是单调不减函数，则 （4）是右连续函数，即 教学时数：2学时 作 业：习题二5

()F x a b ?<()()F a F b ≤()F x ,(0)()x F x F x ?+=

第二节 离散型随机变量及其概率分布

教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法；掌握四种常见的离散性分布。

教学重点：离散型随机变量的概率分布；分布、二项分布、泊松分布、超几何分布四种常见分布。 教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布与所描述试验的对立性。 教学内容： 1．离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值只有有限个或可列个，则称为一个离散型随机变量。 2．概率分布

取值：

（1）图形表示

（2）公式表示

（3）表格表示

3．概率分布的基本性质

（1） （2）

4．确定概率

5．求分布函数

（阶梯型函数）

6．常见的离散型分布

（1）分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （3）超几何分布 教学时数：2学时

作 业：习题二 3、6、7、9

01-ξξξ12,,,,i x x x L L (),1,2,i i P x p i ξ===L 0,1,2,i p i ≥=L 1

1i

i p

∞

==∑()i i x S

P S p ξ≤∈=∑()i i x x

F x p ≤=∑01-

第三节 连续型随机变量及其概率密度函数

教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率；掌握均匀分布和指数分布。 教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指数分布。 教学难点：正确理解概率密度函数 教学内容： 1．连续型随机变量及其概率密度的定义 （1）说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分布的不可行性。

（2）连续取值随机变量的概率（线）密度

（在分布函数的可微点处） （3）定义

设随机变量的所有可能取值充满某个区间，如果存在一个非负函数，使得的分布函数则称为一个连续型随机变量。

称为的概率密度函数（或分布密度函数）

2．的性质

（1）相当于离散型概率分布中的。 （2）基本性质

○

1；○

2

（3）

（4）几何意义

（5），从而

（6）（在的连续点处） （7）是连续函数。 3．两个常见的连续函型分布

（1）均匀分布（2）指数分布 教学时数：2学时

00()()()

()lim

lim ()x x P x x x F x x F x f x F x x x

ξ?→+?→+<≤+?+?-'===??()F x 'ξ()f x ξ()()()()F x P x f t dt x ξ+∞

-∞

=≤=

-∞<<+∞?

ξ()f x ξ()f x ()f x i p ()0

f x ≥()1f x dx +∞

-∞

=?

,()()b

a

a b P a b f x dx ξ?<<≤=?

,()0a P a ξ?==()()()()()b

a

P a b P a b P a b P a b f x dx ξξξξ<<=≤≤=≤<=<≤=?()()f x F x '=()f x ()F x

作 业：习题二 11、14、15、16

第四节 正态分布

教学目的：正态分布是概率统计中最重要的分布，掌握正态分布的定义、特点，标准正态分布，正态分布中的概率计算。

教学难点：正态分布的定义、特点、标准正态分布，概率计算（查表） 教学难点：对正态分布的正确理解 教学内容： 1．正态分布

（1）定义：如果随机变量的概率密度为，

其中，>0为常数，则称服从于参数为和的正态分布，记为

（2）实际问题中正态分布非常广泛和常见。 （3）

（4）正态分布的分布函数

2．正态分布的概率密度曲线 3．标准正态分布

（1）时的正态分布，记为 （2）分布函数

（3）的性质

○1；○2

4．概率计算（查表）

当时，可查表求得函数值。 （1）

○

1；○2；○3

ξ()()2

2

2()x f x x μσ--

=

-∞<<+∞μσξμ2

σ2

~(,)N ξμσ22

t e dt +∞

-

-∞

=?

()1f x dx +∞

-∞

=?

()2

2

2()t x

F x dt μσ--

=?

0,1μσ==(0,1)N 2

2()u x

x du -Φ=?

()x Φ()x F x μσ-??=Φ

???

()1()x x Φ-=-Φ0x ≥()x Φ~(0,1)N ξ()()P b b ξ<=Φ()()()P a b b a ξ≤≤=Φ-Φ()2()1(0)P c c c ξ<=Φ->

（2），

教学时数：1学时

作 业：习题二 12、18

2

~(,)N ξμσ()(

)(

)b a P a b μ

μ

ξσ

σ

--≤≤=Φ-Φ

第五节 随机变量函数的分布

教学目的：掌握求离散型和连续型随机变量函数的概率分布的方法；掌握正态分布的两个重要性质。

教学重点：离散型随机变量函数的分布；连续型随机变量函数的分布；正态分布的两个重要性质。

教学难点：连续型随机变量函数的分布 教学内容：

1．离散型随机变量函数的分布 （1）举例1（P62）。说明基本方法，总结归纳一般方法。

（2）的分布为；则的分布为

2．连续型随机变量函数的分布

设的概率密度为，求的概率密度 （1）分布函数法

○1

○2，（连续点处） （2）单调变换法

当单调、连续、可导时，其反函数存在且单调、连续、可导，则

3．两个重要结论

（1），则

，一般地

（2） 教学时数：1学时

作 业：习题二、1，13

ξ(),1,2,i i P x p i ξ===L 12():,,,,i g y y y ξL L ()g ?ξ=()(),1,2,i i

j i g x y P y p j ?===

=∑

L ξ()f x ()g ?ξ=()()()(())()g x y

F y P y P g y f x dx ?

?ξ≤=≤=≤=?

()()f y F y ??

'=()y g x =()x h y =()[()]|()|f y f h y h y ?'=2

~(,)N ξμσ~(0,1)N ξμ

σ

-22~(,)(0)a b N a b a a ξμσ++≠2

2

~(0,1),~(1)N ξξχ

第三章

多维随机变量

第一节 多维随机变量及其分布函数

教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质。 教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质。 教学难点：正确理解多维随机变量及其分布函数。 教学内容：

1．多维随机变量的定义

定义1、如果是定义在样本空间上的个随机变量，则这个随机变量的整体（）称为维随机变量，也称为元随机变量或元随机向量。

时，二维随机变量记为

2．事件表示

二维数集，事件表示为

3．二维随机变量的分布函数

定义2、设有二维随机变量，对于任何实数和，称概率为

的（联合）分布函数，记为

4．二维随机变量分布函数的性质 （1）

（2） （3）关于变量和分别为不减函数。 （4）关于变量和分别为右连续函数。

（5），有 教学时数：2学时 作 业：

12,,,n ξξξL Ωn n 12,,,n ξξξL n n n 2n =(,)ξη22

S R ?{}

2(,)S ξη∈(,)ξηx y (,)P x y ξη≤≤(,)ξη(,)(,)(,)F x y P x y x y ξη=≤≤-∞<<+∞0(,)1F x y ≤≤(,)0,(,)0,(,)0,(,)1,F y F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=(,)F x y x y (,)F x y x y 1212,x x y y ?

第二节 离散型二维随机变量

教学目的：掌握离散型二维随机变量及其联合分布、边缘分布和条件分布，会求这三种分布。

教学重点：离散型二维随机变量及其联合概率分布，边缘分布，条件分布，概率计算问题。

教学难点：正确理解联合分布，边缘分布，条件分布。 教学内容：

1．离散型二维随机变量

对于二维随机变量，如果分量和都是离散型随机变量，则称为离散型二维随机变量。

2．联合分布

取值：

取值：

称为的联合概率分布。

注：也可以列成表格形式 3．边缘分布

中两个分量和的分布称为的边缘分布，可由联合分布来确定。

（1）

（2）

注：可以在表格形式的联合分布上行列分别相加得到。 4．条件分布

（1）固定时，的条件分布为：

（2）固定时，的条件分布为：

(,)ξηξη(,)ξηξ12,,,,i x x x L L η12,,,,j y y y L L (,),,1,2,i j ij P x y p i j ξη====L (,)ξη(,)ξηξη(,)ξη1(),1,2,i ij

i j P x p

p i ξ∞

?

===

==∑g L 1

(),1,2,i ij

j i P y p

p j η∞

?

===

==∑g L i y η=ξ(|),1,2,(1,2,)ij i j j

p P x y i j p ξη===

==g L L i x ξ=η(|),1,2,(1,2,)ij j i i p P y x j i p ηξ===

==g

L L

注：条件分布可在表格上利用某一行（或列）上计算得到。 教学时数：2学时

作 业：习题三 2、3

第三节 连续型二维随机变量

教学目的：掌握连续型二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布；掌握二维均匀分布和二维正态分布。

教学重点：连续型二维随机变量的概念与联合分布、边缘分布、条件分布；二维均匀分布和二维正态分布。

教学难点：正确理解三种分布；求分布和概率时所涉及的积分计算。 教学内容：

1．定义与联合分布

（1）定义1、对于二维随机变量，如果存在非负函数，使得的分布函数，则称为连续型二维随机变

量，其中称为的联合概率分布函数。

（2）为在点处分布概率的面密度。

2．的性质 （1）对比性

○

1与一维情况对比，相当于； ○2与离散情况对比，相当于 （2）基本性质

○

1，○

2

（3）设D 为任何平面区域，则

（4），（在的连续点处）

3．边缘分布

连续型二维的边缘分布为连续性的。可由其联合密度确定。

(,)ξη(,)f x y (,)ξη(,)(,)(,)x y

F x y P x y f s t dsdt ξη-∞-∞

=≤≤=

??

(,)ξη(,)f x y (,)ξη(,)f x y (,)ξη(,)x y 00(,)

(,)lim

x y P x x x y y y f x y x y ξη?→+?→+

<≤+?<≤+?=??g (,)f x y (,)f x y ()f x (,)f x y ij

p (,)0f x y ≥(,)1f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

[](,)(,)D

P D f x y dxdy ξη∈=

??2(,)

(,)F x y f x y x y

?=??(,)f x y (,)ξη(,)f x y

（1）关于的边缘分布密度 （2）关于的边缘分布密度

4．条件分布

（1）当固定时，的条件密度为 （1）当固定时，的条件密度为 5．二维均匀分布

设G 为一个有界平面区域，若的概率密度为

则称服从G 上的均匀分布。

注：二维均匀分布描述平面区域上的几何型试验。 6．二维正态分布

如果的概率密度为：

其中是常数，则称服从二维正态分布，记作：

注：二维正态分布是常见的重要二维分布，其边缘分布和条件分布都是正态分布。

教学时数：2学时

作 业：习题三、4、5

ξ1()(,)f x f x y dy +∞

-∞=

?

η2()(,)f y f x y dx +∞

-∞

=?y η=ξ2(,)

(|)()f x y f x y f y ξ=

x ξ=η1(,)

(|)()

f x y f y x f x η=(,)ξη1

,(,)()(,)0,x y G S G f x y ?∈?

=???

其他(,)ξη(,)ξ

η()()()()22

112222211221(,)[2]2(1)x x x y f x y μμμμρρσσσσ??----??=

--+??-????

1212,,0,0,||1μμσσρ>><(,)ξη221212(,)~(,;,;)N ξημμσσρ

第四节 随机变量的独立性

教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性。

教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件。 教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义。 教学内容：

1．随机变量独立性的概念

（1）定义1 对于二维随机变量，设和为任何两数集，若

则称与相互独立。

（2）意义

与相互独立的意义是与的取值情况互不影响，可由此直接判断与的独立

性。

（3）与相互独立

2．离散型情况

的联合分布为，

则与独立 3．连续型情况

的联合概率密度为，

则与独立

4．推广

（1）以上二维随机变量中与独立性的三个充分必要条件都可以推广到维随机变量中分量独立性的情况。

（2）相互独立的意义是的取值情况互相无任何影响，也可由此判断其独立性。

教学时数：2学时

(,)ξη1S 2S 1212(,)()()P S S P S P S ξηξη∈∈=∈∈g ξηξηξηξηξη?(,)()(),(,)F x y F x F y x y ξη=-∞<<+∞g (,)ξη(,),,1,2,i j ij P x y p i j ξη====L ξη?,,1,2,ij i j p p p i j ==g g g L (,)ξη(,)f x y ξη?12(,)()(),(,)f x y f x f y x y =-∞<<+∞g (,)ξηξηn 12(,,,)n ξξξL 12,,,n ξξξL 12,,,n ξξξL 12,,,n ξξξL

作 业：习题三 9、11

3.4 两个随机变量的函数及其分布

教学目的：掌握离散型二维随机变量的函数的分布律，求连续型二维随机变量的函数的概率分布的一般方法。掌握和的分布、商的分布的求法。

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数的概率分布的一般方法，和的分布，商的分布。

教学难点：连续型二维随机变量函数的分布。 教学时数：2学时 教学内容：

一、离散型二维随机变量的函数的分布律

联合分布为：

是连续函数，随机变量的分布律为

二、连续型二维随机变量的函数的概率分布

的联合密度函数为，

（1）先求的分布函数

（2）（在的连续点处） 三、几个常用函数的概率分布 1. 的概率分布

与相互独立时，有

2．的概率分布

(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====L (,)z g x y =(,)Z g X Y =(,)(),1,2,i j k

k ij g x y z P z z p k ===

=∑

L (,)X Y (,)f x y (,)Z g X Y =Z (,)()(,)d d Z g x y z

F z f x y x y ≤=

??

()()Z Z f z F z '=()Z f z Z X Y =+()(,)d (,)d Z f z f x z x x f z y y y +∞

+∞

-∞

-∞

=-=-?

?

X Y ()()()d ()()d Z X Y X Y f z f x f z x x f z Y f Y y +∞

+∞

-∞-∞=-=-??2

2

Z X Y =

+201)d ,0

()20,0

Z f z f z z π

θθθ?>?=??≤??

与相互独立时，有

3．的概率分布

与相互独立时，有

作 业：P93习题三 20、28、30

X

Y 201))d ,0()20,0

X Y Z f f z f z z π

θθθ?>?

=??≤??/Z X Y =()(,)||Z f z f zy y y dy +∞

-∞

=?

X Y ()()()||Z X Y f z f zy f y y dy +∞

-∞=?