线性代数 居于马45章答案
线性代数 居于马版第4，5章答案
第四章
1、由过渡矩阵的定义，设从基1234,,,εεεε到基1234,,,γγγγ的过渡矩阵为A ，则
()()12341234
,,,,,,A A γγγγεεεε==，初等行变换求得1
111111111111141111A -?? ?-- ?= ?-- ?--??，所以11111151111211111111144111111A γβ-??????
??? ?-- ??? ?===
??? ?--- ??? ?---??????
2(1)、记γ在基123,,ααα下为*γ. 设从基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为A ，则
()()123123,,,,A A αααεεε==，初等行变换求得11875521311A --??
?
=-- ? ?--??
，所以 1187532*5216131121A γγ---?????? ??? ?
==--= ??? ? ??? ?--??????
2(2)、设从基
123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为C ，记()123,,B βββ=，则
()()123123,,,,C βββααα=，即AC B =，所以
1187535127714152112192093114164128C A B -----??????
??? ?
==--= ??? ? ??? ?---??????
2(3)、记γ在基123,,βββ下为**γ，所以1
1***C
B A γγγ--==，经初等变换得
11811319452761811261913365212644284099997104B A -?
? ??? ?
- ?
?=--=--- ? ?
? ??? ? ?
?
?，
所以 11
5276181225311***3652126110644284099183C B A γγγ---?????? ??? ?===---=- ??? ? ??? ???????
3(1)、记()1234,,,A αααα=，()1234,,,B ββββ=，记γ在基1234,,,ββββ下为*γ.设从基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵为P ，所以由过渡矩阵的定义有B AP =，则1
P A B -=，经初等变换可得
11001110101110
01
0P A B -?? ? ?== ?
???，10111110000011111P --?? ?-
?= ? ?--??
所以，()1
*0101P γγ-==-.
3(2)、设ξ在基1234,,,αααα下的记为*ξ，从基1234,,,ββββ到基1234,,,αααα的过渡矩阵为Q ，所以由过渡矩阵的定义有A BQ =，则1
1
1
1()
Q B A A B P ----===，所以
()1*1311T
Q P ξξξ-===-
3(3)、记α在基1234,,,ββββ下为*α，所以()1
*3102P αα-==.
4、记()1234,,,E εεεε=，()1234,,,B ββββ=. 设从基1234,,,εεεε到基1234,,,ββββ的过渡矩阵为P ，由过渡矩阵的定义知()()12341234,,,,,,P ββββεεεε=，即P B =. 设
()T
a b c d γ=，又γ在基1234,,,ββββ下的坐标不变，所以P P γγγγ=?=，即
2056133611211
01
3a a b b c c d d ?????? ??? ? ??? ?= ??? ?- ??? ???????25633623a c d a a b c d b a b c d c a c d d ++=??+++=???-+++=??++=?5602360020a c d a b c d a b c d a c d ++=??+++=?
??
-+++=??++=?，其系数矩阵1
056100112360101111100111
01
20
00
0A ???? ? ? ? ?= ? ?- ? ????? 初等变换，所以0a d b d P A c d d d
γγγ=-??=-?=?=??=-??=-?，所以γ的通解为()1111,T
k k R γ=-∈.
5(1)、略
5(2)、设与向量,,αβγ都正交的向量为()1234,,,T
x x x x ξ=，则
()()(),0,0,0
αξβξγξ=??=??=?
?12341234123420230220x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=??---+=?，其系数矩阵121110552311013311220000--????
? ?
-- ? ? ? ?---???? 初等变换
得基础解系为()5
310T -，()5301T
-
所以与向量,,αβγ都正交的向量为()()1253105301T
T
k k ξ=-+-
6、设向量()1234,,,T
x x x x ξ=与所给向量均正交，所以
12341234123400230x x x x x x x x x x x x +-+=??--+=??+++=?，其系数矩阵41001111311110100211310013?
? ?-?? ? ?--
? ? ? ??? ?
?
? 初等变换， 基础解系为4
1013
3T
??-- ???，所以可取()4013T ξ=--，
)4013T
--.
7、证：已知()()()12,,,0m βαβαβα==== ，记
i
i
k α
γ=∑，其中i k 为任意常数，则
γ为12,,,m ααα 的任一线性组合。
()()
()()()
()()()
11221122112212,,,,,,,,000=0
m m m m m m m k k k k k k k k k k k k βγβαααβαβαβαβαβαβα=+++=+++=+++=?+?++?
得证。
8(1)、设11221α?? ? ?= ? ?-??，21153α?? ? ?= ?- ???，332
87α?? ? ?= ? ?-??
正交化：111221βα?? ? ?== ? ?-??，()()2122111112123,10523,10312αββαβββ??????
? ? ?- ? ? ?=-=-= ? ? ?-- ? ? ?-??????
()()()()
31323312112231222231,,30268231,,10267122αβαββαββββββ????????
? ? ? ?-- ? ? ? ?=--=--= ? ? ? ?-- ? ? ? ?---????????
标准化：312123123122231,,231122βββγγγβββ??????
? ? ?
-???
======
???--???--??????
8(2)、设11112α?? ? ?= ?- ?-??，25823α?? ? ?= ?- ?-??，339
38α??
? ?= ? ???
，易得31272ααα=-+，即123,,ααα线性相
关，又12,αα线性无关，所以12,αα为123,,ααα的极大线性无关组，只需对12,αα进行施密特正交化。
正交化：111112βα?? ? ?== ?- ?-??，()()2122111512815,21211,7323αββαβββ??????
? ? ? ? ? ?=-=-= ? ? ?-- ? ? ?--??????
标准化：1212121215,1123ββγγββ???? ? ?
??
====
??-??-????
8(3)、设12131α?? ? ?= ? ?-??，27433α?? ? ?= ? ?-??，31160α?? ? ?= ?- ???，457
78α??
? ?= ? ???
记()1234271
5141714170119,,,336700067130
80000A αααα????
? ?-- ? ?==
? ?-
? ?--????
经初等变换，得
()3r A =，所以1234,,,αααα线性相关，取其极大线性无关组124,,ααα
正交化：112131βα?? ? ?== ? ?-??，()()2122111723412,30333,15311αββαβββ??????
? ? ? ? ? ?=-=-= ? ? ?- ? ? ?---??????
()()()()
41423412112252317125,,300
7331,,152381110αβαββαββββββ????????
? ? ? ? ? ? ? ?=--=--= ? ? ? ?- ? ? ? ?--????????
标准化：312123123231125,,3311110βββγγγβββ??????
? ? ?
???
======
???-???--??????
9(1)、正交化：11111βα?? ?
== ? ???，()()2122111012,22111,33111αββαβββ-????
??
? ? ?=-=-= ? ? ? ? ?
???????
()()()()313233121122111120,,213301116,,3211119αβαββαββββββ-????????
-? ? ? ? ?=--=--=- ? ? ? ? ? ? ? ?
??????
??
标准化：3121231231201,1,1111βββγγγβββ-??????
???
======-?????????
设从123,,εεε到123,,γγγ的过渡矩阵为A ，则()()123123,,,,A A γγγεεε==，经初等
变换可得1
0A -?? ? ? ?= ?
?
，所以向量110α?? ?
=- ? ?
??在新基123,,γγγ下的坐标为
1001*100A αα-????? ? ?
?? ? ? ==-== ? ?
??? ? ? ?
? ??????
9(2)、正交化：11111βα?? ?
==- ? ???，()()2122111111,12111,33112αββαβββ--????
??
- ? ? ?=-=--= ? ? ? ? ?
?????
??
()()()()()3132331211224111,,1231111,1,0,,331123αβαββαββββββ-??????
-- ? ? ?=--=---?= ? ? ? ? ? ?
-??????
标准化：3121231231111,1,1120βββγγγβββ-??????
???
==-====?????????
设从123,,εεε到123,,γγγ的过渡矩阵为A ，则()()123123,,,,A A γγγεεε==，经初等
变换可得1
0A -?? ? ? ?= ?
?
，所以向量110α?? ?
=- ? ?
??在新基123,,γγγ下的坐标为
1
1
*1
A
αα
-
???
??
?
?
?
??
?
==-==
?
? ?
??
? ?
?
? ? ?
????
??
10、证法1（利用标准正交基的定义）：因为{}
123
,,
ααα是一组标准正交基，则()
,1
i i
αα=，()
,0,,1,2,3
i j
i j i
αα=≠=，那么只需证明()()
,1,,0,,1,2,3
i i i j
i j i
ββββ
==≠=。
利用内积的性质和()()
,1,,0,,1,2,3
i i i j
i j i
αααα
==≠=即可得证
()()
11123123
1
,22,22
9
ββαααααα
=+-+-
()()()()()
1112132122
1
2,22,22,2,22,2
9
αααααααααα
=++-++
??
??
()()()()
23313233
1
2,,2,2,
9
αααααααα
+-+-+-+--
??
??
()()()
112233
1
4,4,,1
9
αααααα
=++=
??
??
同理可证，()()()()()
2233121323
,,1,,,,0
ββββββββββ
=====
即
123
,,
βββ是标准正交基。
证法2：因为()()
123123
221
1
,,212,,
3
122
βββααα
-
??
?
=-
?
?
--
??
，且
221
1
212
3
122
-
??
?
-
?
?
--
??
和()
123
,,
ααα
均为正交矩阵，所以()
123
,,
βββ也是正交矩阵，所以
123
,,
βββ为一组标准正交基。
11、因为Q为正交矩阵，则各行各列均为单位向量，所以
第1行：
22
2
32
1
77
a
????
+-+=
? ?
????
2
36
49
a
?=
6
7
a
?=±；
将2
36
49
a=代入第1列：
2
2
363
1
497
b
??
++-=
?
??
2
4
49
b
?=
2
7
b
?=±
第2列：
22
2
32
1
77
c
????
-++=
? ?
????
2
36
49
c
?=
6
7
c
?=±
第3行：22
232177e ????-++= ? ?????
2
3649e ?=67e ?=± 将2
3649e =代入第3列：2
22361749d ??
++= ???
2949d ?=
37d ?=± 又因为，正交矩阵的不同行、不同列的向量正交，所以
(第1行，第3行)332207777a e =--?+=14216e a ?-= 6
7a e ?==- (第1行，第2行)632
0777b c d =--+= ①
(第2行，第3行)326
0777
b c d =-+-= ②
由①和②得2
3
b d =-，2
c
d =，所以有两组解：
62636,,,,77777a b c d e =-=-===-或62636,,,,77777
a b c d e =-==-=-=-
12、A 是正交矩阵，则T
AA E =，||1A =±，A 可逆
当||1A =时，所以*||AA A E E ==，所以**T T
AA AA A A =?=， 所以，****()()()T T T T T AA E A A E A A E =?=?=，即*
A 正交；
当||1A =-时，所以*
||AA A E E ==-，所以**T T
AA AA A A =-?=-，
所以，****
**
()()()()()()T
T
T
T
T
T
AA E A A E A A E A A E =-?=-?-=-?=，即*
A 正交
13(i)、A 正交2
||||||||1||1||1T T T AA E AA E A A A A ?=?=?=?=?=±
13(ii)、因为||10A =±≠，所以A 可逆。所以，1
1
1
T
T
T
AA E A AA A E A A ---=?=?=
14(1)、“对称、正交?对合”：2
,T
T
T
A A AA E A AA AA E ==?===，得证； (2)、“对称、对合?正交”：2
2
,T
T
A A A E AA AA A E ==?===，得证； (3)、“对合、正交?对称” ：
22111,T T T AA E A E AA A A AA A AA A A ---==?=??=?==，得证；
15、略
16、不妨设A 为下三角矩阵，121
221
2
n n nn a a a A a a a ?? ?
?= ? ?
??
，则 111121121
222221
2
n n T
n n nn nn a a a a a a a a AA a a a a ????
???
???
= ??? ??
?????
2111121
111
2221112122
21122222111
121222
1111n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????
? ?
++ ? ?==
? ? ? ? ?+++????
所以有
22222
1121221112111121122212122211,1,1 1.1,1,,1,
0,0000
n nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=+=++===+=+=++=
得，除主对角线元素的平方等于1外其余元素均为零
补充题
51(1)、因为A 正交，所以有11()T T T AA E A A A A --=?=?=，
1
111111
1
1111
()()()()()()()()()()()()()T T
T T T I A I A I I A A I A I A A I A I A I A A I A IA AA I A A E -------------+=+-+=+-+??=+-+??=+-+=+-+
1111111
1
1111
()()()()()()()()()()()()()T T
T T T I A I A I A I I A A
I A I A A I A A I A I A A I A A I A A E ------------+-=+-+=+-+??=+-+??=+-+=+-+
所以，11()()()()I A I A I A I A ---+=+-，即1()()I A I A --+可交换
51(2)、11
()()()()T
I A I A I A I A --??-++-+??
111
1
11
111
11111111111()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(T
T T T T T T T T T T T T T T I A I A I I A A I A I A I A I A A I A I A I A I A A I A I A I I A A I A A I A I A I A A I A A I A I A A --------------------??=+-++-+????=+-++-+??=+-++-+=+-+++-+=+-+++-+=+-1
1
111111111
)()()()()()()()()()()T T
T T T T T T I A I A I A A I A AI AA I A IA AA I A A I I A A I O
-----------????+++-+????
=+-+++-+=+-+++-+=
所以，11()()()()T
I A I A I A I A --??-+=--+??
所以1
()()I A I A --+为反对称矩阵。
52(1)、A 正交T AA E A E ?==，又*
AA A E =，两式相减，得*()T A A A O -=
又A 正交A ?可逆，所以*
T A A O -=，即*T A A =，所以ij ij a A =
52(2)、A 正交T AA E A E ?==-，又*AA A E =，两式相加，得*
()T A A A O +=
又A 正交A ?可逆，所以*
T A A O +=，即*T A A =-，所以ij ij a A =-
53、设12,,,n m R ααα∈ 证明：12,,,m ααα 线性无关的充要条件是：
11121212221
2(,)(,)(,)(,)(,)(,)det 0(,)(,)(,)m m m m m m αααααααααααααααααα?? ? ?≠ ? ??? 解法1：设11121212221212(,)(,)(,)(,)(,)(,),,,(,)(,)(,)m m m m m m m ααααααααααααβββαααααα??????
? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????
，要证d e t 0≠即证12,,,m βββ 线性无关
充分性（反证法）：假设12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得
11220m m k k k ααα+++=
分别用12,,,m ααα 与上式左右两端做内积，得
111212112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0
m m m m
m m m m m k k k k k k k k k αααααααααααααααααα+++=??+++=??
??+++=? 即存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k βββ+++= 成立，矛盾，所以
12,,,m ααα 线性无关。
必要性：因为，12,,...m ααα线性无关，所以该向量组的秩为m 。
()
()
()()()
()()()
()()111211212222121
2,,,,,,,,,m m m m m m m m αααααααααααααααααααααααα????
? ? ?
?= ? ? ? ?
?????
， (1) 令()1
2
m A ααα= ，()()
()()()
()()()()11121212221
2,,,,,,,,,m m m m m m B αααααααααααααααααα??
? ?
= ? ?
???
，则T
B A A =. 由
于方程组（Ⅰ）0T
A Ax =和（Ⅱ）0Ax =同解。所以，()()r A r
B m ==，所以
()()
()()()
()()()
()1112121
2221
2,,,,,,det 0,,,m m m m m m αααααααααααααααααα??
? ?
≠ ? ?
???
（“方程组（Ⅰ）0T
A Ax =和（Ⅱ）0Ax =同解”：如果α是（Ⅱ）的解，则0A α=，显
然0T
A A α=，即α是（Ⅰ）的解，故（Ⅱ）的解全是（Ⅰ）的解；若α是（Ⅰ）的解，即0T
A A α=，那么 0T
T
A A αα=，即()()0T
A A αα=，即
2
A α
=，故0A α=，所以
α必是（Ⅱ）的解，即（Ⅰ）的解全是（Ⅱ）的解，从而方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解。）
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案
1.求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) 2331-?? ?-?? (2) 311201112-?? ? ? ?-?? (3) 200111113??
? ? ?
-??
(4) 1
234012300120
00
1??
?
? ? ???
(5) 45222
1111-?? ?-- ? ?--?? (6) 220212020-?? ?
-- ? ?-?? 【解析】(1) 令2331A -??
= ?-??
,则矩阵A 的特征方程为
22
3
37031
I A λλλλλ--=
=--=- 故A
的特征值为12λλ=
=
当1λ=
时，由1()0I A x λ-=，即
120303x x ?
????
? ? ? = ? ? ? ?
?????
得其基础解系为(
16,1T
x =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于
132
λ=
的全部特征向量。
当232
λ=
时，由2()0I A x λ-=，即
12031032x x ?
????? ? ? = ? ? - ? ?
??????
得其基础解系为(26,1T
x =+，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A
的对应于
232
λ=
的全部特征向量。 (2) 令3112
01112A -?? ?
= ? ?-??
，则矩阵A 的特征方程为 2311
21(1)(2)01
12
I A λλλ
λλλ---=--=--=-- 故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。
当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即
123211*********x x x --?????? ??? ?--= ??? ? ??? ?--??????
得其基础解系为()10,1,1T
x =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部特征向量。
当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即
123111022101100x x x --?????? ??? ?--= ??? ? ??? ?-??????
得其基础解系为()21,1,0T
x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。
(3) 令2001
11113A ?? ?
= ? ?-??
，则矩阵A 的特征方程为 32
00
1
1
1(2)01
1
3
I A λλλλλ--=---=-=--
故A 的特征值为2λ=(三重特征值)。
当2λ=时，由()0I A x λ-=，即
123000*********x x x ?????? ??? ?--= ??? ? ??? ?--??????
得其基础解系为()()121,1,0,0,1,1T
T
x x ==，因此，A 的对应于2λ=的全部特征向量为
1122k x k x +(其中12,k k 为不全为零的任意常数)。
(4) 令12340
12300120
00
1A ?? ?
?
= ? ???
，则矩阵A 的特征方程为 41
2340123
(1)000120001
I A λλλλλλ--------=
=-=---
故A 的特征值为1λ=(四重特征值)。
当1λ=时，由()0I A x λ-=，即
123402340002300002000000x x x x ---??????
? ? ?-- ? ? ?= ? ? ?- ? ? ?????
?? 得其基础解系为()1,0,0,0T
x =，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。
(5) 令45222
1111A -?? ?
=-- ? ?--??
，则矩阵A 的特征方程为
34
52
22
1(1)01
1
1
I A λλλλλ---=
+-=-=- 故A 的特征值为1λ=(三重特征值)。
当1λ=时，由()0I A x λ-=，即
123352023101100x x x --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????
得其基础解系为()1,1,1T
x =-，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。
(6) 令2202
12020A -?? ?
=-- ? ?-??
，则矩阵A 的特征方程为 2
20
2
12002I A λλλλ
--=
-= 按沙路法（课本P2），得
22
20
212(2)(1)4(2)40
2(2)(1)8(1)(1)(28)(1)(4)(2)0
I A λλλλλλλλ
λ
λλλλλλλλλλ--=
-=-----=----=---=--+=
故A 的特征值为1231,4,2λλλ===-。
当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即
123120020200210x x x -?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
得其基础解系为()12,1,2T
x =--，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部特征向量。
当24λ=时，由2()0I A x λ-=，即
123220023200240x x x ?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
得其基础解系为()22,2,1T
x =-，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于24λ=的全部特征向量。
当32λ=-时，由3()0I A x λ-=，即
123420023200220x x x -?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????
得其基础解系为()31,2,2T
x =，因此，33k x (3k 为非零任意常数)是A 的对应于32λ=-的全部特征向量。
2.已知矩阵74147144A x -??
?=- ? ?--??
的特征值13λ=(二重),212λ=,求x 的值,并求其特征向量.
【解析】由特征值的性质知
33
1
1
i ii
i i a
λ===∑∑，即331277x ++=++，解得4x =，故
741471444A -?? ?=- ? ?--??
。
当13λ=时，由1()0I A x λ-=，即
123441044104410x x x --?????? ??? ?--= ??? ? ??? ?-??????
得其基础解系为()()121,1,0,1,0,4T
T
x x =-=，故矩阵A 对应于13λ=的全部特征向量为
1122k x k x +(其中12,k k 为不全为零的任意常数)。
当212λ=时，由2()0I A x λ-=，即
123541045104480x x x -?????? ??? ?-= ??? ? ??? ???????
得其基础解系为()31,1,1T
x =--，故矩阵A 对应于212λ=的全部特征向量为33k x (其中3
k
为非零任意常数)。
3.设12,x x 是矩阵A 不同特征值的特征向量，证明12x x +不是A 的一个特征向量。 【解析】设12,x x 分别是矩阵A 属于特征值12,λλ的特征向量，且12λλ≠，则
111222112212,()x Ax x Ax x x A x x λλλλ==?+=+。
假设12x x +是A 的属于3λ的特征向量，则12312()()A x x x x λ+=+，故
1122312()x x x x λλλ+=+，
整理得 131232()()0x x λλλλ-+-=。
由于属于不同特征值的特征向量线性无关，故123λλλ==，这与12λλ≠矛盾。因此，
12x x +不是A 的一个特征向量。
4.设123,,x x x 是矩阵A 的不同特征值123,,λλλ对应的特征向量，证明123x x x ++不是A 的特征向量。
【解析】反证法。设123x x x ++是A 的特征向量，对应的特征值为λ，即
123123()()A x x x x x x λ++=++,
123112233123()Ax Ax Ax x x x x x x λλλλ++=++=++,
得 112233()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=。
因为不同特征值对应的特征向量123,,x x x 线性无关，所以0i λλ-=，即123
λλλλ===，
这与题设矛盾，故123x x x ++不是A 的特征向量。 5.证明对合矩阵A (2
A I =)的特征值只能是1或-1. 【解析】设λ是A 的一个特征值，即
(0)Ax x
x λ=≠，
则 2
2
(0)x Ix A x x x λ===≠，
所以，2
1λ=，即A 的特征值1λ=或-1.
6.设A 可逆，讨论A 与*
A 的特征值(特征向量)之间的相互关系。
【解析】设A 的属于特征值λ的特征向量为x ，则x Ax λ=，上式两边左乘*
A ，得
**A x A Ax λ=。
由于A 可逆，故*A A A I =，且0A ≠，0λ≠。因此，上式可整理为
*A
A x x λ
=
。
7.若1
P AP B -=，问：1(2)2P A I P B I --=-是否成立？
【解析】由于111(2)22P A I P P AP P P B I ----=-=-，故1(2)2P A I P B I --=-成立。 8.已知10~02A -??
Λ=
???
，求det()A I -。 【解析】由于~A Λ，故存在可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ，因此1
A P P -=Λ，
1111()A I P P I P P PP P I P -----=Λ-=Λ-=Λ-。
故 1
1
20
det()()201
A I P I P
P I P
I ----=Λ-=Λ-=Λ-==-。
9.已知12110,3202P P AP ---????==
? ?
-????
，求n
A 。 【解析】由于11002P AP --??
=
???
，故 1
2
2
1111
10,
02101010,02020210.
02n
n A P P A P P P P P P A P P ------??= ???
---??????== ? ? ???????
-??= ???
而 1
2110(1)0,32020
2n
n n P ---??-????==
? ? ?-??????
， 所以，
1211
1112102121(1)002323202212(1)22(1)322(1)2.323(1)26(1)323(1)2n
n n
n n n n n n n n n n n n n A P P -++++++---??-??????== ? ? ? ?--????????-?????--?--??-+??== ? ? ?-?--?--??-+?
?????
10.设1
B P AP -=，x 是矩阵A 属于特征值0λ的特征向量。证明：1
P x -是矩阵B 的对应其
特征值0λ的一个特征向量。
【解析】由10(0,0)Ax x x P x λ-=≠≠，得
11111100()()()()()B P x P AP P x P Ax P x P x λλ------====。
所以，1
P x -是矩阵B 的对应其特征值0λ的一个特征向量。 11.设A 为非奇异矩阵，证明AB 与BA 相似。
【解析】由于A 为非奇异矩阵，即A 可逆，令P A =，则
11P ABP A ABA BA --==，
即存在可逆矩阵P ，使得()1
P
AB P BA -=，根据相似的定义知AB 与BA 相似。
12.设~,~A B C D ，证明：~A O B O O C O D ????
? ?????
.
【解析】由~,~A B C D ，可知存在,P Q ，使得1
1
,B P AP D Q CQ --==，所以
1
11
P O A O P O B O P AP
O O Q O C O Q O D O Q CQ ---??????????== ? ? ??? ????????
???. 13.证明m 阶矩阵
01010J ?? ?
?= ? ?
??
只有零特征值，其特征子空间是m
R 的一维子空间，并求它的基。 解：由
0m I J λλ-==可知0λ=，即A 只有零特征值。
由0Jx =及()1r J n =-，得(1,0,,0)T
x = 是0λ=对应的特征子空间的基。所以，
特征子空间是m
R 的一维子空间。
14.若I A +可逆，I A -不可逆，那么，关于A 的特征值能做出怎样的断语？ 【解析】由于I A +可逆，I A -不可逆，故0,0I A I A +≠-=，即
0,0I A I A --≠-=，
由此可得：1为A 的特征值，1-不是。
15.若2det()0I A -=，证明1或1-至少有一个是A 的特征值。 【解析】由于2det()0I A -=，故
2()()00I A I A I A I A I A -=-+=?-+=，
由此可得0I A -=或0I A +=，即0I A -=或0I A --=，因此1或1-至少有一个是
A 的特征值。
16.在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵A ，求矩阵P 和对角矩阵Λ，使 得1
P AP -=Λ。
【解析】由于(1)中的矩阵为实对称矩阵，而实对称矩阵可以对角化，故(1)中的矩阵可以对
角化，并存在可逆矩阵(
)126
6,11P x x ??== -+?和对角矩阵
??
Λ= ?，使得1P AP -=Λ。
根据定理5.9可知(2)、(3)、(4)、(5)均不可对角化，而(6)可以对角化。对于(6)中的
矩阵，存在可逆矩阵()123221,,122212P x x x -?? ?==-- ? ???和对角矩阵142?? ?
Λ= ? ?-??，使得
1P AP -=Λ。
17.主对角元互不相等的上(下)三角形矩阵是否与对角阵相似(说明理由)？
【解析】设11
121222n n nn a a a a a A a ??
?
?
= ?
???
为上三角矩阵，且(,,1,2,,)ii jj a a i j i j n ≠≠= ，则
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数上机作业题答案
线性代数机算与应用作业题 学号： 姓名： 成绩： 一、机算题 1．利用函数rand 和函数round 构造一个5×5的随机正整数矩阵A 和B 。 （1）计算A ＋B ，A －B 和6A （2）计算()T AB ，T T B A 和()100 AB （3）计算行列式A ，B 和AB （4）若矩阵A 和B 可逆，计算1 A -和1 B - （5）计算矩阵A 和矩阵B 的秩。 解 输入： A=round(rand(5)*10) B=round(rand(5)*10) 结果为： A = 2 4 1 6 3 2 2 3 7 4 4 9 4 2 5 3 10 6 1 1 9 4 3 3 3 B = 8 6 5 4 9 0 2 2 4 8 9 5 5 10 1 7 10 6 0 3 5 5 7 9 3 （1）输入： A+B 结果为：
ans= 10 10 6 10 12 2 4 5 11 12 13 14 9 12 6 10 20 12 1 4 14 9 10 12 6 输入： A-B 结果为： ans = -6 -2 -4 2 -6 2 0 1 3 -4 -5 4 -1 -8 4 -4 0 0 1 -2 4 -1 -4 -6 0 输入： 6*A 结果为： ans = 12 24 6 36 18 12 12 18 42 24 24 54 24 12 30 18 60 36 6 6 54 24 18 18 18 （2）输入： (A*B)' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122
80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： B'*A' 结果为： ans = 82 112 107 90 135 100 121 107 83 122 80 99 105 78 107 61 82 137 121 109 78 70 133 119 134 输入： (A*B)^100 结果为： ans = 1.0e+270 * 1.6293 1.6526 1.4494 1.5620 1.6399 1.9374 1.9651 1.7234 1.8573 1.9499 2.4156 2.4501 2.1488 2.3158 2.4313 2.0137 2.0425 1.7913 1.9305 2.0268 2.4655 2.5008 2.1932 2.3636 2.4815 （3）输入： D=det(A) 结果为： D = 5121 输入： D=det(B) 结果为：
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数课后作业答案(胡觉亮版)
第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
线性代数复习题及答案
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
线性代数(本)习题册行列式-习题详解(修改)(加批注)
||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.
||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 第三章 线性方程组 一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解： 化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。 解：??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。 解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换 线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??= 2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3. 第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=? ?? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ?? (2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,??? ??+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换. 6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，??? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . . 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001000 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 1 10000 0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若21 3332 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 222123 21 12 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若573411111 3263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101 1 110403--= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 （1） 23112 =； （2） cos sin 1sin cos θθθ θ -=； （3） 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++112211221122 1122a a a b b a b b 1221 122112211221a a a b b a b b （4） 11121112 21222122 a a b b a a b b + 1122 1122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 （1）103 12 126231-=--； (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a （3）a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235. 123t 112217t （3）() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时，2n k ，排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n 其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数；k 为21k 与它前面数构成的逆序数；(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和； 113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k ，排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数； (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i j ，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式： （1） 0001 002003004000(4321) (1) 2424 （2） 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd 第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===- 2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = =====线性代数试题及答案。。
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