线性规划理科试卷

理科线性规划精选题

1．若x ，y 满足约束条件03434x x y x y ≥??

+≥??+≤?

，则2z x y =-的最大值是（）

A ．4

B ．4

C ．1

D ．2 【答案】C 【解析】

试题分析：首先作出约束条件所对应的平面区域，然后判断是经过直线340x y +-=与直线340x y +-=的交点(1,1)时，目标函数取得最大值，且max 211z =-=，首先平面区域要正确，其次判断经过哪个点时达到最大，这样才不会犯错. 考点：简单的线性规划中目标函数的最优解.

2．实数x y ，满足1,21y y x x y ??

-??+?

≥≤≤5.，求目标函数z x y =-+的最小值( )

A ．1

B ．0

C ．3-

D ．5 【答案】C 【解析】

试题分析：如图，画出题中所给的不等式组所表示的平面区域，易得A(2,3),B(1,1)，C(4,1)，求z 的最小值即求直线y=x+z 在y 轴上截距的最小值，而y=x+z 表示的是与y=x 平行的直线，从图中可以看出，当直线过C 点时，z 有最小值，3-14-z min =+=．

考点：线性规划求目标函数的最值．

3．若实数x ，y 满足10

00x y x y x -+≥??+≥??≤?

则z ＝3x ＋2y

的最小值是( )

A ．0

B ．

D ．9

【答案】B

【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)

及直线x ＋2y ＝0，平移直线x ＋2y ＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应

直线在y 轴上的截距最小，此时x ＋2y 取得最小值，3x ＋2y 取得最小值，则z ＝3x ＋2y

的最

小值是30＋2×0

＝1，选B.

4．实数x ，y 满足1

21y y x x y m ≥??

≤-??+≤?

，如果目标函数Z=x －y 的最小值为-2，则实数m 的值为

（）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 【答案】D 【解析】

试题分析：

当目标函数过A 点时，函数取得最小值，???

??-+312,3

1m m A 代入目标函数

3-=+-

=m z ,解得8=m .故选C. 考点：线性规划

5．已知x 、y 满足2y x x y x a ≥??

+≤??≥?

，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是

（） A.

34 B.14 C.211 D.4

【答案】B 【解析】

试题分析：作出不等式组2y x

x y x a

≥??

+≤??≥?

所表示的可行域如下图所示，联立x a y x =??=?得点

(),A a a ，

联立2

y x

x y =??

+=?得点()1,1B ，作直线:2l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上的截距，当

直线l 经过可行域上的点A 时，此时直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即

min 23z a a a =?+=；当直线l 经过可行域上的点B 时，此时直线l 在y 轴上的截距最

大，此时z 取最大值，即max 2113z =?+=，由题意知，

max min 4z z =，即343a =?，解得1

a =

，故选B. 考点：线性规划

6．已知约束条件340210380x y x y x y -+≥??

+-≥??+-≤?

，若目标函数z x =+()0ay a ≥恰好在点()2,2处取

得最大值，则a 的取值范围为（）

A.103a <<

B.13a ≥

C.1

3a > D.1

a <<

【答案】A 【解析】

试题分析：作不等式组340210380x y x y x y -+≥??

+-≥??+-≤?

所表示的可行域如图所示，

2y-1=0

4=0

易知点()2,2A 为直线340x y -+=和

直线380x y +-=的交点，由于直线():0l z x ay a =+>仅在点()2,2A 处取得最大值，而z 为直线l 在x 轴上的截距，直线380x y +-=的斜率为3k =-，结合图象知，直线l 的斜率l k 满足30l k -<<，即130a -<-<，解得1

a <<，故选A. 考点：线性规划

7．设x ，y 满足约束条件50

03x y x y x -+≥??+≥??≤?

，则z ＝(x ＋1)2＋y 2

的最大值为( )

A ．80

B ．

．25 D.172

【答案】A

【解析】作出不等式组5003x y x y x -+≥??+≥??≤?

表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)

＋y 2

可看作点(x ，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P(－1,0)的距离最大．解方程组350

x x y =??

-+=?，得A 点的坐标为(3,8)，代入z ＝(x ＋1)

＋y 2

，得z max ＝(3＋1)2

＋82

＝80.

8．已知实数x 、y 满足0

0220

y x y x y ≥??

-≥??--≥?

，则11y x ω-=+的取值范围是（）

A.11,3?

?-???

? B.11,23??-???? C.1

??-+∞???? D.1,12??-????

【答案】D

【解析】

试题分析：作出不等式组00220y x y x y ≥??

-≥??--≥?

所表示的可行域如下图所示，

则1

y x ω-=

+可视为可行域内的一点(),x y 与点()1,1C -连线之间的斜率，过点C 且与y 轴垂直的直线与线220x y --=上交于点3,12D ??

???

，直线220x y --=与x 轴交

于点()1,0B ，当过点C 的直线从点D 往向上的区域移动时，倾斜角增大，此时ω从0变化至使得直线过点C 的直线与直线0x y -=近乎平行，此时01ω≤<；当过点C 的直线从点B 到点D 移动时，倾斜角增大，此时ω的值从CB k 变化至0，而

011112CO k -=

=-+，此时102ω-≤≤，综上所述，ω的取值范围是1,12??

-????

，故选D. 考点：1.线性规划；2.直线的斜率

9．已知实数y x ，满足210,||10x y x y -+≥??--≤?

则2+2x y z x +=的取值范围为( )

A ．10[0,]3

B ．10,)3∞+∞(-,0][

C ．10

[2,]3

D ．10

,)3

∞+∞(-,2][

【答案】B

【解析】2+2+2=2+

x y y z x x +=

，+2

y x

表示可行域内的点（x,y)和定点(0,-2)连线的斜率，可行域如下图所示，点C(-1,0)，点B(3,2)，故4

,23

PB PC ==-k k ，故斜率

范围是4,)3∞+∞(-,-2][，故z 的取值范围是10

,)3

∞+∞(-,0][．

–1

–2

–3

–4

1234

–1

–2–3–4

34D

【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和

基本运算能力．

10．已知变量x ，y 满足20

25020

x y x y y --≤??

+-≥??-≤?

则31x y u x +=+的值范围是( )

A ．514[,

]25 B ．11[,]25-- C ．15[,]22- D ．514

[,]25

- 【答案】A 【解析】

试题分析：画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点(1,2),(3,1),(4,2)A B C 所围成的三角形区域（包括边界），33333

3111

x y x y y u x x x +++--=

==++++，记点

(1,3)P -，得12AP BP k k ==-，15CP k =-，所以31x y u x +=

+的取值范围是514

[,]25

. 考点：线性规划.

11．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ??

，221z x y =--，则z 的取值范围是( )

A ．5[,5]3

B ．[]0,5

C ．[)0,5

D ．5[,5)3

【答案】C 【解析】

试题分析：画出,x y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令

221u x y =--221u x y =--，则1

2u y x +=-

，先画出直线y x =，再平移直线229x y +=，当经过点(2,1)A -，12(,)33B 时，代入u ，可知5

53u -≤<，∴

||[0,5)z u =∈，故选C ．

考点：线性规划.

12．y x ,满足约束条件??

??≥+-≤--≤-+0220220

2y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．

，则实数a 的值为（） A.

121-或 B.2

2或 C.2或1 D.12-或【答案】D 【解析】试题分析：题中的约束条件表示的区域如下图，将ax y z -=化成斜截式为y ax z =+，要使其取得最大值的最优解不唯一，则y ax z =+在平移的过程中与20x y +-=重

合或与220x y -

+=重合，所以2a =或1-.

考点：1.线性规划求参数的值.

13．变量,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-??

-≥??+≤?

，若使z ax y =+取得最大值的最优解有无数

个，则实数a 的取值集合是（）

A. {3,0}-

B. {3,1}-

C. {0,1}

424

S=??=

）.

（D）矩形

试题分析：作出平面区域如图，所以不等式组表示的区域是梯形.

考点：不等式组与平面区域.

16．若不等式组

x y

x y a

-≥

?+≤

≥

?+≤

，表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是

（）

a≥ B.01

<≤ C.

≤≤ D.01

<≤或

a≥

【答案】D

【解析】根据0220x y x y y -≥??+≤?

?≥???

画出平面区域（如图1所示），由于直线x y a +=斜率为1-，

纵截距为a ，

自直线x y a +=经过原点起，向上平移，当01a <≤时，0220x y x y y x y a -≥??+≤?

?≥??+≤?表示的平面区域

是一个三角形区域（如图2所示）；当413a <<时，0220

x y x y y x y a -≥??+≤?

?≥??+≤?表示的平面区域是一

个四边形区域（如图3所示），当43a ≥时，0

220x y x y y x y a

-≥??+≤?

?≥??+≤?表示的平面区域是一个三角形

区域（如图1所示），故选

图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划.

17．已知变量x ，y 满足的不等式组0210x y x kx y ≥??

≥??-+≥?

表示的是一个直角三角形围成的平面

区域，则实数k ＝( ) A ．－

12 B.12 C ．0 D ．－1

或0

【答案】D

【解析】不等式组0210x y x kx y ≥??

≥??-+≥?

表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，只

有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可得斜率k 的取值为－

或0.

18．若不等式组50502x y y kx x -+≥??

≥+??≤≤?

表示的平面区域是一个钝角三角形，则实数k 的取值范

围（）

A.(0,1)

B.(,1)

(0,1)-∞- C.(1,0)(1,)-+∞ D.(1,0)-

【答案】B

【解析】不等式组表示的平面区域如图

由图可知：(,1)(0,1)k ∈-∞-

故选B

考点：线性规划. 19．

设

=(1,1),=(3,1),O

为坐标原点,动点

P(x,y)满足

0≤·

≤1,0≤

≤1,则2z x y =--的最大值是( )

A ．12-

B ．0

C ．1

D ．1 【答案】B 【解析】

试题分析：(),OP x y =，OP OM x y ?=+，3OP ON x y ?=+，即01

031x y x y ≤+≤??≤+≤?

，

画出可行域如图

平移目标函数线2

y x

=-，使之经过可行域当过()

0,0

O时纵截距最小此时z最大为0。故B正确。

考点：1向量数量积；2线性规划问题。

20．已知(,)

P x y是不等式组

10,

30,

x y

+-≥

-+≥

?≤

表示的平面区域内的一点，(1,2)

A，O为坐标原点，则OA OP

?的最大值（）

A.2

B.3

C.5

D.6

【答案】D

(0,3

θ，则tan θ的最大值为（） A.12 B.47 C.34 D.94

【答案】C 【解析】

试题分析：画出可行域，如图所示，当点A,B 分别与点(1,2),(2,1)C D 重合时，向量OA 与OB 的夹角最大，且是锐角，cos ,OA OB OA OB OA OB

，则4

cos 15θ≤≤，又

sin tan cos θθθ=

cos 5

θ=时，tan θ取到最大值为34．

考点：1、二元一次不等式表示的平面区域；2、向量的夹角；3、同角三角函数基本关

系式.

22．已知点()11,M x y 、()22,N x y 的坐标满足不等式组0026312

x y x y x y ≥??≥?

?+≤??+≤?，若()1,1a =-，

则MN a ?的

取值范围是（）

A.[]3,3-

B.[]4,4-

C.[]6,6-

D.[]7,7- 【答案】D

【解析】

试题分析：作出不等式组0026312

x y x y x y ≥??≥?

?+≤??+≤?所表示的可行域如下图所示，

假设点D 为y x =-上的一点，过点D 作直线y x =-的垂线，需使得垂线与与可行域有公共点，结合图象知，当点()0,3M ，()4,0N 时，MN 在a 方向上的投影最大，此时()4,3MN =-，且MN a ?取最大值，此时()()41317MN a ?=?+-?-=；同理当

点()4,0M ，()0,3N ，此时()4,3MN =-，此时M N

a ?取最小值，()()14137MN a ?=?-+-?=-，故MN a ?的取值范围是[]7,7-，故选D.

考点：线性规划

23．已知O 为坐标原点，点A （1,0），若点M （x,y ）为平面区域212x y x y +≥??

≤??≤?

内的一个动

点，则OA OM +的最小值为( ).

【答案】C 【解析】

试题分析：作出可行域如图所示，OA OM +22)1(y x ++=表示)0,1(-B 到),(y x M 的距离；由图可知，所求最小值即是点B 到直线02=-+y x 的距离

21=

--=

d .

考点：二元一次不等式组与平面区域、平面向量的模长.

24．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组001x y x y ≥??

≥??+≥?

所确定的平面区域内的动点，

Q 是直线20x y +=上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ +的最小值为（）

B.3

C.2

D.1 【答案】A

【解析】试题分析：在直线

20x y +=上取一点'Q ，使得'Q O OQ =，则

|||'||'|OP OQ OP Q O PQ +=+=，表示的是区域上的点到直线20x y +=的最短距离，如下图：

由图可知区域上的点到直线20x y +

的最短距离为||AB =

，故选A.

考点：1.向量知识的应用；2.线性规划问题；3.点到直线的距离.

25．设P 是不等式组??

??≤+-≥-≥≥310

,0y x y x y x 表示的平面区域内的任意一点，向量)1,1(=→

m ，

)1,2(=→

n ，若OP m n λμ=+（μλ,为实数），则μλ-的最大值为（）

A ．4

B ．3

C ．-1

D ．-2 【答案】A

试题分析：解：设点P 的坐标为

(),x y ，则(),O P x y

=，()()()1,12,12,OP m n λμλμλμλμ=+=+=++ 所以2x y λμ

λμ=+??=+?

所以由?????≤+-≥-≥≥310,0y x y x y x 得2001233

λμλμμλμ+≥??+≥??≥-?

?+≤?此不等式组对应的平面区域如下图中的阴影部分

所示：

设z λμ=-，则z μλ=-，当z 变化时，它表示一组与μλ=平行的直线，在μ轴上的截距为z -，当直线z μλ=-在μ轴上的截距最小时z 最大，由图可知，当直线经过点()3-1A ，时，直线在μ轴上的截距最小，从面z 取得最大值max 4z =

故选A.

考点：1、向量的坐标表示与坐标运算；2、线性规划. 26．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足，

则点集，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是

( ) A ． B ． C ． D ．

【解析】∵

，

∴

不失一般性，设

，则

，解之得代入|λ|+|μ|≤1得

|x －y|+|2y|≤2，其可行域如图所示

则所求面积为S=2××4×=4

27．已知函数)(x f 的定义域为—2,)∞+,部分对应值如下表,)('

x f 为)(x f 的导函数,函数)('

x f y =的图象如右图所示:

若两正数,a b 满足(2)1f a b +<,则4

b a -+的取值范围是( ) A ． )34,76( B ．)37,53( C ．)56,32( D ．1(1,)2

【答案】D 【解析】

试题分析：根据图形可转化为0,0224

2>>??

?->+<+b a b a b a ，那么问题转化为线性规划问

题，表示可行域内的点与()4,4-连线的斜率的取值范围，

1-=AO k ,2

-=AC k ,故选D.

考点：1.利用导数解不等式；2.线性规划问题.

28．已知函数32

()f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则

b a ++的取值范围是（）

A ．31(,)22-

B ． 21(,)52

- C ．13(,)22- D ． 35(,)22

- 【答案】A 【解析】

试题分析：∵'2

()32f x ax bx c =++，'''(1)320(1)320(2)1240f a b c f a b c f a b c ?-=-+=?=++?

，∴0

32b b a -??，由

图像可知：31

k -

<<.

考点：1.导数的运算；2.函数的性质；3.线性规划.

29．若满足条件??

??≥≤-+≥-a y y x y x 020的整点()y x ,恰有9个（其中整点是指横，纵坐标均为

整数的点），则整数a 的值为（）

A ．3-

B ．2- C.1- D ． 0 【答案】

C 【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域如图，要使整点),(y x 恰有9个，即为)0,0(，)0,1(，

)0,2(，)1,1(，)1,1(--，)1,0(-，)1,1(-，)1,2(-，)1,3(-，故整数a 的值为1-.故

选C.

考点：简单的线性规划，整点的含义. 30．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =

+≤=-+≤，M A

B =，

若动点(,)P x y M ∈，则2

(1)x y +-的取值范围是（）

A ．15

[,]22 B

．5]22 C

．1[,22 D

．,22

【答案】A

【解析】

试题分析：画出可行域如图：

目标函数=z 2

(1)x y +-表示可行域中的点到圆心)1.0(的距离的平方，

由图可知，z 在点A 或点C 可以取得最小值，即圆心)1,0(到直线x y =的距离的平方，

212min =

=d z ，z 在点B 或D 处取得最大值，252

max ==OB z ,所以2

521≤≤z .选A.

考点：简单线性规划的应用．

点评：此题主要考查线性规划的应用，解决此题的关键是画出可行域，考查的知识点比较全面，是一道基础题.

31．在平面直角坐标系xOy 中，已知集合{

}

()001x,y y x ,x ≤≤≤≤且所表示的图形的面积为

1，若集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2

+≥=x y y x N ，则N M 所表示的图形面积为（）（A ）

31 （B ）3

2 （C ）1 （D ）34

【答案】B

【解析】试题分析：

当0x ≥且0y ≥时，1y x -≤等价于1y x -≤，2

1y x ≥+等价于2

1y x ≥+，解

11y x y x -=??=+?

得01x y =??=?或1

2x y =??=?。由集合M 和集合N 中的点所表示的图形的对称性可知，N M 所表示的图形面积为112

4(11)233S ??=??-=????。故B 正确。

考点：线性规划

32．对两个实数y x ,,定义运算“*”，y x y x ++=*1．若点))(,(y x y x P *-*在第四象限，点))3()(,(y x x y x Q +-*-*在第一象限，当Q P ,变动时动点),(y x M 形成的平面区域为Ω，则使Ω?><++-)}0()1()1(|),{(2

r r y x y x 成立的r 的最大值为（） A ．2

B ．5

5 D.