2006年江西省南昌市高中数学竞赛试卷(2006.7)

2006年江西省南昌市高中数学竞赛试卷

(7月2日上午8:30－11:30)

一、选择题(每小题6分,共36分)

1.(i)(高一)设集合22{8|},{29|}A a a N B b b N =+∈=+∈,若A B P =,则P 中元素个数为(C)

A .0

B .1

C .2

D .至少3个

(ii)(高二)三个互不重合的平面,能把空间分成n 部分,则n 的所有可能的值是(D) A .4,6,8 B .4,6,7 C .4,5,7,8 D .4,6,7,8

2.(i)(高一)若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为(B) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不确定

(ii)(高二)抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D)

A .212y x =-

B .212y x =

C .216y x =-

D .216y x =

3.(i)(高一)设x

x ＝x f -+11)(,记()()1f x f x =,若，x f f x f n n ))(()(1=+则＝x f )(2006(B) A .x B .-x 1 C .x x -+11 D .1

1+-x x (ii)(高二)四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是单位正方形(,,,A B C D 按反时针方向排列),侧棱PB 垂直于底面,且PB ＝3,记APD θ∠=,则sin θ＝(C)

A .

22 B .33 C .55 D .6

6 4.若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是(B)

A .sin θ=11+-b ab

B .cos θ=1

1+-a ab C .tan cot θθ+=)

1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D .tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5.20061003的末位数字是(D)

A .1

B .3

C .7

D .9

6.设,,a b c R +∈,且108ab bc ca ++=,则b

ca a bc c ab ++的最小值是(C) A .6 B .12 C .18 D .36

二、填空题(每小题9分,共54分)

7.(i)(高一)设M ＝{1,2,…,100},A 是M 的子集,且A 中至少含有一个立方数,则这种子集A 的个数是____________.1009622-

(ii)(高二)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠

军),对于每局比赛,甲获胜的概率为32,乙获胜的概率为3

1,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为__________.1781

8.(i)(高一)等腰直角三角形的直角顶点A 对应的向量为()1,0A ,重心G 对应的向量为()2,0G ,则三角形另二个顶点B 、C 对应的向量为______________.53,22??± ???

(ii)(高二)棱长为1的正四面体在水平面上的正投影面积为s ,则s 的最大值为____

________.12

9.(i)(高一)已知sin cos θθ+=

52,(2π＜θ＜π),则tan cot θθ-

=_________.(ii)(高二)函数x x f 2sin 1)(=x

2cos 2+,)20(π<

________.3+ 10.若曲线2|2|y x =-与直线3y x k =+恰有三个公共点,则k 的值为_______.无解.

11.数列{}n a 的各项为正数,其前n 项和n S 满足)1(21n n n a a S +=,则n a

=______.12.在一次晚会上,9位舞星共上演n 个“三人舞”节目,若在这些节目中,任二人都曾合作过一次,且仅合作一次,则n ＝__________.12

三、解答题:

13.(20分)(i)(高一)将等差数列{n a }:*4 1 ()n a n n N =-∈中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{n b },求2006b 的值.

解:由于6015=-+n n a a ,故若n a 是3或5的倍数,当且仅当15+n a 是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+∞)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{n a }的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{n b }的项8个,为:71=b ,112=b ,193=b ,234=b ,315=b ,436=b ,477=b ,598=b ,于是每个区间段中恰有15个{n a }的项,8个{n b }的项,且有k b b r r k 608=-+,k ∈N,1≤r ≤8.

由于2006＝8×250+6,而436=b ,所以1504343250602506062006=+?=+?=b b .

(ii)(高二)给定圆P:222x y x +=及抛物线S:24y x =,

过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而

下顺次记为,,,A B C D ,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构

成一个等差数列,求直线l 的方程.

解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,

圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物

线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y 有???-==+442

121y y k y y ,则212212214)()(y y y y y y -+=- 故)4

()()()(||22212212212212y y y y x x y y AD -+-=-+-= 22221221)1(16])4

(1[)(+=++-=k y y y y ,因此)1(4||2+=k AD 据等差,BC AD CD AB BC -=+=2,

所以63==BC AD 即6)1(42=+k ,x

y o A B C D P