同济版线性代数第六章习题全解
第六章 线性空间与线性变换
1．验证:
(1)2阶矩阵的全体1S ;
(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体2S ; (3)2阶对称矩阵的全体3S .
对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基． 解 （1）设B A ,分别为二阶矩阵，则1,S B A ∈显然
11,)(S kA S B A ∈∈+，
从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间． ???? ??=00011ε???? ??=00102ε???? ??=01003ε???
? ??=10004ε是1S 的一个基.
(2) 设???? ??-=a c b a A ，???
?
??-=d f e d B 2,S B A ∈
2)(S d a a c b c d a B A ∈???? ??++++-=+， 2S ka kc kb ka kA ∈???
?
??-=. ???? ??-=10011ε???? ??=00102ε???? ??=01003ε是一个基．
(3)设3,S B A ∈，则B B A A T T ==,
B A B A B A T T T
+=+=+)(，从而3)(S B A ∈+ kA A k kA T T
==)(,故3S kA ∈，所以对于加法和乘数运算构成线性空间.
???? ??=00011ε???? ??=01102ε???? ??=10003ε是3S 的一个基.
2．验证：与向量T )1,0,0(不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的
加法和乘数运算不构成线性空间． 解 设{}不平行的全体三维向量与向量)1,0,0(=V ，设)0,1,1(1=r , )1,0,1(2-=r ，则V r r ∈21,．但V r r ?=+)1,0,0(21即V 不是线性空间.
3．设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 V U =.
证明 设r εεε 21为U 的一组基，它可扩充为整个空间V 的一个基，由
于)dim()dim(V U =从而r εεε 21也为V 的一个基，则：对于V x ∈可 以表示为r r k k k x εεε+++= 2211．显然，U x ∈，故U V ?，而由 已知知V U ?，有V U =．
4．设r V 是n 维线性空间n V 的一个子空间，r a a ,1是r V 的一个基．试 证： n V 中存在元素n r a a ,1+，使r a a a ,,21,n r a a ,,1+成为n V 的一个 基．
证明 设n r <,则在n V 中必存在一向量r r V a ?+1，它不能被r a a a ,,21 线性表示，将1+r a 添加进来，则1321,,,+r a a a a 是线性无关的．若 n r =+1，则命题得证，否则存在),,,(1212++?r r a a a L a 则 221,,,+r a a a 线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关的向量 n a a a ,,,21 ，它们是n V 的一个基．
5．在3R 中求向量T )1,7,3(=α在基T )5,3,1(1=α,T )2,3,6(2=α， T )0,1,3(3=α下的坐标．
解 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε
A T
T T T T T ),,(),,(321321εεεααα= ????
? ??=025133361A
坐标变换公式：????? ??????? ?
?-----=????? ??=?
????
??-3213211
32115289815
5362'''x x x x x x A x x x 故所求为???
?? ??-=????? ??????? ??-----=????? ??154823317315289815
5362
'''321x x x ． 所求坐标为()154,82,33-．
6．在3R 取两个基
T )1,2,1(1=α,T )3,3,2(2=α,T )1,7,3(3=α
T T T )6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3(321-===βββ
试求坐标变换公式．
解 设)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε，
A T
T T T T T ),,(),,(321321εεεααα=，A T T T T
T
T
),,(),,(3213
21εεεβββ=．
其中，????? ??=131732121A ，???
?
? ??-=614121153B
坐标变换公式????
? ??=????? ??'''-3211
321x x x A B x x x ，
现求A B 1-
~131614732121321153????
? ??-????
? ??----------27971070187521073212
1 ????
? ??----99402840018752107321
21~??
???
?
??4991071001875210732121~
????????
??
------49910710026313901047175021~??
?????? ??---499107
1002
63139010418119
13001~ ?
?
????
??
?
?
---=∴-499107263
139418119131A B ．
所以坐标变换公式为
???
?? ???
??????
?
??
---=????? ??'''321321
499107263139
41811913x x x x x x ．
7．在4R 中取两个基
???????====,)1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321T T T T e e e e ???????===-=.)3,1,6,6(,)1,2,3,5(,)0,1,3,0(,)1,1,1,2(4
32
1T T
T T αααα (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;
(2) 求向量T x x x x ),,,(4321在后一个基下的坐标; (3) 求在两个基下有相同坐标的向量.
解 (1) 由题意知????
??
? ??=??????? ????????? ??-=??????? ??43214321432131661
23501301112εεεεεεεεααααA T
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
??????
? ??-=??????? ??-=31011
211633165023166123501301112T
A (2) 设向量α在后一个基下的坐标为),,,(4321y y y y 则有 44114411ααεεy y x x ++=++
即 ?
?????
? ????????? ??-=??????? ????????? ??43
21432131661235013011121000010000100001y y y y x x x x ， 故 ????
??? ????????? ??-=??????? ??-43211
432131661
23501301112x x x x y y y y ????
??
? ????????? ??-------=43
2126937180092391213327912271x x x x ． (3)由(2)知
??????
? ??=??????? ????????? ??-------=432143
2126937180092391213327912271x x x x x x x x ， 解方程组得????
??? ??=?
?????
? ??11114321k x x x x (k 为常数)
8．说明xOy 平面上变换???
?
??=???? ??y x A y x T 的几何意义，其中
(1)???? ??-=1001A ; (2) ????
??=1000A ;
(3)???? ??=0110A ; (4)???
?
??-=0110A .
解 (1) ???
?
??-=???? ?????? ??-=???? ??y x y x y x T 1001
即与原向量关于y 轴对称
(2) ???? ??=???? ?????? ??=???? ??y y x y x T 01000
即将原向量投影到y 轴上．
(3) ???
? ??=???? ?????? ??=???? ??x y y x y x T 0110
即与原向量关于直线x y =对称．
(4) ???
? ??-=???? ?????? ??-=???? ??x y y x y x T 0110
即将原向量顺时针旋转2
π．
9．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个2
)
1(+n n 维线性
空间.给出n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换
AP P A T T =)(
称为合同变换.试证合同变换T 是V 中的线性变换． 证明 设V B A ∈,，则B B A A T T ==,
P B A P B A T T )()(+=+P B A P T
T )(+=
P P B A T ])[(+=P BP AP T
)(+=
P B P A P T T )(+=BP P AP P T T +==)()(B T A T + )()()(A kT AP P k P kA P kA T T T === 从而，合同变换T 是V 中的线性变换．
10．函数集合
},,|)({01201223R a a a e a x a x a V x ∈++==α
对于函数的线性运算构成3维线性空间，在3V 中取一个基 x e x 21=α，x xe =2α，x e =3α 求微分运算D 在这个基下的矩阵. 解 设
1221122)(αααβ+=+==x x e x xe D 2322)(αααβ+=+==x x xe e D 331)(ααβ===x e D
易知：321,,βββ线性无关，故为一个基. 由?
???
? ??=????? ??++=????? ??321332213212ααααααααβββP T
知????
? ??=100110021P T
故????? ??=110012001p .即D 在基下的矩阵为????? ??110012001.
11．2阶对称矩阵的全体
},,|{32132
213R x x x x x x x A V ∈????
??==
对于矩阵的线性运算构成3维线性空间.在3V 中取一个基
???? ??=00011A ，???? ??=01102A ，???? ??=10003A .
在3V 中定义合同变换
???
?
?????? ??=10111101)(A A T ,
求T 在基321,,A A A 下的矩阵.
解 ???? ?????? ?????? ??=101100011101)(1A T ????
??=1111321A A A ++=
???? ?????? ?????? ??=101111101101)(2A T ????
??=2110322A A +=
???? ?????? ?????? ??=101110001101)(3A T 31000A =???
?
??=
故?
???? ??????? ??=????? ?
?321321*********)()()(A A A A T A T A T T
从而，T 在基321,,A A A 下的矩阵???
?
? ??=121011001A .
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
同济大学线性代数第六版答案(全)
第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.
线性代数(同济六版)知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12 a 21 a 22 |= a 11a 22 ?a 12a 21 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。 所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！ 逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n! 2 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列， t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：r i ? r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ：r i x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如 第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j 33 323123222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 21=O n 21λλλN n 2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛ+++n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛM M M M ΛΛ ΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a Λ ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛ+++n n n j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a Λ Λ ΛM M M M ΛΛΛ Λ ΛΛ=
同济大学线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
同济大学线性代数第六版答案(全)
同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2
解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****
《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
线性代数同济六版知识点总结
1。 二阶行列式——-----—对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n! 逆序数:对于排列 … ，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中： 是1，2,3的一个排列， t( )是排列 的逆序数 5。 下三角行列式： 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6。 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。 （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 :两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行: ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如: 33323123222113 12 11 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n 1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a a b a a
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
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同济大学线性代数第六版答案(全)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a
=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b)(b -c)(c -a). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y 3-(x +y)3-x 3 =3xy(x +y)-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个)
同济版_工程数学-线性代数第五版答案
同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2
2020年同济大学线性代数第六版第五章《相似矩阵及二次型》同步练习与解析
第五章 相似矩阵及二次型 1、设a=(1 0?2),b=(?423 ),c 与a 正交，且b=λa+c,求λ和c 2. 试用施密特法把下列向量组正交化，然后再单位化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ?? ?? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ???? ? ??-= --=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 3. 下列矩阵是不是正交阵:
(1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 4. （1）设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x(x T x)x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. （2）. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1 =A T , B -1 =B T , (AB)T (AB)=B T A T AB =B -1 A -1 AB =E , 故AB 也是正交阵. 5.设a 1,a 2,a 3,为两两正交的单位向量组，b 1=1 3a 1+2 3a 2+2 3a 3, b 2=2 3a 1+2 3a 2-1 3a 3,b 3=-2 3a 1+1 3a 2-2 3a 3,证明b 1,b 2,b 3,也是两两正交的单位向量组。 6. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ? ??----201335212;