带硬芯势的一维Bariev模型的热力学性质和边界效应

西北大学

硕士学位论文

姓名：李晓军

申请学位级别：硕士

专业：凝聚态物理

指导教师：岳瑞宏

20040501

摘要

在强关联相互作用电予系统的研究中，Ｂａｉｉｅｖ模型是继Ｈｉｒｓｃｈ，ｔ－，ｌ坝型后极其代捉＋¨．ｎ０一种可积模型。而边界效应在一维可积系统研究中具有重要意义。水文Ｅ要讨论开边外条件下具有硬芯势的一维Ｂａｒｉｅｖ模型。首先利用该系统的Ｂｅｔｈｅ．ａｌｉｓ，）ｔ／嗣璺和能量本他值、分别在排斥和吸引势两种情况下依据弦假设求解Ｂｅｔｈｅ．ａｌｌＳａｔｚ方孙，许通过对系统门由能的变分，给出热力学Ｂｅｔｈｅ—ａｎｓａｔｚ方程（ＴＢＡＥ）。接着，分析了７ｍ她的一些极限ｔ占况，如低温、高温极限，弱相互作用和强相互作用耦合极限。最后，褂弘Ｊ’边羿场州】磁化率和比热的贡献，并给出了确切的表达式。

关键词：Ｂａｒｉｅｖ模型，Ｂｅｔｈｅａｎｓａｔｚ，开边界。

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ａｌｕｏｎｇｔｈｅｍｏｄｅｌｓｏｆｈｉｇｈｌｙｃｏｒｒｅｌａｔｅｄｅｌｅｃｔｒｏｎｓｓｙｓｔｅｍｓ，Ｂａｒｉｍ１１１ｃ，ｄｅｌｉｓｔ３７ｐｉｃａｌ１ｆｔｅｒＨｉｌｓｅｈａｎｄｔ－Ｊｍｏｄｅｌ．ＡｎｄｔｈｅｂｏｕｎｄａｌＴｅｆｆｅｃｔｓｈａｖｅｇｒｅａｔｓｉｇｎｉｆｉ（．１¨?ｆ、ｉ１１ｒｈｅｓｆｌｌ（１、７｝ｆｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ．ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｏｎｅ－ｄｉｍ（，ｓｉｏｎａｌＢｉ…¨ｍｏｄｅｌｗｉｔｈｈａｒｄ－ｃｏｒｅｕｎｄｅｒｏｐｅｎｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ．ｕｓｉｎｇ１ｈｔｅｉｇｅｎｖａｈｌｐ【ＪｆＨａｍｉｌｔｏｎｉａｎａｎｄＢｅｔｈｅａｎｓａｔｚｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｅｔｈｅｒｍｏｄ３ｒｎａｌｌｌｉ（＞Ｂｅｔｈｅａｎｓａｔｚ，ｑｕａｔｉｏｎｓ（ＴＢＡＥ）ｂａｓｅｄ０１１ｔｈｅｓｔｒｉｎｇｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｆｏｒｂｏｔｈａｒｅｐｕｌｓｉ、＿’ｅ．ｔｉｌｅｊａｎａｆ￡Ｉ’ａｃｔｉ、’ｅｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，Ｔｈｅｎｔｈｅｓｅｅｑｎａｔｉｏｎｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｓｅｖｅｒａｌｌｉｎｄｔｉｎｇｃａｓｅｓ，ｍｌｃ［、ａｓｔ，ｋｅｇｒ（ｍｌ、（【ｓｔａｔｅ：ｈｉｇｈｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｌｉｎｆｉｔａｎｄｗｅａｋａｎｄｓｔｒｏｎｇｃｏｕｐｌｉｎｇ．Ｆｉｎａｌｌ３’ｔｈｅｌ【ｍｔ，ｒｉｉｍｔｉｏｎｕｆｌｈｅｂｏｕｎｄａｌ’Ｙｆｉｅｌｄｓｔｏｂｏｔｈｔｈｅｍａｇｎｅｔｉｃｓｕｓｃｅｐｔｉｂｉｌｉｔｙａｎｄｓｐｅｃｉｆｉｃｈｅａｆａｌ一、ｏｈｔａｉｎｅ｛Ｉ．ａ１】ｆＩｔｈｅｉｒｅｘａｃｔｅｘｐＩ‘ｅｓｓｉｏｎｓａｒｅａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙｄｅｒｉｖｅｄ，

Ｋｅ３，ｗｏｒｄｓ：Ｂａｒｌｅｙｍｏｄｅｌ】Ｂｅｔｈｅａｎｓａｔｚ，ｏｐｅｎｂｏｕｎｄａｒ３

ｌｌｌ

Ｘ６２３７６０

独创性声明

本人申明所呈交的学位论文是在本人导师指导下进行的研究丁作以及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的资料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名：杏咖浑

签名日期：２００４年５月１８日

第一章引言

刑于物理学中的一个体系而言，如果能找到与该体系的自由度相同数…内运动积分，业们就说这个体系是可积的。可积模型是经过简化了的真实物理体系，从『ｆｐ：迎易ｊ二求解…系统的配分函数，最终计算出体系的热力学量。假设一个物理体系的温Ｊｌ：｛：力７１微观态７的能量Ｊ，ｊＥ（ｊ），则配分函数由下式给出

ｚ＝∑ｅｘｐＩ—Ｅ（ｊ）／ｋＴ］，

，

由此易求出该体系的很多宏观量，例如

熵

自由能内能比热磁化率

Ｓ＝一ｋＴｌｉｉＺ、Ｆ＝Ｅ（ｊ１一了１ｓｕ＝－Ｔ２丽０Ｌ亍Ｆ）Ｃ＝一Ｔ筘（导）ｘ＝一丁蒜（斋）

其。扎≈为波尔兹曼常数，Ⅳ为该体系的总粒子数，Ｈ为外磁场强发。

由于高温超导的发现，强关联电子系统受到了格外关注。低维系统ｃｈ强关联电子的涨落非常明显。二维Ｈｕｂｂａｒｄ模型［１］和ｔ．Ｊ模型［２，３］能够很好的解释高话＾赳导材料的反常性质，前者的量子涨落产生于同一格点的库仑排斥作用，而后者则是刚朴邻格点间的反铁磁自旋交换引起。一维的Ｈｕｂｂａｒｄ模型『４，５１和超对称ｔ一。，模型颇受?酣；，这是由于它仃Ｊ不但具有可积性，而且能通过Ｂｅｔｈｅ—ａｎｓａｔｚ方法加以对角化。１９６３引ｊ划，Ｉ＇ｔ，］Ｈ１１Ｉ）１Ⅲ（Ｉ腆’诅描述了部分能带被占据的单带近程关联效应，而超对称ｔ一．】模型则描划！］侮个格点最多｝ｌ能容纳一‘个电子的强关联可积体系。

在解释高温超导方面：Ｈｉｒｓｈ【６］提出另外一种不同方法，他认为电．予阳空穴的跳跃。，能带的填充有关，并决定于电子的末态。如果这种关联跳跃是吸引的，Ｊ！ＩＪ会增加跳跃，ｍ的振幅，并导致量子涨落的产生。我们知道一维Ｈｉｒｓｈ模型是不可积ｎ０，怛１９１）１年提：ｂ（ｉ，‘ＪＢａｒｉｍｒ模型ｆ７］是可积的，由于仅在一个方向上有关联，可以看作是“！卜个”Ｈｉｒｓｈ｝莫型。忙排斥和吸引互作用情况下，ＢａｒｉｅＶ模型的基本性质【７】一【１０］和热力学１㈨贡［Ｉｌ】都得到了研

苇一章引言

冗。随后Ｂａｉ’ｉｅｖ等人又提出了～种具有单电子跳跃，最近邻电子对跳２，、和Ｌ－联的可帆漩’叫１２］Ｉｌ３】。该模型不允许两个电子占据同一格点，且自旋分量相同的【Ｕ二ｊ’‘ｉ能占据仙个相邻格点。

近年来，相继出现了一系列带硬芯势的可积模型，如ＸＸＺ．Ｈｅｉｓｅｎｂｅ『ｌ二锄漠型ｆ１４１，特制址２００２年Ｙ１１ｅ和Ｓｄｆｌｏｔｔｍａ．ｎｎ提出带硬芯势，单电子跳跃，双电子跳跃的阶，汹，模型ｆ１５１尤如突出。该模型中，不允许相同自旋分量的两个电子存在于△间隔晶格ｈ，世不允许小Ｍｌｌ旋分餐的两个电子靠近于△范围。显然，硬芯势限定了系统电子数的－止／、值。该模Ｊｍ，Ｊ以在极限情形下退化为之前的一系歹ｌＪＢａｒｌｅｙ模型。在周期性条件下，侈枞，性的可积，ｍＩｌｅｔｈｅａｌｌＳａｔｚ方程，以及热力学性质等都得到了广泛的研究。

我们将在参考文献ｆ１６］的基础上给出开边界条件下带硬芯的Ｂａｌ’ｉｍ桴！’ｆ！ＩＮ．４１１ＪＪ：Ｔ：ｈ

在凝聚态物理中，三维电子的量子杂质问题一直是研究的热点。它和试如Ｋ０ｎｃｌ。问题之类的很多重要现象相关。利用Ｂｅｔｈｅ～ａｎｓａｔｚ方法［１７ｌ［１８ｌ，可以研究Ｋ０１一ｄｆ［１Ａｎｃ衙Ｓ（Ｊｌｌ帧型的低温性质。最近，在物ＮＮＮＮＮ＃Ｎ，一维系统杂质方面的问题｛蚓一［２３】重新，ｊＪ，瑶Ｊ７人们的注意。

实际上，很多人已经分析了不同的边界条件下的杂质效应【２３］＿ｉ２（?】。ｌ』去ＩＹＪＪＬＩｊｌ？ｌ臣，研究可积开链的Ｂｅｔｈｅ－ａｎｓａ七ｚ方法已经得到了很大的发展【２７】【２８】。存参ｊ文献１２５】Ｌｈ仔到了ｊ’ｔ：边界条件下各向异１性Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ模型的磁化率。这个结果被总结≯牙边界的趟刈称ｔ一。，模型，并得到了体的和表面的磁化率。参考文献［２９］绐出了开边”｝ＩＩｆｆ｝ｂａ］－ｒｌ模型ｎ０｛融化率和低温比热，并讨论了边界效应对于二者的影响。

在本文中，我们将研究开边界条件下一维带硬芯势的推广ＢａＩ－ｊｅｖ秘型的磁化率－孔Ｅ热的边界效应。

第二章开边界带硬芯的Ｂａｒｉｅｖ模型的精确解

本章我们将简要回顾开边界条件下带硬芯的Ｂａｄｅｖ模型的可积性证日Ｊｊ以及精确解的｜｜算。在开边界条件下，系统的Ｈａｍｉｌｔｏｎ量可表示为【１６］

Ｌ一１２

Ｈ＝一Ｐ△∑｛∑（ｃ；，。ｃ，＋?，。＋弓＋。．。（。．。）Ｊ＝ｉＯ－＝ｌ

＋（ｅ一。一占△．ｏ）（弓＋ｌ＋△，１弓，２勺＋１＋△．２ｑ＋１，１

＋弓＋ｌ＋△，１弓，２ｃｊ＋ｚｘ．２ｑ．１）＋Ｈ．ｃ｝如

２

＋∑（Ｐ１，ｎｌ。＋屁。Ｔ／．Ｌ。），（２１）

填中司。（ｔ如．）是位于格点Ｊ，自旋为盯的电子产生（湮灭）算符（盯＝ｌ和ｒｒ＝２分别代表自旋向上和向下）。Ｐ１。和Ｒ。（其中盯＝１，２）是描述边界场的参数。ｐ么是找ｉ！：饽符，它ｍ制电子不能处于Ｉ。?一Ｘ２＋（Ｏ－１一０２）／２ｌＳ△的区域，其中％和ｑ分别表两：啦ｆ的位置和自旋。尸△的表达式为

尸△＝兀｛％，１（ｉ—ｎｊ．２）（１一ｎ，＋△，１）兀印

ｊ｛；ｊ一△．ｉ≠ｊ

＋勺＋如：ｏ（Ｉ一８Ｊ）

Ｊ＋△

十哪，２（１一ｎｊ，１）（１一％一△，２）Ｈｅｆ｝，（２２）

ｌ＝，＿△＋１，ｆ≠ｊ

其中＂，＝Ｃ；，ａＣｊ。ｅｊ＝（１一％，１）（１一札∞）。当△＝ｏ时，尸△为恒等算｛ｊ。咳Ｈ８１ｕｉ［ｔ（）１、量１勺首项为单电子跳跃项，第二，三项为电子对跳跃项。１

设系统有Ｎ个电子，其中Ｍ个电子自旋向下，利用标准的ＢｅｔｈｅⅧｎｎｔ，，疗法，该系统ｎｑ本征态可表示为

ｉⅢⅣⅣ）＝∑，（Ｘｌ

｛ｑ）缕中波函数，取如下形式

＿Ⅳ

ｚ．Ⅳ）…，。Ｐ△ｒＩ喝，ｑＩｏ），＝Ｌ

ｆ２．：ｎｆ２４１＼、●／

ｑＺ劬Ⅳ∑埘／，●●、＼ｐ

ＸｅＰ０ＡＰＥ０ＤＰｏ

＝Ⅳ口口ⅣＺＺ，

笨二章开边界带硬芯的Ｂａｌ’把ｖ模型的精确解

纣于给定的Ｎ个ｋｊ，考虑所有的｛码）以及含有任意个｛一岛｝构成的组合．、，，代表这～组合中的任意置换。６．ｐ是置换Ｐ的宇称，它由置换的宇称与取负如值宇称的秘来决定。Ｑ＝Ｉｑ∥??”）是Ⅳ个粒子的置换，它使粒子位置满足ｌ≤％，≤．Ｔｑ。…≤一。≤￡。对饵换Ｊ７）有Ⅳ！×２Ｎ种可能，对０有Ⅳ！种可能。Ⅳ个粒子的自旋｛吼，…０＂Ｎ¨哗】Ｖ一＾，个取使勾ｌ，＾』个取值为２。把试探解代）ｘ．ＳｃｈｒＳｄｉｎｇｅｒ方程，得到能量本征值

Ⅳ

Ｅ＝－２∑ｃｏｓ（白），（２．５）

ｊ＝ｌ

波函数的振幅应满足

Ａｑ”４。ｗ（≈……，ｋｐ。）＝％。。（ｋｐ。）Ａ‰’“４９ｗ（一ｂ１）一，‰

Ａ‰’４９ｗ（％∥一，ｂ。）＝Ｋ。。（一ｂ。）Ａ‰’…４。”（ｂ１７．一，一％）

Ａｑ∥”ｑ’ｔｒｑｊ＋ｌ’…’％“（％ｌ，．．２跷麓（‰一‰＋ｔ）驴‰，‰＋＂…％。）

，，

‘４州’～’’。’‰（ｋｐ¨．一，如。＾∥?－％。），（２∽

ｓｊ（七）＝ｓｉｎ９。（ｋ”／‘２ｉ岛－人ｉ、ａ）｛ｓｉｎ＠／２－ｉａ）（１＋吼圆铂）／２

＋ｓｉｎ（一ｉｃｖ）［ｅｉｋｌ２（Ｉ＋口３）＠（１一盯３）／４＋ｅ－ｉｋ／２（１一盯３）＠（１１丌３）／４１

４－ｓｉｎ（ｋ／２）（ａ＋ｏ盯一十仃一圆盯＋）｝．（！ｉ）

这里假定Ⅳ△＜Ｌ（Ｌ表示链长）。左边界反射算符￡，和右边界反射算籀ｌ／．：｝别定义为

岬）＝端川驴耥．（ｎｓ）填中

Ｏｔ。（七）＝ｌ＋片。ｅ１‘

岛（七）＝（１十吃。ｅ咄）ｅ’Ｈ‘＋”，

联立方程（２．６）（２．７）（２８），可得

Ａ％，４９一（ｂｌＩ一，％。）＝｛￡，（％。）ｘｉ２…ｘｉⅣｙ（ｂ，）

ｘⅣｌ，－ｘ２ｌａ、ｑｌ＇…＂＇＇ｑｑ。Ｎ。Ａ如”＇口。（‰．．，ｋ，。），（２ｕ）

第二章开边界带硬芯的Ｂａｒｊｅｖ模型的精确解

妫＝赢訾端｛ｓｉｎ【（一岛一Ｇ）／ｚ砘］（１川一１／２！ｅ中ｘ定义为Ｘ＝ＳＰ，取如下形式

＋ｓｉｎ［（－ｋｌ—ｋｊ／２］（１—０－３＠０３）／２

＋曲ｎ（一｛ａ）（一４（一也一ｋｊ／２仃＋圆盯一＋ｅ－－ｉ（一七ｔ—ｋＳ）／２盯一。盯＋）｝，

．砥，＝五ｉ魁墨端｛ｓ；ｎＩ（也一Ｇ）／。一ｉｎ］（－＋ａ。＠ｒ：ｉ）ｔ

＋ｓｉｎ［（ｋｌ—ｋｊ／２］（１一Ｏ＂３＠ａｒ３）／２

＋ｓｉｎ（一ｉｎ）（ｅｌ（‘，一ｂ）／２盯＋＠仃一＋ｅ－ｑｈ－ｋｊ）／２盯一＠ｉｆ＋）｝．（２１¨）｜｜ｔ于方程（２．９）的形式类似于开边界条件下非齐次的ＸＸＺ模型的转移矩Ｍ，因此可借助１二其结果对这些系数的约化方程进行对角化。选取自由参数“和∈一，为仙２旺系统ｎ－］－；ｆｒｉ．，

Ｊ』｛ｊＪ尸１。和Ｊ，ｋ须满足如下的约束方程

黔

ｆｏｒＰｌ，３一，＝ｌ０＝１２

ｆｏｒＰｌｌ＝Ｐ１２

Ｆ：』‘ａｌｌｈ一１［且（－１ｐ（１－ＰＬｊ］ｆｏｒＰＬ，３一Ｊ＝１ｏ＝１，２１

ｌｉ＠／２＋礼７ｒ）ｆｏｒ境ｌ＝屁２

ｊ￡中，ｆ是整数。所以在满足Ｐ１。＝１和Ｒ。＝１，Ｐｌ。＝１和Ｒｌ＝Ｒ２，”ｌ

ｌ的条件下系统可积。即有九种可积条件。运用标准的程序可知准动量“￡

！！±璺！！：！竺２ｆ！±垦！！：：竺！乒吲。＿△（Ⅳ－Ｉ））

（１＋尸１１ｅ‘ｂ）（１＋ＦｌＬｌｅ４ｋｊ）。

“—ｓｉｎｌ（ｔ：ｊ－—／ａ）／２］一口些Ｍ磊隔＝ｉ丽‘

×型！鱼±！竺幽：ｆ＝｝型！生二鱼±型』型

ｓｉｎ［（｛８＋２ｉａ）／２】＊ｓｉｎＩ（如一如＋｛口）／２］

ｓｉｎ【（∈口一２ｉａ）／２】未当ｓｉｎｌ（（口一幻一ｉ０：）／２１

ｓｉｎ【（白＋ｉａ）／２］兀ｓｉｎ【（如一｛２＆＋ｉａ）１２】

２一丽隔＝ｉ羽丛五隔干瓦＝面丽

×，鱼涨崖等端，㈦…

第二章开边界带硬芯的．Ｂａｒｊｅｖ模型的精确解

堆此我们完成了Ｈａｍｉｌｔｏｎ量（２．１）的对角化。

因为自旋向上和向下的电子数守恒，因此在Ｈａｍｉｌｔｏｎ量中添加化葛ｊ：於ｉ井口外磁场／“内－厅献项不会破坏系统的可积性。故可推广系统的本征值为

Ⅳ

Ｅ＝一２∑ｃｏｓ（如）一Ⅳｐ一，Ｌ（Ｎ／２一＾ｆ）．（２．１２）

ｊ＝ｌ

第三章排斥相互作用情形

对－］＝Ｂｅｔｈｅ喝ｎｓａｔｚ方程＿（２．１１）而言，参数。取任意值都成立。但是班住Ｈａｍｌｉｔ。１ｌ髓！‘ｌｆｆ厄米共轭性，则要求。必须为实数。实数０：可以分为两个区域：ｎ＞０ｆｎｒ，＜０．分别圳世Ｊｊ排斥和吸引相互作用情形。本章我们将从Ｂｅｔｈｅ．ａｎｓａｔｚ方程（２１１）出值，求研究排斥相旺作用情形下整个系统的热力学性质。

§３．１热力学Ｂｅｔｈｅ－ａｎｓａｔｚ方程（ＴＢＡＥ）

对ｆ排斥相互作用（ｏ＞Ｏ）情况，电子中不存在准ＣｏｐｐｅＩ＿ｐａｉｒ束缚箍：，故电荷动迸都全为实数ａ这可以对ＢＡ方程（２．１１）第一式数学分析得出。我们先考Ｈｊ一个虚部为正ｎ勺复数电荷动量，显然在热力学极限下ＢＡ方程的左边为零，而右边并不。－剐零，因此对于虚部为正，ＢＡ方程不成立。同理，对于虚部为负，ＢＡ方程也不成立。川此ｆ乜荷动量为吱数。

而自旋动量茹，ｓ则可为复数。这可以从ＢＡ方程的第二式分析得出。一个自旋动量解的虚部每变化２ｉ０１，就成为一个新解。因此，在热力学极限下，自旋动量百Ｊ以写成任意ｋ度ｎ（ｎ＝１，２…，ｏ。）的弦解形式。即

铝，ｓ＝茹＋ｉ＆（礼＋１—２ｓ），（ｓ＝１，２，…竹）（：｛１１

这里铝表示长度为竹的ｐ弦的质量中心。从下面可知，铝取实数对应于基．基，收虚数则ｘ．Ｊ‘应Ｊ二激发态。一系列相关模型的弦假设可参见文章ｆ３０】【３ｌ】。

把弦解代入ＢＡＥ方程（２．１１），在热力学极限下，分别得到以下两组ｉ积方｝５１

ｍｍ船）＝；１一垒７１＂￡删袱’）

＋薹［蜗（％一求）＋ｚｌ磊ｄｏｏ－，聃

＋∑／《Ｇ。（％一．（∈）＋了五Ｐ０（≈）．

ｎ＝１Ｊ—ＦＬⅡⅣ

７

第三章排斥相互作用情形

‰（ｆ）＝ｚ１霹ｄ矧ｎ∈）＋［挑叫Ｅ一咖（七）

ｏ。ｒ”

一∑／蜓７Ａ。。（∈一∈７）盯。（‘，））

ｍ＝１Ｊ一”

（３２）媾中『，和听。分别表示电荷密度和自旋密度；几和口以分别是相应的电荷和ｌＩ赋的空穴密度。％和ｑ：分别为Ｐｏ（驴丽１?ｎ告笨粉＋竿

十去卜－－２ｔａｎ－１ｃｔａｎ知纠

删≮１ａｎ一１畦ｃｏｔｈ学］

＋三ｔａｎ一１

丌

一土ｔａｎ一１

７ｒ

＋丽１氍ｎ?ｎ糍镒嵩麓黼，㈦。，积分核由它们的傅立叶变换（Ｆｏｕｒｉｅｒｓｅｒｉｅｓｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ）给出

州沪磊１。釜型唑辩产型

这里利用了恒等式

Ｇ（ｆ）：石１萎ｅ瑚即№ｌ

‘，Ｉ，ｋ＝－ｏｃＺ”如而‰＝篙，我，

杷个系统的能量密度为

（３．４）

（３．５）

坠

三ｒ爿

喊

ＬｒＬｒ

、Ｊ

＾

坐ｏ

Ｍ

∞∑㈣生。

一

ｐ一２

兰。啦

飘

＂

∞

必

ｑ

—ｒ，一

扣即Ｖ

＝

ｄ。衙一２

”■；矧肛群

第三章排斥相互作用?隋形

熵密度为

＋ｐｈ／ｐ）＋ＰｈＩｎ（１＋，）／，）＾）

％＾／％）＋％＾ｌｎ（１＋Ｇｎ／盯。＾）ｍ（３７）

芍虑到Ｉ—ａ．ｇｔ’ａｎｇｅ乘予和方程（３．２），对自由能，＝ｅ—Ｔｓ／Ｌ作变分，ｆ：｝到’ＦＢＡＧｆ程

ｅ（詹）＝一２ｃ、ｏｓ（七）－ｕ－ｈ／２＋Ａ丌ＴＪ［一＂。ｄｋｌｎ［１＋ｅ－４ｋ）／ｖ］

。。，”

一∑丁／ｄ∈Ｇ（∈～七）Ｉｎ［１＋嘶１（扎ｎ＝ｌＪ一”

，Ⅱ

Ｉｎ（１＋‰（Ｅ））＝ｎｈ／Ｔ一／ｄ％瓯（∈一七）Ｉｎ［１＋ｅ一‘（‘）门］Ｊ一＂

∞广”

＋至／ｄ∈’Ａｎｍ（∈一∈７）Ｉｎ［１＋砺１（钏（３．８）

ｍ＝ＩＪ—ｗ其中Ｅ＝Ｔｌｎ（ＰｈｌＰ），ｍ＝Ｇｎｈ／Ｇ。＝ｅｘｐ（１】ｏ。／Ｔ）．这与参考文献［７】中的定义致。

自由能为

§３．２．１基态

一Ｔ卜洁Ｉｎ［１＋ｅ一‘吲丁】

薹Ｔ／《陆翱小［－础ｅ，§３．２极限情形

（：３．ｕ）

根据动量的Ｆｈｍｉ统计结果，在极低温极限下，／ｌ又ｄｒｅｓｓｅｄ—ｅｎｅｉ－ｇＹ为负的态被占据，ｌｌ！｝内态为空。ｄｒｅｓｓｅｄ—ｅｎｅｒｇｙ等于零对应于Ｆｅｒｍ谊＆级。把Ｅ和‰分别分解山正负项：Ｅ：ｆ一十Ｅ一和妒。＝妒嘉＋妒二，其中Ｅ＋≥０，妒吉≥０，Ｅ一＜０，垆二＜０。由方程Ｉ’（Ｈ２）第二式，易

ｌ斗、＝、１ｈ“ｐｈｒｔ‘舶ｈ厂／∞∑Ⅲｌ一２１—２＝

＋Ｓ—Ｌ坐ｏ

∞∑’ｌ一＾一４＋ｐ一２ｌ

●一ＬＦ—Ｌ㈣昂ｄ瓦土虬卜

第三章排斥相互作用情形

知当丁一０，竹＞ｌ时，有‰＞０，因此基态不存在自旋弦解，电荷与自就的ｒ｜Ｈ＝！ｓⅢＩ—ＣＩＩＣ！Ｉ舒分别为

㈣＝；＋￡蚓㈨）Ｅ－㈤

＋上删。。掣Ｇｔ（ｆ√）州∽

舶）＝－２ｃｏｓ㈤中会仁删ｅｍ）

一Ｌ忙。邺鼬＿）州。

＋仁删Ｇ心蛳ｍ，））

Ｊ。Ｅ中积分区间的上下限Ｑ和Ｂ分别由Ｅ（士Ｑ）＝０和妒１（士Ｂ）＝ｏ决定，换给出

岛（似）＝哪（…－Ｊ。ｌｎ…。ｌ，），

能量、电子数以及磁化率分另ｌＪ为

譬＝一仁嘶㈤（ｃ０啪）＋等＋知

Ｚ２一／ｎ“尤尸１８八。０５１８Ｊ十互十五Ｊ

＋；￡蜘㈣＋扣；一缸

＋＝．／＿日《。１（∈）＋ｚ（１＋看一ｉ）｝

盟＝！［：ｄ≈Ｐ（％）一—１Ｌ２Ｊ２Ｌ—，

一ｎ

ｒ、。，＇

鲁＝；￡嘶㈤一短撕㈣＋壶，

（３．１０）积分杉内反傅立¨ｌ变

／，Ｑ

７ｒｐ（％）＝１一△／ｄｋ７尸（七７）

Ｊ—Ｏ＋；仁删船“。曼高

一｝．仁蝓（¨）三翱卅ｚ７ｆ爰（１删

。／一口蜓Ｇ。（２一∈）兰素试（∈）＋ｚ磊Ｒ（２）（３１１）（３１２）

筝三章排斥相互作用情形

州沪￡蚓ｆ—ｋ）ｐ（ｋ）＋￡掣Ｇ一㈡ｌ，圭１知（１Ｉ。㈦

１３Ｂ）吼Ｋ）＝／（ｆｋＧｏ嬉一

）＋／嘶７～１代一∈Ｊ了．芹ｖｆ，（￡７１（３．）√一０Ｊ—Ｌ“＾。’

ｌ目方程（３．１０）可知当Ｂ＝Ｆ，ｈ＝ｏＮ，ｄｒｅｓｓｅｄｅｎｅｒｇｙ妒ｌ（∈）为负。即自五ｔ激发出现问隙。随着场强的增加，间隙逐渐变小，最终在临界场强处消失。临界场强／，，为

，ｑ

ｈｃ＝一２／ｄｋＧｏ（ｋ一７ｒ）Ｅ一（ｋ），（３．１４）

我们发现自旋间隙与△无关。对于类粒子Ｉ‰Ｉ≤Ｑ，类空穴Ｉ‰Ｉ＞Ｑ，基“：的电荷激发能与二Ｉ，力量分别为

ａＥｏ，（七０）＝ＩＥ（‰）Ｉ，

，女０

ＰＭｋｏ）＝２ｒｒ／ｄｋ【，）（尼）＋肌（ｋ）】．（３１５）

ｌ０中≈ｏ是描述激发的电荷动量。自旋波激发的能量与动量分别为

ＪＥ，（如）＝ｆ妒１婚）ｆ，

ｒ００

岛（如）＝２订／出盯ｔ（ｆ）ｕ一”

其中岛是描述自旋空穴激发的移开自旋动量。

§３．２．２Ｑ一０和口一。。极限

对于ａ一０（自由粒子极限），由积分方程（３．２），可得

Ｐ＝堕。匕＋４１Ｑ型Ａ十呈Ｌ』ｄｋ岛（≈）＋圭鑫Ｑ０１（≈），’１ｕ

Ｌ“，’Ｌ孤Ｙ、“，’

Ｐｈ＝；１－丽２＆ｕ＋ｚ１磊ｄＲ（七）＋壶鑫Ｑ６（七），ｉＩ中

ｕ＝睦岛（≈）＋瓦１ｖ。１（Ⅷ！。

棚应的基态能量、电子数和化学势分别为

（３．１６）

Ｑ缬§㈣忉

Ｅ一１．４ｓｉｎ（Ｑ）（２Ａｕ—１）ＬＬ’７ｒ＋４０△

一仁舭叫ⅥｒＬ２蒯ｄｐ，卅圭知ｍ）］

第三章排斥相互作用情形

Ｎ２Ｑ＋＂ｆｌｕｌ

～一一

三＂＋４ＱＡ２Ｌ’

ｐ＝一２ｃｏｓ（Ｑ）一８７ｒＡ．．Ｑｃ。ｓ（ｑ）一ｓｉｎ（ｑ）】（３．１８）

埘于ＯＬ—ｏ。，可得

二二嚣４－，，（４ａ－１）：僦：鬻１ｄ，ｑｌ／‰ｋ，、缬曼㈢㈣

肌＝再＋２。ｆ４△一玎＋±鑫昂（ｋ）＋瓦。。…，，Ｑ＜ＩｋＩｓＴ，¨”’’相应的能量、电子数和化学势分别为

§３．２．３高温极限ｉＥ＝圭一２ｓｉｎ（Ｑ）击装晶

一仁舭０ｓ（Ⅵ［饿１ｄｐ舭，，＋壶釉㈤１１

Ⅳ２Ｑ＋Ⅱｕ１

～一一

Ｌ２霄＋Ｑ（４Ａ～１１２Ｌ’

ｐ：一２ｃ。ｓ（Ｑ）一生皂｝（Ｑ。。ｓ（Ｑ）一。ｉ。。（Ｑ）】．（３．２０）

假定温度的大小远远高于动能，可积方程（３．２）可直接求解

ｅ～／：ｅ（ｃＡ－ｐ）／ｒｅ－ｈｉ２Ｔ最（１＋％１）一１

ｎ＝１

碟＝（１＋７ｈ＋１）（１＋７ｈ—１）／０＋ｅ一‘／Ｔ）６ｍ?

ｊ１巴等一ｈ，（３．２１）

ｎ＿∞ｎ、７｝盯ｐ丌ｒ．＝ＴＪ’ｄｋＩｎＩｌ＋ｅｘｐ（一４ｋ）／Ｔ）］，啪＝ｏ。依据Ｔａｋａｈａｓｌｌｉ【３ｌ】的方利、，代数方程（３２１）门解为

‰＝＿ｓｉｎｈ面２（ｂ：丽＋广ｈａ）～ｌ，

‰３■菊丽～１，

ｅＥ／ｋ蕊制锦两，

扩：（３２２）

第四章吸引相互作用情形

与排斥互作用情形不同，对于吸引相互作用情形，倾向于形成具矶小卜司分量的粒了求缚态，这类似于ＣｏｐｐｅＩ－ｐａｉｒｏ束缚态由复电荷动量加以描述。

§４．１热力学Ｂｅｔｈｅａｎｓａｔｚ方程

对于吸引相互作用而言，ＢＡ方程（２．１１）解的结构可从数学分析得ｍｔｆ司排斥相互作Ｊ的分析方法）。自旋动量岛有两种形式：一种为实数，一种为

婷＝白４－ｔｏ（４．１）

媾中毛为自旋动量。和排斥相互作用一样，自旋动量也可为任意长度的弦舭。把这些懈代ｈ．Ｂｅｔｈｅ—ａｌｉｓａｔｚ方程，可得

三—二ｊ；！垒：ｐ（％）＋ｐ。（％）＋厂”ｄ∈Ｇ。（七一∈）。，（∈）

Ｊ一”

＋薹［《哪叫球）一ｚｌ磊ｄ狮）

＋∑／《Ｇ（南一ｆ）％（ｆ）一７百Ｒ（七）

ｎ＝１Ｊ一ⅡＬⅡ埒

掣：盯，＠）＋盯ｉ馐）＋／”（ｆ％ｅ。（《一尼），，（％）

Ｊ一＂

＋￡怕（㈡弦，（∈，）＿ｚｌ歪ｄ眯般。

＋／畦７Ｇ代一∈７）盯，（∈７）一了百Ｐ０（∈＋ｉ（。

Ｊ一ⅡＪＪｕＬ

—ｚｌ霹ｄ昂＠一诎）一圭丢锚（鼽

Ｐ∞ｆ１

％＾（∈）＝／ｄｋＣｎ（｛一≈）Ｊ９（％）～曼／《７Ａ…（∈一一）“，（∈’ｌ

Ｊ一Ⅱｍ＝１Ｊ一”

＋ｚ１仳ｄＱ一．（∈），（４２）

Ｉ

Ｃ中儿ｃ＝ＮＩＬ，积分核与前定义一致。这里的Ｐ，∥，和盯分别表示实电ｔ稃＿＿Ｊ蔓，电荷对密

１３

筝四章吸引相互作用情形

懂和自旋密度：Ｐｌ。，以，和“分别是相应的空穴密度。运用标准的程序，＂ＩＰ胛

￡（七）＝一２ｃｏｓ（ｋ）一ｐ—ｉｈ＋６

＋丁／ｄ∈Ｃｌ（ｋ—ｆ）Ｉｎ［１＋ｅ一。‘‘’７７］

Ｊ一”

∞，＂

一Ｔ量／－。必Ｇ（ｋ－ｆ）１ｎ［１＋呱１（ｆ）】，

砂（∈）＝－４ｃｏｓｈ（ａ）ｃｏｓ（ｋ）一２ｐ＋２ｄ

，Ⅱ

＋Ｔ／ｄｋＣｌ（∈一南）Ｉｎ［１４－ｅ１‘圳７］

Ｊ—ｗ＋Ｔ［掣咪。）Ｉｎ［１Ｊ＋ｅ－她ｗＴ］＋Ｔ／ｄ—ｃｊ（ｆ—Ｆ）Ｉ＋ｅ—ｔ（∽／ＴＩ

一Ⅱ‘Ｊ

１４（４．３）搂中

ｄ＝坠Ｊ，－－”Ｔｒ删ｎ［１４－ｅ－Ｅ（ｋ）ｌＴ】＋了２ＴＡ仁酬１∥㈣伊．

㈠４）ｒ＝Ｔｌｌｌ（，）ｈ／ｐ），妒＝Ｔｌｎ（ａ＇ｈ／ａ，），‰＝ｃｘｐ（妒。／Ｔ）＝（６ｒｎｈ／ｏ。）。

自由能为

ｚＦ＝ｚ１［?＋警＋ｉｈ４－２ｃｏｓｈ（ａ）一Ｔ子Ｌ＝Ｉ竺２］

一丁ｄｋ［麦；＋互１Ｌ。ｄ七ｐ。、．ｍ）］，ｎ［１４－ｅ－＊（ｋ）／Ｔ］

一丁ｄｌｒ—ｌｄ

ｐ，船＋缸）＋瓦１歪ｄＰ０（∈一｛。）十ｊ１Ｌ《ｄ０…＂（￡）］

ＸＩｎ【１４－ｅ一。（‘’／Ｔ］．（４．５）

１

任

叩＿ｍ斗＿ｈｎ砷ｈ一０幢一

Ｇ＠船～￡舭ｎ￡砒∞∑一＝＋

第四章吸引相互作用?隋形

１５

§４．２极限情形

§４．２．１基态

取极限丁一０，并分别把Ｅ，妒分解为正负项之和。即

ｅ＝Ｅ＋＋￡一，￡＋＞０，Ｅ一≤０

妒＝妒＋＋妒一，妒＋＞０，妒一≤０，（４．（ｊ）ｍ方程（４．３）可知对于任意的ｎ和∈，ｄｒｅｓｓｅｄ—ｅｎｅｒＫｙ‰≥０。所以当７１一。时无自旋孩衅。可积方程如下

ｅ（七）＝一２ｃ。ｓ（七）一∥一；＋Ｊ一厂”鹰Ｇ（＾．～ｆ）砂一Ｋ）

一Ｊ一Ⅱ

妒嬉）＝一４ｃｏｓｈ（ａ）ｃｏｓ（ｋ）一２ｐ＋２６

一／ｄ七Ｇｌ幢一≈）￡一（七）～／蜓７Ｑ（∈一ｆｗ一（＠（４．７’

ｒ口

妒ｎ嬉）＝ｎｈ一／ｄｋＣ，。（∈一七）￡一（女），（４．８）其中的积分核与前一致。对于确定的Ｂ和Ｑ，硬芯势△对ｄｒｅｓｓｅｄ—ｅｎｅｒｇＹｉ、。纠：｜＿１勺效应可以转换吸收进化学势的贡献项中。由于零磁场小于临界磁场（虬），电子均Ｍ∥。

，口

ｈｃ２—４—２肛＋２５—２／畦Ｇ１（∈）妒一任），（４９）

ｏ—Ｖ

ｌｅ中，（？的大小由１】［１（士Ｑ）＝ｏ决定。临界场强的大小对应于破坏ｃｏｏｐＰｌ—ｌ，川行需的能ｊ建。功量由粒子密度和空穴密度的积分给出，见方程（３．１５）（３．１Ｇ）。

§４．２．２ｎ一０和“一ｏ。极限

当了１—０，ｈ＝０，所有的电子成对。可得电子对密度为

盯７＝；１ｊ－－面ｗＡ＋互１。。ｄｃｐｏ（（＋ｉ口）。

盯。２；ｊ面＋互。。ｃ＋２口）。

＋瓦１砸ｄＲ（∈一诎）＋壶爰Ｑ６（∈）Ｉ㈦≤ｑ

第四章吸引相互作用情形口ｏ：鞣＋两ｌｄ。ｐ。，（∈恤）。ｈ一‘－二Ｆ硒十ＺｄｆｏＫ十２０１Ｊ

＋圭丢Ｒ（∈一删＋ｚ１啦ｄＱ撼１Ｑ＜㈦，

（４．…）叫＝仁武［ｚｌ霹ｄＲ＠＋ｉ口）＋ｚｌ面ｄ岛（∈一｛ａ）＋ｚｌ面ｄｖ抓）］

棚应的能量、电子数和化学势分别为一Ｅ：呈牟—４ｓｉｎ（Ｑ）（—Ａｗ－１）ＬＬ＋７ｒ＋４０△

。

～仁蜘啪）融（㈨卅丢眯嘞ｎｌ拶ｄＩ∈、卜

Ｎ４Ｑ＋７ＴＷ

忙Ｌ２（７ｒ＋４ＱＡ）

ｐ＝一２ｃ。ｓ（Ｑ）一８。Ａ，．Ｑｃ。ｓ（ｑ）一ｓｉｌｌ（。）】．

（４１１）对于“一一。。，零磁场和零温，电子对密度为一＝虿备三耥Ｑ（８Ａ＋三Ｌ丢月Ｏｋ”ｑ＋ｉｎ）。

２【丌＋＋１）］。畦１““７

＋ｚｌ《ｄｐ，。（∈一他）＋ｚ１吣ｄＱ㈣１Ｉ｛Ｉ＜Ｑ，

‘＝虿４Ｉ；ｉ＿－Ｆ（石８Ａ碡诬＋碉１）ｗ＋ｚ１。ｄｅｐ

ｏ（∈ｏ＇ｈ２虿Ｉ；ｉ＿Ｆ石话诬＿Ｆ而＋Ｚ。ｅ＋ｉｎ）

＋ｚｌ面ｄ昂（∈一ｉ口）＋ｚｌ面ｄｖ。１（∈），（７＜㈨（４１２）相应的能量、电子数和化学势分别为—Ｅ

—：—ｅｌ—ｏ，Ｉ＋ｅｉｃ，１—ｓｉｎ（Ｑ）［（８Ａ—＋１）ｗ－４］

ＬＬ一７ｒ＋Ｑ（Ｓａ＋１１圳仁蜘啪“去ｄｃＰｏ（ｅ抽，＋鑫眯嘞，＋圭扣㈥１，Ｎ４Ｑ＋丌钮～

Ｌ丌＋Ｑ（８Ａ＋１１１

Ｌ

ｐ一沪Ｉ｛ｃｏｓ（计竿ＩＱｃｏｓ（讣衄（吣

㈢ｌｎ）

ｆ１１此情况下，电子的运动完全由电子对跳跃决定，而单电子跳跃被压制．．