高中数学总复习之要点必备：平面向量

§5. 平面向量 知识要点

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.

注意：①若b a

,为单位向量，则b a

=. （?） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.

②若b a

=，则a ∥b . （√）

2. ①()a

μλ=()a

λμ ②()a a a

μλμλ+=+ ③()b a b a

λλλ+=+

④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+

()2121,y y x x b a --=-

()21,y x a λλλ=

2121y y x x b a +=?

2

1

2

1y x a +=

（向量的模，针对向量坐标求模）

⑤平面向量的数量积：θ

cos b a b a ?=?

⑥a b b a

?=? ⑦()()()b a b a b a

λλλ?=?=?

⑧()c b c a c b a

?+?=?+

注意：①(

)()

c

b a

c b a ??=??不一定成立；c

b b a

?=?c

a =.

②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.

③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0 与任意向量平行，0

的方向是任意的，零向量与零向

量相等，且00

=-.

④若有一个三角形ABC ，则0；此结论可推广到n 边形.

⑤若a n a m

=（R

n m ∈,），则有n m =. （?） 当a

等于0

时，0

==a n a m ，而n m ,不一定相

等.

⑥a ·

a =2||a ，||a

=

2a

（针对向量非坐标求模），||b a ?≤||||b a

?.

⑦当0 ≠a 时，由0=?b a

不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a

垂直的非零向量b

，都有a ·b

=0.

⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立.

3. ①向量b

与非零向量．．．．a

共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b

λ=（平行向量或共线向量）.

当a ,0 λ与b 共线同向：当,0 λa 与b 共线反向；当b 则为0,0与任何向量共

线.

注意：若b a ,= （×）

若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =?θcos ，=?θcos （√）

②设a

=()11,y x ，()22,y x b =

a ∥b

?=-?01221y x y

x b a b a =??=λ a

⊥b

001221=+?=??y y x x b a

③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则A 、B 、C 三点共线

?∥

?

=

λ（0

≠λ

）

?

（1212,y y x x --）=λ（1313,y y x x --）（0≠λ）

?（12x x -）

·（13y y -）=（13x x -）·（12y y -） ④两个向量a

、b

的夹角公式：

22

22

21

21

2121cos y x y x y y x x +

?

+

+=

θ

⑤线段的定比分点公式：（0

≠λ和1-）

设

P 1P =λP P 2

（或2λ

1P 1P ，且21,,P P P 的坐标分别是)

,(),,(,,

2211y x y x y x ）（，则

推广1：当1=λ时，得线段2

1P P 的中点公式：

推广2λ

则λ

λ++=

1PB PA PM

（λ对应终点向量）.

三角形重心坐标公式：△ABC

的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：

注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件. ⑥平移公式：若点

P ()y x ,按向量a

=()k h ,平移到P ‘

()

'

',y

x ，则?????+=+=k

y y h

x x '

'

4. ⑴正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则

R

C

c B

b A

a 2s

i n s

i n s

i n ===.

⑵余弦定理：???

?

???-+=-+=-+=C ab a b c B

ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 22

22222222

⑶正切定理：2

tan

2

tan B A B A b

a b

a -+=-+

⑷三角形面积计算公式：

设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r .

①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=

()()()c P b P a P P ---

[海伦公式]

⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b

???

??

??++=++=33321321y y y y x x x x ???

???

?

+=+=222

121x x x y y y ???

???

?

++=++=λλλλ1121

21x x x y

y y A

B

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

如图：

图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr

I 为S △ABC 的一个旁心，S △（b+c-a ）r a

图

1

图2

图3

图4

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即

2

c

b a ++]

则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ）

③FC=c s -=1/2（a+b-c ）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =c

b a ab c

b a ++=

-+2

（如图3）.

⑹在△ABC 中，有下列等式成立C

B A

C B A tan tan tan tan tan tan =++.

证明：因为,C B

A -=+π所以()()C

B A -=+πtan tan ，所以

C

B

A B A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！

⑺在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DC

BD BC

BC AB BD AC

AD

?-+=

2

2

2

.

证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有 B BD AB BD AB AD cos 2222??-+=① 在△ABC 中，由余弦定理有

BC

AB AC

BC AB B ?-+=

2cos 2

22②，②代入①，化简

可得，DC

BD BC

BC AB BD AC

AD

?-+=

2

2

2

（斯德瓦定理）

①若AD 是BC 上的中线，2

2

2

2221a

c b

m a -+=

；

②若AD 是∠A 的平分线，()

a p p bc c

b t a -?+=2，其中p 为半周长；

③若AD 是BC 上的高，()()()

c p b p a p p a

h a ---=

2，其中p 为半周长.

⑻△ABC 的判定：

?+=2

22b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2

π

B

b

I A B

C

D

E

F I

A

B

C

D

E

F

r a

r a

r a

b c

a a b

c

C

D

A

C

B

图5

2

c

＜?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B ＜2

π

2

c

＞?+22b a △ABC 为锐角△?∠A + ∠B ＞

2

π

附：证明：ab

c

b a C 2cos 2

2

2

-+=

，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C +?-+?

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

)2=-+