8上—6命题与证明
13.2命题与证明
知识点梳理
命题分类：
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?基本事实：不需再做证明的真命题真命题：命题为真推论命题定理:判断命题真假的依据
假命题：命题为假 （反例：满足条件，但不满足结论）
结构：“如果（题设）......那么（结论）......” 互逆命题：“如果p ，那么q ”?“如果q ，那么p ”
原、逆命题的四种情况：① 真 真② 真 假 ③ 假 真 ④ 假 假 定义：能明确界定某个对象含义的语句
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已知条件证明定义基本事实已证定理结论逻辑规律
证明的步骤：
（1）分清命题的条件和结论（与图有关，要画出图形，并在图形中标出有关字母与符号）； （2）结合图形，写出已知、求证； （3）分析因果关系，找出证明途径； （4）有条理的写出证明过程； 直角三角形性质及推论：
（1）直角三角形的两锐角互余
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形的外角
定义： 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角 性质：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内
基础练习
1、下列语句：① 锐角大于0
90；② 两点之间，线段最短；③ 明天可能下雨；④ 作AD BC ⊥;⑤ 同旁内角不互补，两直线不平行，其中是命题的是（ ）
A 、①②③
B 、①②⑤
C 、①②④⑤
D 、①②④ 2、下列命题中，是真命题的是（ ）
A 、对顶角相等
B 、同位角相等
C 、若22
a b =，则a b = D 、若a b >，则22a b ->-
3、下列命题不是基本事实的是( ) A 、两点确定一条直线
A 、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D 、经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4、下列选项中，可以用来证明命题“若2
1a >，则1a >”是假命题的反例是（ ）
A 、2a =-
B 、1a =-
C 、1a =
D 、2a = 5、如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD 的度数是（ ）
A ． 110°
B ． 120°
C ． 130°
D ．
140°
6、如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则∠D=（ ）
A ． 15°
B ． 20°
C ． 25°
D ．
30° 7、如图，在△ABC 中，∠3是它的一个外角，E 为边AC 上一点，D 在BC 的延长上，则∠1、∠2、∠3之间的关系是（ ）
A 、∠3＞∠2＞∠1
B 、∠2＞∠3＞∠1
C 、∠3=∠1+∠2
D 、∠1+∠2+∠3=180° 8、若一个三角形的三个外角的度数之比为2:3:4，则与之对应的三个内角的度数之比为 9、（1）若三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是 （2）若三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是 （3）若三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是
提升练习
专题训练一：命题
1、有下列命题：① 同旁内角互补，两直线平行；② 若a b =，则a b = ；
③ 直角都相等； ④ 相等的角是对顶角，这些命题的逆命题是真命题的有 2、下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是
①若a 2=b 2
，则|a|=|b|； ②若x ＞0，则|x|=x ； ③若函数y=
有意义，则x 的取值范围是x ＞1；
④一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形；
⑤若点P （2，a ）和点Q （b ，﹣3）关于x 轴对称，则a ﹣b 的值为1．
3、指出下列命题的条件和结论，并写成“如果......那么......”的形式： （1）三角形的三条高交于一点 （2）垂直于同一直线的两直线平行 （3）同角的余角相等；
（4）能够完全重合的两个三角形面积相等； （5）对顶角相等
4、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： （1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； （3）内错角相等；
（4）等边三角形有一个角是0
60；
专题训练二：证明
1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：C BAD ∠=∠,B CAD ∠=∠.
2、已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE=∠CEF ．
3、已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB ．
专题训练三：三角形外角
1、如图：把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（）
A、∠1=∠2+∠A
B、∠1=2∠A+∠2
C、∠1=2∠2+2∠A
D、2∠1=∠2+∠A
2、如图，直线a、b、c、d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是（）
A、∠1+∠6﹦∠2
B、∠4+∠5﹦∠2
C、∠1+∠3+∠6﹦180°
D、∠1+∠5+∠4﹦180°
3、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于
∠=∠+∠+∠.
4、如图，求证：BOC B C A
专题训练四：推理探究题
1、甲、乙、丙、丁、戊五个人在运动会上分获百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：
A 说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军．
B 说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军．
C 说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军．
D 说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．
其中每个人都只说对一句，说错一句．求五人各获哪项冠军．
2、我们知道2
2
3-1=8，225-3=16，22
7-5=24，且它们都能被8整除，试问：任意两个连续奇数的的平方差都能被8整除吗？如果能，请写出你的推理过程；如果不能，请说明理由。
探究练习
1、如图，在△ABC 中，∠A=a ．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 6，BC 与∠A 6CD 的平分线相交于点A 7，得∠A 7．则∠A 7= ．
2、如图，在△ABC 中，∠A=α．∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2009BC 与∠A 2009CD 的平分线相交于点A 2010，得∠A 2010，则∠A 2010= ．
课后作业
1、下列语句中，不是命题的是（ ）
A 、如果a b >，那么b a <
B 、同位角相等
C 、垂线段最短
D 、反向延长射线OA 2、下列叙述错误的是（ ） A 、所有的命题都是条件和结论 B 、所有的命题都是定义 C 、所有的基本事实都是命题 D 、所有的基本事实都是真命题
3、已知，如图，△ABC 中，∠B=∠DAC ，则∠BAC 和∠ADC 的关系是（ ）
A、∠BAC＜∠ADC
B、∠BAC=∠ADC
C、∠BAC＞∠ADC
D、不能确定
4、如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）
A ．40°B
．
60°C
．
80°D
．
100°
5、如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠EAC和∠ACF的平分线交于点P，则
∠APC=．
6、审判员要从甲、乙、丙、丁四个嫌疑人中找出一个真正的罪犯来，他已经知道四个嫌疑犯中真正的罪犯只有一个，而且这些嫌疑犯在回答问题时要么完全讲真话，要么完全讲假话，下面是四个嫌疑犯的回答：
甲：“乙不是罪犯，丁才是罪犯”
乙：“我不是罪犯，丙才是罪犯”
丙：“我不是罪犯，乙才是罪犯”
丁：“乙不是罪犯，甲才是罪犯”
请你帮助审判员从中找出真正的罪犯来。