数学北师大版八年级下册期末复习要点
新版北师大八年级下册期末复习要点
第一章证明(二)复习
一、本章复习要求
1．熟记本章所有定理(黑体字)；
2．会证明本章所有定理，即会写出各定理的“已知、求证、证明过程”；
3．掌握角平分线与线段垂直平分线的作图，会作满足要求的等腰三角形；
4．会灵活运用本章定理进行解题；
5．本章最常用的数学思想：分类讨论．
(1)涉及到等腰三角形的边长、周长问题时要讨论哪边是腰哪边是底；
(2)等腰三角形可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
二、本章所有定理：
1.公理：三边分别相等的两个三角形全等.(SSS)
2.公理：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (SAS)
3.公理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. (ASA)
推论：两角及其中一角的对边相等的两个三角形全等. (AAS)
4.公理：全等三角形的对应边、对应角分别相等.
5.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
6. 推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (简写成“三线合一”)
7.等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.
8.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简写成“等角对等边”）
9.等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
10.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
11. 等边三角形的性质定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
12.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方..
13.勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
14.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
15.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．16.线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
17.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
18.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
19.角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
20.定理：三角形的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
三、本章部分定理的证明
1.求证：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：如图，取BC的中点D，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD．
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)．
2.求证：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．
求证：AD⊥BC，BD=CD．
证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AB=AC
∴∠B=∠C
在△ABD和△ACD中
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC
又∵∠ADB+∠ADC=180°.
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD⊥BC
同理可证，在等腰三角形△ABC中，当AD是底边BC边上的中线时，AD也是顶角∠BAC的平分线、底边BC边上的高；当AD是底边BC边上的高时，AD也是顶角∠BAC的平分线、底边BC边上的中线.
所以，等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
7.求证：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图，△ABC 是等边三角形. 求证：∠A=∠B=∠C=60°． 证明：∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ，AB=BC ∴∠B=∠C ，∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°
1. 求证：两角分别相等且其中一组对角的对边相等的两个三角形全等 已知：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF ， 求证：△ABC≌△DEF
证明：∵∠A+∠B +∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°， ∴∠C=180°－∠A －∠B ，∠F=180°－∠D －∠E ， 又∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F
在△ABC 和△DEF 中，
∵∠A=∠D，AC=DF ，∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF (ASA) 2.求证：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠B=∠E=90°，AC=DF ，AB=DE ． 求证：Rt △ABC ≌Rt △DEF ． 证明：∵∠B=∠E=90°
∴BC 2=AC 2－AB 2，EF 2=DF 2－DE 2 又∵AC=DF ，AB=DE ， ∴BC=EF
在Rt △ABC 和Rt △DEF 中 ∵AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （SAS ）
3．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E 、F ．求证：PE=PF
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠POE=∠POF， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠PEO=∠PFO， 又∵OP=OP，
∴△POE≌△POF， ∴P E=PF ．
4．求证：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上． 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D ，E ，且PD=PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上， 证明：在Rt△ODP 和Rt△OEP 中， ∵OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL ）， ∴∠DOP=∠EOP，
故点P 在∠AOB 的平分线上．
5．求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的任意一点．求证：PA=PB
证明：∵MN ⊥AB ，
∴∠PCA=∠PCB=90°，AC=BC ，PC=PC ． ∴△PCA ≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
6．求证：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 已知：如图，AB=AC ．
求证：点A 在AB 的垂直平分线上. 证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴BD=DC ，
∴AD 是BC 的线段垂直平分线 ∴点A 在AB 的垂直平分线上． 四、典型题目及解答
1．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ，CE 是△ABC 的角平分线．求证：BD=CE ． 证明：∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1=21∠ABC ，∠2=2
1
∠ACB ．
∴∠1=∠2．
在△BDC 和△CEB 中
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB ，∠1=∠2，
∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
第六章 平行四边形复习
一、本章复习要求
1．熟记本章所有定理(黑体字)；
2．会证明本章所有定理，即会写出各定理的“已知、求证、证明过程”； 3．会灵活运用本章定理进行解题． 二、本章所有定理：
1．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。 2．平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。
3．平行四边形性质定理：平行四边形的对角线互相平分。
4．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 5．平行四边形判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 6．平行四边形判定定理：一组对边平行相等的四边形是平行四边形． 7．平行四边形判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”不能作为定理直接使用． 8．三角形中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 9． n 边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)·180°． 10．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°. 三、本章部分定理的证明
1．求证：平行四边形的两组对边分别相等． 已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形． 求证：AB=CD ，BC=AD ． 证明：连接AC
∵四边形ABCD 为平行四边形（已知）
∴A D ∥BC ，AB ∥CD ，（平行四边形对应边相等）
∴∠1=∠2，∠3=∠4，（两直线平行，内错角相等）
在△ADC 和△CBA 中
∵∠1=∠2 ，AC=CA ，∠3=∠4 ∴△ADC≌△CBA（ASA ）
∴AB=CD，BC=AD ．（全等三角形的对应边相等） 2．求证：平行四边形的两组对角分别相等 已知：四边形ABCD 是平行四边形， 求证：∠A=∠C，∠B=∠D． 证明：连接AC ，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴A D ∥BC ，AB ∥CD ， ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 即∠DAB=∠DCB ． 同理∠B=∠D
3．求证：平行四边形的对角线互相平分
已知：四边形ABCD 为平行四边形，对角线相交于点O 求证：AO=CO ，BO=DO
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△ABO 和△CDO 中
∵∠1=∠2，AB=CD ，∠3=∠4 ∴△ABO≌△CDO（ASA ） ∴AO=CO，BO=DO
4．求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC 求证：四边形ABCD 是平行四边形 证明：连接AC
∵AB=CD，AC=CA ，AD=BC ∴△ABC≌△CDA（SSS ） ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∴AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD 是平行四边形
5．求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，AB∥CD 求证：四边形ABCD 是平行四边形 证明：连接AC ∵AB∥CD ∴∠1=∠2
在△ABC 和△CDA 中
∵AB=CD，∠1=∠2，AC=CA ∴△ABC≌△CDA（SAS ） ∴∠3=∠4 ∴AD‖BC 又∵AB∥CD
∴四边形ABCD 是平行四边形
6．求证：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线相交于点O ，AO=CO ，BO=DO 求证：四边形ABCD 为平行四边形 证明：在△AOD 和△COB 中 ∵AO=CO，∠AOD=∠BOC，DO=BO ∴△AOD≌△COB（SAS ） ∴∠1=∠2 ∴AD‖BC 同理AB∥CD
∴四边形ABCD 为平行四边形
7．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半． 已知：如图，DE 是△ABC 的中位线 求证：DE∥BC，DE=
2
1
BC ． 证明：延长DE 至F ，使EF=DE ，则DE=2
1
DF ，连接CF ． ∵E 是AC 中点， ∴AE=CE，
在△ADE 和△CFE 中，
∵DE=EF，∠AED=∠CEF，AE=CE
∴△ADE≌△CFE(SAS) ∴AD=CF，∠ADE=∠F ∴BD∥CF，
∵AD=BD，AD=CF ， ∴BD=CF
∴四边形BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF∥BC，DF=BC ， ∴BE∥CB，DE=2
1
BC ．
第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组复习要求
1．熟记不等式的三个基本性质，并会熟练运用它们解题，填写解题依据等； 2．要掌握解一元一次不等式的基本步骤，尤其是含分母的一元一次不等式的基本解题步骤。特别是最后一步“系数化成1”，要注意未知数的系数如果是负数，不等号方向要改变；
3．要熟练掌握几种常见的不等式应用题，包括规范格式； 4．要熟练掌握几种常见的不等式组应用题，包括规范格式；
5．本章最常用的数学思想：数形结合，主要在解“一元一次不等式与一次函数”的题目中出现．
第四章 因式分解复习要求
1．要理解因式分解的定义；
2．会熟练选择适当的方法分解因式；
3．要弄清楚平方差公式和完全平方公式的几何背景； 4．因式分解时要记得分解到不能再分解为止．
第五章 分式复习要求
1．理解分式的有关概念(分式有无意义、分式值为0等)；
2．熟记分式的基本性质，并会运用其进行分式的化简，填写解题论据等； 3．熟练进行分式的乘除运算； 4．熟练进行分式的加减运算，在解题时注意老师所强调的问题(如不能去分母等)； 5．熟练按规范的格式要求解分式方程，理解在解题过程中会运用到的解题依据． 6．熟练掌握几种常见类型的分式方程应用题。特别注意不要忘记写检验这一步骤．
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
三年级北师大版数学期末复习知识点汇总
三年级北师大版数学期末复习知识点汇总 第一单元混合运算 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 关于“0”的运算 1、“0”不能做除数； 字母表示：a÷0错误 2、一个数加上0还得原数； 字母表示：a＋0= a 3、一个数减去0还得原数； 字母表示：a－0= a 4、被减数等于减数，差是0； 字母表示：a－a =0 5、一个数和0相乘，仍得0； 字母表示：a×0=0 6、0除以任何非0的数，还得0； 字母表示：0÷a（a≠0）=0
7、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商. 第二单元观察物体 1.四边形特征 正方形 四条边都相等，两组对边分别平行 四个角都是直角 长方形 对边相等，两组对边分别平行 四个角都是直角 平行四边形 对边相等，两组对边分别平行 两组对角分别相等 梯形 只有一组对边平行 等腰梯形同底上的两个角相等 2.生活中的简单物体观察总结：同一个物体从不同的角度看会有不同的形状。 3.总结：同一立体图形从不同角度观察会有不同的形状。 第三单元加与减 1、在计算脱式计算连加时，按从左到右的顺序，先把前两个数相加，再加第三个数，也可以把三个数直接用一个竖式计算，相同数位对齐，
从个位加起，哪一位上的数字满几十就要向前一位进几，不要认为满十进一。 2、在计算三个三位数连加时，如果哪两个数相加能凑成整百，整千数，就先将这两个数相加，再加另外那个数。 3.用脱式计算连减时，按从左到右的顺序，先把前两个数相减，再减第三个数。也可以先把后两个数相加，写在小括号里面，再用第一个数减去这两个数的和。 4.如果哪两个数相加能凑成整百，整千数，就先将这两个数相加，再加另外那个数。 5.三位数加减混合运算的顺序：没有小括号的按从左到右的顺序依次计算，有小括号的先算小括号里面的，再算小括号外面的。 6.根据里程表提出问题，一般先把里程表转化成线段图来观察，再列式计算。 7.解决此类问题时，一定要从多个角度画图去理解三者之间的位置关系。位置变化，列式也随之变化。 8.当天行驶的里程数=当天里程表的读数－前一天里程表的读数 9.解答算式谜时，要通过观察推理找到从哪一位先计算，然后一步一步推算出答案。 第四单元乘与除 1、整十数乘一位数，根据表内乘法，先用整十数0前面的数与一位
北师大版初二数学下知识点
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 ※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. ¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 ※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac
数学北师大版八年级下册教材解读
第五章分式与分式方程 3．分式的加减法（教材解读） 双流区东升第二初级中学罗强 课时安排说明： 本节内容根据所任教班级一共安排了三课时。第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则、分母互为相反式的分式加减法运算、分式与整式加减运算的求值与应用。第二节课则阐述异分母分式的通分、加减法的运算法则及简单的应用，经历分母是单项式、多项式、因式等多种类型的异分母分式加减运算和通分的探讨过程，生发形成学生的分式加减运算的知识经验、训练学生异分母分式加减运算技能、培养学生化未知问题为已知问题的能力和意识。第三节课则提升到分式加减乘除混合运算、分式的求值及应用。这样安排，给学生一个简单到复杂的认识过程，有了分数加减运算复习的铺垫，使学生对分式加减法的掌握并不觉得难，且本节对于后面根据实际生活问题列出分式方程，并求出正确答案的基本功启到至关重要的作用，教学时必须踏踏实实，。 一、学生知识、技能、能力起点分析 第一课时学生的知识、技能、能力基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。 第二课时学生的知识、技能、能力基础：学生在上节课已经学习过同分母的分式相加减、分母互为相反式分式的加减运算、分式与整式加减的运算。在第四章又学习了因式分解，在本章的前面几节课中，回忆了分数的基本性质，学习了分式的基本性质、分式的约分及分式的乘除等。对这节课异分母分式相加减内容的学习都有了充分的铺垫。从学习字母表示数开始，学生就经历过许多从实际问题建模的思想，用代数式去解决实际问题的经验。同时在以前的学习中，学生也经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的活动的经验和合作与交流的能力。 第三课时学生的知识、技能、能力基础：学生在前两节课已经学习同分母分式、
北师大版小学数学(总复习)提纲
北师大版小学数学知识点总结 1、 数的分类 乘积是一的两个数叫互为倒数。其中的一个叫做另一个的倒数。 倒数 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。质因数公约数只有“1”两个整数叫做互质数，互质数是相互依存的。 互质数几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。最大公约数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。最小公倍数如果数“a ”整除数“b ”，那么数“b ”就叫做数“a ”的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 倍数如果数“a ”整除数“b ”，那么数“a ”就叫做数“b ”的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本。；约数农业的收成，通常用成数”来表示。“一成”是十分之一，改写成百分数就是10%。成数表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。通常用“%”来表示。如：25%百分数最简分数：分子和分母是互质数的分数。 假分数：分子比分母大，或分子与分母相等的分数。如：5/4、6/6 …真分数：分子比分母小的分数。如：3/4、1/8 …… 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 分数 无限不循环小数如：7.268413596423…… 混循环小数：循环节从不小数部分的第一位起。如：2.04666… 纯循环小数：循环节从小数部分的第一位起。如：3.555…循环小数 无限小数：小数部分的位数是无限的。 有限小数：小数部分的位数是有限的。 小数 1 合数：除了“1”和它本身还有别的约数。质数：只有“1”和它本身两个约数。 按约数的个数分 偶数：能被2整除的自然数。如：2、4、6 …… 1、数的产生：我们的祖先在生产劳动中，就有了计算的需要。如：他们出去打猎的时候，要数一数一共出去了多少人，拿了多少件武器；回来的时候，要数一数捕获了多少只野兽等。这样就产生了数。一个物体也没用“0”表示。 3、“1” 是自然数的单位，任何自然数都是由若干个1组成。 4、整除a 除以整数b (b ≠0),除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除（也可以说b 能整除a ）。 5、两个整数相除，它们的商可以用分数表示。 即：a ＋b=a/b(b ≠0) 奇数：不能被2整除的自然数。如：1、3、5 …… 按能否被2整除分 用来表示物体个数的1、2、3…叫做自然数。 整数→自然数 备注 概念及联系 名称 2、整数和小数数位顺序表 …万分之一 千分之一百分之一 十分之一 一个 十百千万十万百万千万亿十亿百亿千亿…计 数单位 …万分位千分位百分位十分位 个位十位百位千位万位十万位百万位千万位亿 位十亿位百亿位千亿位…数位 个 级 万 级 亿 级 小数部分小数点 整 数 部 分
(完整版)北师大版小学数学总复习知识点
小学数学总复习各模块知识 数的认识简易方程 一、数和数的运算数的整除二、代数初步知识 数的运算比和比例 一般复合应用题长度 典型应用题面积 三、应用题分数、百分数应用题四、量的计量体积 列方程解应用题重量 比和比例应用题时间 人民币 线统计表 平面图形的认识与计算角六、统计与概率 五、空间与图形平面图形统计图 长方体、正方体 立体图形的认识与计算 圆柱体、圆锥体 一、数和数的运算 （一）数的认识 整数的含义：像…-3，-1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。 正数和负数的含义：像1，+5，6，…这样的数叫做正数；像-3，-2，-9，…这样的数叫 做负数。 占位 0是最小的自然数，0是偶数，0的作用表示起点 表示界线 自然数1是最小的一位数，是自然数的基本单位；1既不是质数，也不是合数。 数的意义：是整数的一部分，可表示基数也可以表示序数 意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。表示 其中一份的数就是分数单位 分数 真分数——分子比分母小（小于1） 分类：假分数——分子大于或等于分母（大于或等于1） 带分数——分子比分母大（大于1） 意义：把整体“1平均”分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份 是十分之几，百分之几，千分之几……可以用小数表示 有限小数 按小数部分分无限不循环小数 小数无限小数纯循环小数 分类纯小数循环小数 按整数部分分混循环小数 带小数
折扣*：商业用名词，几折就是十分之几，成数，几成就是百之几十。 注意：百分数、折扣只表示两个数的倍比关系，而分数除倍比关系外还可以表示具体数量。 数的读写： 1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的0都不读，其他数位连续有几个0都 只读一个0。 2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上 写0。 3、小数的读写：整数部分按整数来读（写），小数点读作“点”，小数部分依次读（写）出每一位 上的数字。 数的改写 写成用“万”或“亿”作单位的数 1、多位数的改写和省略：省略“万”或“亿”位后面的尾数 2、分数、小数、百分数的互化 改写成分母是10、100、1000…的分数再约分 小数分数 用分子除以分母 小数点向右移动两位，同时添上% 小数百分数 去掉%，小数点向左移动两位 写成分数形式并约分 百分数分数 先写成小数，再写成百分数 数的大小比较： 1、整数的大小比较：先看位数，位数多的数大：位数相同，从高位看起相同数位上的数大的那个数 就大 2、小数大小的比较：先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同就看小数 部分从高位看起，依数位比较 3、分数大小比较：分母相同分子大的分数大；分子相同分母小的分数大；分母不同，先通分再比较。数的基本性质： 1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2、小数的基本性质：小数的末尾添“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。
新北师大版八年级下册数学教案
第一章 三角形的证明 1.等腰三角形（一） 一、教学目标如： 1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。 2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系； 二．教学重、难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 三、教学过程分析 第一环节：回顾旧知 导出公理 请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实。其中证明三角形全等的有以下三条： 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）； 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）； 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明； 2.回忆全等三角形的性质。 已知：如图，∠A =∠D ,∠B =∠E ,BC =EF . 求证：△ABC ≌△DEF . F E D B A
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， 又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F（等量代换）。 又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。 第二环节：折纸活动探索新知 提问：“等腰三角形有哪些性质？如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？” 第三环节：明晰结论和证明过程 让学生明晰证明过程。 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合 第四环节：随堂练习巩固新知 第五环节：课堂小结 第六环节：布置作业 四、教学反思 1. 等腰三角形（二） 一、教学目标： 1．知识目标：探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步
新北师大版八年级数学下册知识点总结
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么
北师大版小学数学总复习知识概念汇总(全)
新人教版小学数学总复习知识概念大全 第一单元数与代数 （一）数的认识 0、负数】 1、一个物体也没有，用0表示。0和1、 2、3……都是自然数。自然数是整数。 2、最小的一位数是1，最小的自然数是0。 3、零上4摄氏度记作+4℃；零下4摄氏度记作-4℃。“+4”读作正四。“-4”读作 负四。+4也可以写成4。 4、像+4、19、+8844这样的数都是正数。像-4、-11、-7、-155这样的数都是负 数。 5、0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。 6、通常情况下，比海平面高用正数表示，比海平面低用负数表示。 7、通常情况下，盈利用正数表示，亏损用负数表示。 8、通常情况下，上车人数用正数表示，下车人数用负数表示。 9、通常情况下，收入用正数表示，支出用负数表示。 10、通常情况下，上升用正数表示，下降用负数表示。 1、分母是10、100、1000……的分数都可以用小数表示。一位小数表示十分之 几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 2、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、 百分之一……都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。 3、每个计数单位所占的位置，叫做数位。数位是按照一定的顺序排列的。 4、小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。 5、根据小数的性质，通常可以去掉小数末尾的“0”，把小数化简。 6、比较小数大小的一般方法：先比较整数部分的数，再依次比较小数部分十分 位上的数，百分位上的数，千分位上的数，从左往右，如果哪个数位上的数
大，这个小数就大。 7、把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数，只要在万位或亿位右边点上小数 点，再在数的后面添写“万”字或“亿”字。 8、求小数近似数的一般方法： （1）先要弄清保留几位小数； （2）根据需要确定看哪一位上的数； （3）用“四舍五入”的方法求得结果。 9、整数和小数的数位顺序表： 1、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。表示其中 一份的数，是这个分数的分数单位。 2、两个数相除，它们的商可以用分数表示。即：a÷b=（b≠0） 3、从小数和分数的意义可以看出，小数实际上就是分母是10、100、1000……
北师大版小学数学总复习必背知识
北师大版小学数学总复习必背知识 一、数与代数 1、自然数包括正整数和0，所以最小的自然数是0，没有最大的自然数。 2、能被2整除的数叫做偶数（双数），0也是偶数。不能被2整除的数叫做奇数（单数）。 3、如果ab=c（a、b、c都是不为0的自然数），那么c是a和b的倍数，a和b是c的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数的它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 4、最大公因数和最小公倍数（利用短除法来求）： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 5、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，如2、3、5、7、11、13等等； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，如 4、6、8、9、10都是合数。 9、为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确 数。如1254300000 改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿。 10、近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似 数来表示。例如： 1302490015省略亿后面的尾数是13亿。 11、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最 高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。 12、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者缩小相同的倍数（0除外），商不变。 13、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。 14．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。 15．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 16．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 17．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 18．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 19．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。 20．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 21．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 22．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结
第一章 三角形的证明 第1节 等腰三角形 一、全等三角形的性质与判定 1、全等三角形的性质 定理1 全等三角形的对应边相等。 定理2 全等三角形的对应角相等。 推论1 全等三角形的面积相等。 推论2 全等三角形的周长相等。 2、全等三角形的判定 — 公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） 公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ） 定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ） 定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（HL ） 二、等腰三角形的性质与判定 1、等腰三角形的性质 定理 等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。 ） 【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。 ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则 2b ＜a ＜2 C ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A ＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝ 2 180A ∠-? 2、等腰三角形的判定 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 三、等边三角形的性质与判定 1、等边三角形的性质 定理1 等边三角形的三条边都相等。 > 定理2 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。 2、等边三角形的判定 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
北师大版八年级数学上册易错题整理(供参考)
1、一支蜡烛长20厘米,．点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n (厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是（ ） A B C D 2、已知正比例函数kx y =（0≠k ）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数k x y +=的图象大致是（ ） A C D 3、甲、乙两人同时沿着一条笔直的公路朝同一方向前行，开始时，乙在甲前2千米处， 甲、乙两人行走的路程S （千米）与时间t （时）的函数图象（如图所示），下列说法正 确的是（ ） A 、乙的速度为4千米/时 B 、经过1小时，甲追上乙 C 、经过0.5小时，乙行走的路程约为2千米 D 、经过1.5小时，乙在甲的前面 4、当14+a 的值为最小值时，a 的取值为（ ） A 、－1 B 、0 C 、4 1 - D 、1 5、若错误!未找到引用源。是169的算术平方根，错误!未找到引用源。是121的负的平方根，则（错误!未找到引用源。＋错误!未找到引用源。）2的平方根为（ ） A. 2 B. 4 C.±2 D. ±4 6、满足－3＜x ＜5的整数x 是（ ） A 、－2,－1,0,1,2,3 B 、－1,0,1,2,3 C 、－2,－1,0,1,2 D 、－1,0,1,2 7、如图，有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm (π=3)．在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约等于 （ ） A ．10cm B ．12 cm C ．19cm D ．20cm 8、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ） A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b << 9、如果0ab >， 0a c <，则直线a c y x b b =-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10、如图，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ） x y x y x y x y O O O O S(千米) 1 2 3 4 0.5 1 乙 甲 O t (时)
北师大版七年级数学上册期末复习知识点
北师大版七年级数学上册期末复习知识点 一、选择题 1．骰子是一种特别的数字立方体(见下图)，它符合规则：相对两面的点数之和总是7,下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．已知整数1a 、2a 、3a 、4a 、…满足下列条件：11a =-，212a a =-+， 323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则 2020a 的值为（） A ．－1009 B ．－2019 C ．－1010 D ．－2020 3．下列图形是由同样大小的小圆圈组成的“小雨伞”，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有11个小圆圈，第3个图形中一共有16个小圆圈，按照此规律下去，则第100个图形中小圆圈的个数是（ ） A ．500个 B ．501个 C ．602个 D ．603个 4．已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c ++=，0abc <，则a b c a b c + +的值为（ ） A ．1 B ．1-或3- C ．1或3- D ．1-或3 5．按照如图所示的运算程序，若输入的x 的值为4，则输出的结果是（ ） A ．21 B ．89 C ．261 D ．361 6．小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了如图的直方图．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A ．这栋居民楼共有居民125人 B ．每周使用手机支付次数为28~35次的人数最多 C ．有25人每周使用手机支付的次数在35~42次 D ．每周使用手机支付不超过21次的有15人 7．计算2222 1111 (11223320152015) ++++++++的结果为（ ） A ．1 B ． 2014 2015 C ． 2015 2016 D ． 2016 2015 8．如图，点O 在直线AB 上且OC ⊥OD ，若∠COA=36°则∠DOB 的大小为（ ） A ．36° B ．54° C ．64° D ．72° 9． 已知：如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段BC 的中点，AB ＝20 cm ，那么线段AD 等于( ) A ．15 cm B ．16 cm C ．10 cm D ．5 cm 10．有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．0a b +> B ．0a b -< C ．b a > D ．0ab < 11．一组按规律排列的多项式： 2 3 3 5 4 7 ,,,,x y x y x y x y +-+-，其中第10个式子是( ) A ．1019x y - B ．1019x y + C ．1021x y - D ．1017x y - 12．下列解方程的步骤正确的是（ ） A ．由2x ＋4＝3x ＋1，得2x ＋3x ＝1＋4 B ．由3（x ﹣2）＝2（x ＋3），得3x ﹣6＝2x ＋6 C ．由0.5x ﹣0.7x ＝5﹣1.3x ，得5x ﹣7＝5﹣13x D ．由 12 26 x x -+-＝2，得3x ﹣3﹣x ＋2＝12
(完整)北师大版数学八年级上册数学试题和答案
数学试题 一、选择题： 1．4的平方根是（ A ） A ．2± B ．2 C ． D 2.在平面直角坐标系中，点P （3，-2）在（ D ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.下列实数2 1 - , 0, π , 4 , 31 , 5中是无理数的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．在下列四组数中，不是勾股数的是（ B ） A ．7,24,25 B ．3,5,7 C ．8,15, 17 D ．9,40,41 5．下列计算正确的是（ A ） A ．632= ? B ．532=+ C ．5315= D ．235=- 6．如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以 数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时 针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的 点A 处，则点A 表示的数是（ B ） A ．3 2 B C D .4.1 7．点（2，6）关于x 轴的对称点坐标为（ A ） A .（2，－6） B . （－2，－6） C . （－2，6） D . （6，2） 8．已知直角三角形中一条直角边长为12cm ，周长为30cm ，则这个三角形的面积是（B ）A ．2 20cm B ．2 30cm C ．2 60cm D ．2 75cm 9 -（ D ） A B ．2 C ． D ． 10．已知平面内的一点P ，它的横坐标与纵坐标互为相反数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标是（ C ） A ．（-1，1）或（1，-1） B ．（1，-1） C ．（ ， ） D ）
11．实数b a ,在数轴上的位置如图所示， 则 ()a b a ++2 的化简结果为（ B ） A ．2a b + B ．b - C ．b D ．2a b - 12．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中' ' ' 9,5,6AB BB B C ===，在线段AB 的 三等分点E （靠近点A ）处有一只蚂蚁，'' B C 中点F 处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ A ） A ．10 B ．106 C ．5+35 D ．6+34 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填 在题后的横线上. 13．在平面直角坐标系中，点(),2P a a -在x 轴上，则a = 2 14．比较大小：23 < 52 （填“＞”或“＜”或“=” ） 15．x 为无理数21的小数部分，则x = 214- （结果保留根号） 16．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪， 拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 5 17．在平面直角坐标系中，等边ABC ?的顶点(6,0)A -，(2,0)B ，则顶点C 的坐标 为 (2,43),(2,43)--- 第12题图 第16题图 第11题图
(完整版)北师大版八年级数学下册知识点总结
八年级下册数学各章节知识点总结 第一章一元一次不等式和一元一次 不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非 负数<===> 大于等于0(≥0)<===> 0 和正数<===> 不小于0 非正数<===> 小于等于0(≤0)<===> 0 和负数<===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果 a>b,那么 a+c>b+c, a-c>b-c. (2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果 a>b,并且 c>0,那么 ac>bc, a >b . c c (3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果 a>b,并且 c<0,那么 ac
初二数学上册北师大版知识点总结
北师大版八年级上册数学知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 （1）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的 平方，即2 22c b a =+ （2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法） （3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22c b a =+，那 么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 22c b a =+的三个正整数a ，b ， c ，称为勾股数。 常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）…… 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇数且a ＜b 时，如果b+c=a2那么a,b,c 就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）…… （2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组 勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）…… 4、常见题型应用： （1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积…… （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~ 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状 （4）构建直角三角形解题 例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10。求直角三角形的两直角边。 解：设两直角边为3x ，4x ，由题意知： ∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。 中考突破 （1）中考典题 例. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得 得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长。已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。 解：在Rt △ACB 中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4， ∴AC=2 ∵BD=0.5，∴CD=2 ∴EC=1.5 答：梯子顶端下滑了0.5米。 点拨：要考虑梯子的长度不变。 例5. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。 思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结BD ，似乎不 解：连结AC ，在Rt △ADC 中， 在△ABC 中，AB2=1521 答：这块地的面积是216平方米。 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。 第二章 实数 基本知识回顾 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 得要领，连结，求出即可。AC S S ABC ACD ??-
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北师大新版八年级下册 数学知识点 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
北师大版八年级下册数学考试知识点 第一章 三角形的证明 一、全等三角形的判定及性质 ※1性质：全等三角形对应 角 相等、对应 边 相等 ※2判定：①判定一般三角形全等：（SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 ※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. ※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． ※3. 推论：等腰三角形 顶角平分线 、 底边中线 、 底边上的高 互相重合 （即“ 三线合一 ”）． ※4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60° ；等边三角形是轴对称 图形，有 3 条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 ※1. 勾股定理及其逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足关系22b a =2 c ，那么这个三角形 是直角三角形
（勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数，称为勾股数：，常见的勾股数有：（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 ※2.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边 等于斜边的一半. ※3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第 三边的平方”． ②直角三角形的全等判定方法，HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方 法． 四. 线段的垂直平分线 ※1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上 . ※2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 五. 角平分线 ※1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.