上海高考数学压轴题50道(有答案,精品)

２０１１高考压轴题目选（５０题）

１．（函数）设32()log (f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是

“()()0f a f b +≥”的 条件。

２．（函数）设)22,22(),(y x y x y x f +-=为定义在平面上的函数，且

+=2),{(x y x A }0,0,12≥≥≤y x y ，令}),(),({A y x y x f B ∈=，则B 所覆盖的面积为

３．（函数）老师在黑板上写出了若干个幂函数。他们都至少具备一下三条性质中的一条：

（1）是奇函数；（2）在(,)-∞+∞上是增函数；（3）函数图像经过原点。小明统计了一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有性质（3）的函数共有15个，则老师写出的幂函数共有 个。

４．（函数）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=

５．（函数）已知函数()1).f x a =

≠在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是

６．（函数）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x

的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i

)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是

７．（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚

动。设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()

f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻

零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。

８．（三角函数）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ?

?????=+>= ? ? ???????

，，且()f x 在区间63ππ?? ???

，有最小值，无最大值，则ω＝__________ ９．（三角函数）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω?

???=+

+--∈ ? ?????R ，（其中0ω>），若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图像与直线1=y 交点个数的最大值为2，则ω的取值范围为

１０．（三角函数）已知方程x 2+3

3x+4=0的两个实根分别是x 1，x 2，则

21a r c t a n a r c t a n x x += １１．（数列）设定义在*N 上的函数：(21)()()(2)2

n n k f n n f n k =-??=?=??，其中*k N ∈，记(1)(2)(3)(4)(2)n n a f f f f f =+++++ ，则1n n a a +-=

１２．（数列）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面

某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序。一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数。记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为n a ，则n a ＝

１３．（数列）已知等差数列{}n a 的公差不等于０，且2a 是1a 与4a

的等比中项。数列

1213,,,,,n k k k a a a a a 是等比数列，则n k =

１４．（数列）已知数列{}n a 满足：12a =，212n n n a a a +=+,1,2,n = ，记112n n n b a a =++，则数列{}n b 的前n 项和n S =

１５．（数列）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*

k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为2k 。则数列{}n a 的通项公式n a = ；记2

(2)n n

n b n a =≥，则对于2n ≥，23n b b b +++=

１６．（数列）若数列{}n a 满足：对任意的n N *

∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}

()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2n a n =，则5()a *= ，(())n a **=

１７．（立体几何）在一个密封的容积为１的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动

该正方体，液面的形状都不可能是三角形，则液体体积的取值范围为

１８．（立体几何）在正方体1111D C B A ABCD -中，动点P 在平面ABCD 内，且到异面直线

AB 、1CC 的距离相等；动点Q 在平面11ABB A 内，且到异面直线AB 、1CC 的距离相等，则动点P 、Q 的轨迹分别为

１９．（立体几何）在正方体1111D C B A ABCD -中，与直线AB 、1CC 、11A D 都相交的直

线的条数为

２０．（立体几何）如果一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形：（1）直角三角形；

（2）锐角三角形；（3）钝角三角形；（4）等腰三角形；（5）等腰直角三角形。那么可能成为这个四面体的第四个面是 （填上你认为正确的序号）

２１．（立体几何）如图，在三棱锥O ABC -中，三条棱,,OA OB OC

两两垂直，且OA OB OC >>，分别经过三条棱,,OA OB OC 作

一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为123,,S S S ，则

123,,S S S 的大小关系为________________．

２２．（排列组合）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每

人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是 ２３．（排列组合、概率）在一个给定的正(2n +1)边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点，

任何一种选法的可能性是相等的，则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为

２４．（排列组合）以集合{,,,}U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两

个条件：（1）φ、U 都要选出；（2）对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B B A ??或，

那么共有 种不同的选法。

２５．（解析几何）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近

一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进

入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别

表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道

Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+; ②

1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④

11c a ＜22

c a .其中正确式子的序号是 ２６．（解析几何）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ２７．（解析几何）过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为

()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为

２８．（解析几何）如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++=

２９．（解析几何）设不等式组1,230x x y y x ≥??-+≥??≥?

，所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y +-=对称，对于1Ω中的任意A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于

３０．（解析几何）P 是双曲线22

x y 1916

－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2

＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为

３１．（复数）1z ,2z 是复数，且120z z ?≠，1212A z z z z =?+?，1122B z z z z =?+?，

问A 、B 能否比较大小？若不能，在下面横线上说明理由；若可以，指明大小关系 ３２．（复数）对于复数,αβ，记：221(,)()4

αβαβαβ=+--，,(,)(,)i i αβαβαβ<>=+，则,αβ<>用α、β表示为

３３．（向量）设O 为ABC ?内一点，记,,BOC COA AOB ABC ABC ABC

S S S m n p S S S ??????===.则mOA nOB pOC ++= .

３４．（向量）设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的

象为()f a 。若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则

f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+ ②若e 是平面M 上的单位向量，对任意,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换；

③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；

④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。

其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）

３５．（综合）矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ?? ? ? ???

满足：{1,2,3,,9}ij a ∈ ，并且矩阵中的每一行、每一列都是递增的。满足条件的不同矩阵的个数为

３６．（综合）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋

转一周。已知时间0t =时，点A

的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是

３７．（综合）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥??-+≥??-+≤?

表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图

像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是

３８．（函数）为研究问题“函数与其反函数的图像的交点是否在直线y x =上”，分以下三步

进行：

（Ⅰ

）选取函数：221,,1x y x y y x =+=

=+标：①21y x =+与其反函数12x y -=的交点坐标为（-1，-1）；②21

x y x =+与其反函数2x y x

=-的交点坐标为（0，0），（1，1）

；③y =_______________

的交点坐标为,(1,0),(0,1)--??

。

（请完成空格中的内容） （Ⅱ）某同学根据上述结果猜想以下两个结论：

（1）函数与其反函数图像的交点关于直线y = x 对称出现；

（2）函数与其反函数的图像必有交点在直线y =x 上。

判断这两个结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由。

（Ⅲ）若函数()y f x =在其定义域内单调递增，则与其反函数的交点是否一定在直线y x

=

上，并说明理由。如果单调递增改为单调递减，函数与其反函数的交点是否一定在直线y x =上呢？（假定函数与反函数一定有交点）

３９．（函数）已知函数()y f x =的反函数。定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数

()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”

；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”

。 （1） 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。求()y f x =的表达式。 ４０．（函数）记函数1212()3,()23,x p x p f x f x x R --==?∈，定义函数

()()()()()()()

1

12212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤??=?>??，设,a b 为两实数，且12,p p (),a b ∈为给定的常数,若()()f a f b =求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为

2

b a -（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）． ４１．（数列）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记

*4()1n n n

a b n N a +=∈-。（1）记*221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32n T <

；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足：对任意正整数,n n R n λ≤恒成立，求λ的最小值。

４２．（数列）下表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数。

求证：正整数N 在该“等差数阵”中的充要条件是：12+N 能够分解成两个不是

1的正整数的乘积。

４３．（数列）已知110,0a b <>，且对任意的正整数n ，当02

n n a b +≥时，11,2n n n n n a b a a b +++==；当02n

n a b +<时，11,2

n n n n n a b a b b +++==。 （１） 求证：数列{}n n b a -

为等比数列；

（２） 若2011111,2a b =-=，设)2(≥n n 是满足n b b b b >>>> 321的最大整数，

求n 的值；

（３） 若111,2a b =-=，求证：对一切正整数n ，222n n a b =-；

（４） 是否存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列？

４４．（解析几何）如图，平面上定点F 到定直线l 的距离2||=FM ，P 为该平面上的动点，

过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且2||2

1QF FQ PQ =?． （1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点N ，已知1λ=，

2λ=，求证：21λλ+为定值．

４５．（解析几何）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3，0）的距离的4倍与它到直

线x=2的距离的3倍之和记为d ，当P 点运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P 的轨迹C ；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。 ４６．（解析几何）设12(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A

到点B 的一种折线距离(,)p A B 为：2121(,)||||p A B x x y y =-+-。对于平面xOy 上给定的不同的两点12(,)A x y ，22(,)B x y ,

(1)若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,)p A C p C B p A B +≥；

（2）在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足：

①(,)(,)(,)p A C p C B p A B += ② (,)(,)p A C p C B =

若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

４７．（综合）骰子最多掷5次，根据掷出的结果给一个相应的点数，具体的游戏规则如下：

掷出骰子若出现5或6，则称发生了事件A 。在掷骰子的过程中首次出现事件A ，则计点数为1，然后继续游戏。若再次出现事件A ，则得到点数2，加上前面得到的1点，合计点数为3，此时游戏结束。如果5次中，只有一次发生了事件A ，那么得1点，游戏也随之结束；如果5次中，没有一次发生事件A ，则在原来拥有的点数上减去m 点（m 是事先定好的）。小D 按上面规则玩这个游戏，假设小D 最初具有点数a （设a 、

m 为正整数，m a ≥）。这个游戏结束时，小D 具有的点数为概率变量X ，求使得概率变量X 的数学期望E(X)>a 的最大的正整数m 。

４８．（综合）设数组12:{,,,}n A a a a 与数组12:{,,,}n B b b b ，,A B 中的元素不完全相同，

分别从,A B 中的n 个元素中任取()m m n ≤个元素作和，可以得到m n C 个和。若由A 得

到的m n C 个和与由B 得到的m n C 个和恰好完全相同，则称数组,A B 是n 元中取m 的全等

和数组，简记为m n DH 数组。

（１） 若组12:{,,,}n A a a a 与数组12:{,,,}n B b b b 是m n DH 数组()m n ≤，求证：数

组,A B 是n n DH 数组；

（２） 给定数组1234:{,,,}A a a a a ，其中1234a a a a ≤≤≤，问是否存在数组B ，使得

数组,A B 是24DH 数组？若存在，求出数组B ，若不存在，说明理由。

４９．（综合）已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于

12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B

的差为

1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为1

(,)n i i i d A B a b ==-∑

（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ?∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=;

（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ?∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ?，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P 。证明：()d P ≤2(1)

mn m -

５０．（综合）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n

瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令：12341234X a a a a =-+-+-+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。 (Ⅰ)写出X 的可能值集合；

(Ⅱ)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列；

(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，

(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。