二阶变系数线性微分方程的一些解法

第九节 二阶变系数线性微分方程

的一些解法

常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法

§9.1 降阶法

在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。

考虑二阶线性齐次方程

22dx

y

d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1)

设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2)

其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有

dx dy ＝y 1dx

du ＋u dx dy 1

求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1＋u 21

2dx

y d

代入(9.1)式得

y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(21

2dx

y d ＋p(x)

dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3)

这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中

21

2dx

y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0

故(9.3)式化为 y 122dx

u

d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0

再作变量替换，令dx

dy

＝z 得

y 1dx

dz ＋(2dx dy 1

＋p(x)y 1)z ＝0

分离变量 z

1

dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx

两边积分，得其通解

z ＝21

2y C e －∫p(x)dx

其中C 2为任意常数

积分得u ＝C 2∫21

y 1e －∫p(x)dx

dx ＋C 1代回原变量得(9.1)

的通解

y ＝y 1［C １＋C 2∫21

y 1e －∫p(x)dx

dx ］

此式称为二阶线性方程的刘维尔( Liouville )公式。

综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换 y ＝y 1∫zdx 可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。 对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。

例1. 已知y １＝x x sin 是方程22dx

y d ＋x 2dx dy

＋y ＝0的

一个解，试求方程的通解

解 作变换 y ＝y 1∫zdx

则有 dx

dy ＝y 1z ＋dx dy 1

∫zdx

2

2dx y d ＝y 1dx dz ＋2dx dy 1

z ＋212

dx

y d ∫zdx 代入原方程，并注意到y 1是原方程的解，有

y 1dx

dz ＋(2dx dy 1＋dx dy 1

)z ＝0

即 dx

dz

＝－２ctanx ·z

积分得 z ＝x

sin C 21

于是 y ＝y 1∫zdx ＝x x sin ［∫x

sin C 21

dx ＋C 2］

＝x x sin (－C 1ctanx ＋C 2)

＝x

1

(C 2sinx －C 1cosx) 这就是原方程的通解。

§9.2 常数变易法

在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程

22dx

y

d ＋p(x) dx dy ＋p(x)y ＝f(x) (9.4)

其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程

22dx

y

d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0

的通解 y ＝C 1y １＋C ２y 2已经求得。 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。

设非齐次方程(9.4)具有形式 ~

y ＝u 1y 1＋u ２y 2 (9.5)

的特解，其中u 1＝u 1(x)，u 2＝u(x)是两个待定函数，对~

y 求导数得

~

'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2＋y 1u ′１＋y 2u ′2 由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u 1，u 2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y １u ′１＋y 2u ′2＝0 这样 ~

'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2 "y ~

＝u ′1y ″1＋u ′2y ″2＋u 1y ′1＋u 2y ′2 代入方程(9.3)，并注意到y 1，y 2是齐次方程的解，整理得

u ′１y ′1＋u ′２y ′２＝f(x)

与补充条件联列得方程组???=++=+)x (f 'u 'y 'y 'u 'y 0'u y 'u y 222112211

因为y 1，y 2线性无关，即

12y y ≠常数，所以(1

2y y )′＝2

11

221y 'y y 'y y -≠0 设w(x)＝y 1y ′2－y 2y ′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。 解得

???

????

=-=-=--=)x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u )x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u 11221122122121

积分并取其一个原函数得

u 1＝ －∫)x (w )

x (f y 2?dx

u ２＝ ∫)

x (w )

x (f y 1?dx

则所求特解为 ~

y ＝y 1∫)

x (w )

x (f y 2?-dx ＋y 2∫

)

x (w )

x (f y 1?dx 所求方程的通解 y ＝Y ＋~

y ＝C 1y 1＋C 2y 2＋y 1∫

)x (w )x (f y 2?-dx ＋y 2∫)

x (w )x (f y 1?dx 上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。

例1. 求方程22dx

y d －x 1dx dy ＝x 的通解

解 先求对应的齐次方程 22dx

y d －x 1dx dy ＝0

的通解，由 22

dx

y d ＝x 1dx dy

dx

dy 1·d(dx dy

)＝x 1dx

得 ln ｜dx

dy

｜＝ ln ｜x ｜＋ ln

｜C ｜

即 dx

dy ＝Cx 得通解y ＝C 1x 2

＋C 2

所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x 2

和

1。

为求非齐次方程的一个解~

y 将C 1，C 2换成待定函数u 1，u 2，且u 1，u 2满足下列方程

???=?+=?+x

'u 0'xu 20'u 1'u x 21212

解上述方程得 u ′1＝21 u ′2＝－2

1x 2

积分并取其一原函数得 u 1＝21x ，u 2＝－6

x 3

于是原方程的一个特解为

~

y ＝u 1·x 2

＋u 2·1＝2x 3－6x 3＝3

x 3

从而原方程的通解为

y ＝C 1x 2

＋C 2＋3

x

3

第十节 数学建模(二)——微分方

程在几何、物理中的应用举例

一、镭的衰变

例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量。

解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的现存物质，则dt

dx

表示x 在时刻t 的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为

dt

dx

＝－kx

这是一个以x 为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。其中k ＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表示

当时间t 增加时，质量x 减少，即t ＞0时，dt

dx

＜0。

解这个方程得通解 x ＝Ce －kt

若已知当t ＝t 0时，x ＝x 0，即x ｜0t t =＝x 0 代入方程可得 C ＝x 0e 0kt 得特解 x ＝x 0e )t t (k 0--

它反映了某种放射性元素衰变的规律。 二、正交轨线

已知曲线族方程F(x,y,C)＝０，其中包含了一个参数C ，当C 固定时就得到一条曲线，当C 改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。例如y ＝Cx 2为一抛物线族。

图6-3

如果存在另一族曲线G(x,y,C)＝0，其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)＝0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称G(x,y,C)＝0为F(x,y ，C)＝0的正交轨线。 将曲线族方程F(x,y,C)＝0对x 求导与F(x,y,C)＝0联列并消去常数C ，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y ′所满足的微分方程 f(x,y,y ′)＝0

这就是曲线族F(x,y,C)＝0所满足的微分方程。 因为正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率

k ＝－'

y 1

于是可知曲线族F(x,y,C)＝0的正交轨线满足方程

f(x,y,－'

y 1

)＝0

这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所要求的正交轨线。

例2 求抛物线族y ＝Cx 2的正交轨线。 解 对y ＝Cx 2

关于x 求导，得y ′＝2Cx 与原方程联列

??

?==Cx

2'y Cx y 2

消去C 图6-4

得微分方程 y ′＝x

y

2

将－'

y 1

代入y ′得所求抛物线的正交轨线微分方程

－'y 1＝x

y

2

即 ydy ＝－2

x

dx

积分得 4x 2＋2

y 2＝C 2

即抛物线族 y ＝Cx 2

的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。 三、追迹问题

例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速v 0向正比行走；甲从乙的左侧O 点出发，始终对准乙以nv 0(n ＞1)的速度追赶，

并问乙行多远时，被甲追到。 图6-5 解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为

y ＝y(x)

经过时刻t ，甲在追迹曲线上的点为p(x,y)，乙在点B(1,v 0t)。于是有

tan θ＝y ′＝x

1y

t v 0-- (10.1)

由题设，曲线的弧长OP 为 ∫x

02'y 1+dx ＝nv 0t

解出v 0t 代入(10.1)得

(1－x)y ′＋y ＝n

1∫x

02'y 1+dx

两边对x 求导，整理得

(1－x)y ″＝n

1

2'y 1+

这就是追迹问题的数学模型。

这是一个不显含y 的可降阶的方程，设y ′＝p ，y ″＝p ′代入方程得

(1－x)p ′＝n

1

2p 1+

或 2

p

1dp

+＝)x 1(n dx - 两边积分得 ln(p ＋2

p 1+)＝－n

1

ln ｜1－x ｜

＋ln ｜C １｜

即 p ＋2

p 1+＝n 1x

1C -

将初始条件 y ′｜x ＝0＝p ｜x ＝0＝0代入上式，得C 1

＝1，于是

y ′＋2

'y 1+＝n x

11

- (10.2)

两边同乘 y ′－2'y 1+，并化简得

y ′－2'y 1+＝－n x 1- (10.3) (10.2)与(10.3)两式相加，得

y ′＝21 (n x

11

-－n x 1-)

积分，得 y ＝2

1［－1n n - (1－x)n

1

n -＋1n n + (1－

x)

n

1n +］＋C 2

代入初始条件 y ｜x ＝0＝0得C 2＝1

n n

2-，所求追迹

曲线方程为

y ＝2n ［1n )x 1(n

1n +-+－1n )x 1(n

1n ---］＋1

n n

2-

(n ＞1)

甲追到乙时，即曲线上点P 的横坐标x ＝1，此时

y ＝1

n n

2-

即乙行走至离A 点1

n n

2-个单

位距离时即被甲追到。 四、弹簧振动

下面我们讨论机械振动的简单模型——弹簧振动问题，研究

图6-6

悬挂重物的弹簧的振动，并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽略不计。

如图6-6，一弹簧上端固定，下端与一质量为m 的物体连接，弹簧对物体的作用力(恢复力)与弹簧的伸长度成正比(比例常数为k);

物体在运过程中所受的

阻力与速度成正比(比例常数为λ)。此外，物体还与一个连杆连接，连杆对物体的作用力(强迫力)为F(t)。下面建立物体运动方程(数学模型)。 如图6-6，物体的平衡位置为原点，向下方向为Ox 轴的正向，以 x ＝x(t) 表示物体在时刻t 的位置，因为物体共受到三个力的作用。

(1)恢复力：一kx (负号表示恢复力与位移x 方向相反)；

(2)阻力：－λdt dx (负号表示阻力与速度dt

dx 的方向

相反)；

(3)强迫力：F(t) 由牛顿第二定律 F ＝ma

得 m 22dt

x

d ＝F(t)－kx －λdt dx

或 22dt

x d ＋m λdt dx ＋m k

x ＝m )t (F

这就是物体运动的数学模型——振动方程。

为方便起见，记m λ＝2β (β＞0)，m k

＝ω2

(ω＞0)，m

)

t (F ＝f(t)，则上述方程可写成

22

dt

x d ＋２βdt dx ＋ω2

x ＝f(t) (10.4)

1.自由振动，当f(t)≡0时称为自由振动。

分两种情况讨论

(1)当β＝0时称为无阻尼自由振动，其运动方程为

22

dt

x d ＋ω2

x ＝0

图6-7

其通解 x ＝C 1cos βt ＋C 2sin βt ＝Asin （ωt ＋φ）

(其中A ＝22

21

C C +， tan φ＝2

1

C C )

这是简谐振动,如图6-7，这里振幅A 及初相角φ，可由物体的初始位置和初始速度决定。

(2)当β≠0时称为有阻尼自由振动，其运动方程为

22dt

x

d ＋２βdt dx ＋ω2x ＝0

其特征方程为 r 2＋２βr ＋ω２＝0 下面就其根的三种情形分别讨论： (ⅰ)β＞ω(大阻尼情形)，其根为 r ＝－β±

22ω-β特征方程有两个不相等的实根，由于它们都是负数，可令r 1＝－η1，r ２＝－η2，(η1＞0，η2＞0)所以方程的通解为

x ＝C 1e t 1η-＋C 2e t 2η-

图6-8 图6-9

这里的位移x 不是周期函数，因而物体不作任何振动，当t →＋∞时x →0，即随时间的无限增加而趋于平衡位置，如图6-8(当C 1＋C 2＞0，η1C 1＋η2C 2＜0的情形)

(ⅱ)β＝ω(临界阻尼情形)，特征方程有二重根，r １＝r 2＝－β，此时通解为 x ＝（C 1＋C ２t ）e －βt

这是位移x 也不是周期函数，物体也不作任何振动，当t →＋∞时x →0，即随时间无限增加而趋于平衡位置，如图6-9(当C 1＞0，C 2－βC 1＜0的情况)。 (ⅲ)0＜β＜ω(小阻尼情形)，特征方程有一对共轭复根 r ＝－β±i 22β-ω 此时通解为 x ＝Ae －βt

cos (22β-ωt ＋φ)

这里A ，φ都是任意常数，可由振动的初始条件决定。由

上式看到，振幅Ae

－βt 随时间的增加而减少，

其减少的快慢程度由系数β＝m

2λ

决定。当t →＋∞

时，振幅Ae －βt →0，于是x →0，即随时间t 无限增加而趋于平衡位置。这种情形称为有阻尼的衰减振动，如图6-10所示 图6-10

2.强迫振动

设外力 f(t)＝asin ω0t

我们只考虑无阻尼的强迫振动，其振动方程为

22

dt

x d ＋ω2

x ＝asin ω0t

它的通解为 x ＝Asin(ωt ＋φ)＋2

2a

ω-ω·sin ω０t ，当ω≠ω0时

x ＝Asin （ωt ＋φ）－ω

2t

2cos ωt ，当ω＝ω0时。

由解的形式可以看出，振动由两种运动所合成，一种是自由振动也称固有振动；另一种是由外力所致的振动，称为强迫振动。前一种情况(当ω≠ω0时)强迫

振动的振幅为2

2a

ω-ω，当ω与ω0很接近时，振幅就

很大；后一种情况(当ω＝ω0时)强迫振幅为ω

2at

，当t

→＋∞时，振幅ω

2at

→＋∞，这就是共振现象。因此当

外力a 0 sin ωt 同系统处于共振状态时，将会引起振幅无限增大的振动，这在机械和建筑中一般是必须严格避免的。

五、R 、L 、C 电路中的电振荡

如图6-11所示的简单串联电路，在电路中，电阻为R ，电感为L ，电容为C 及电动势 E(t) 。由电学知识，在电阻R 上的电压降为RI

在电感L 上的电压降为L dt dI

，在电

容C 上的电压降为C

1

∫Idt ，根据克

希霍夫第二定律，得到

图6-11

L dt dI ＋RI ＋C

1

∫Idt ＝E(t)

将方程的两边关于t 求导数得。

L 22dt I

d ＋R dt dI ＋C 1

I ＝dt

)t (dE

这就是R 、L 、C 电路中的电振荡方程，它与四中所

指述的弹簧振动的运动方程(10.4)形式上完全一样，类似于弹簧振动的情况，在电路中也会发生共振，但是与机械系动不同的是，在电路系统中共振现象大有用处，例如收音机中的调谐电路。