福建省泉州市2014届高三数学5月质量检测 理

泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测

理科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考

生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.

11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以

及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分 所以0.2,0.3b c ==.………………3分

故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:

60.170.280.390.36100.048.04E ξ=?+?+?+?+?=. ………………6分

（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10

环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分

因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，

所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分

所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率

1010()0.40.6(0,1,2,,10)k

k k P X k C k -==??=. ………………10分

当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)

(1)0.40.63k

k k k k k C P X k k P X k C k

----+??=-===-??. 令()

1(1)P X k P X k =>=-，解得22

5k <. ………………12分

所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；

当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.

综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分

17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运

算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．

解：

（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π

=?=-=-m n ， ………………2分 由222232k x k πππ

ππ-+≤-≤+，得51212k x k π

π

ππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分

所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k π

π

ππ?

?-++????，k ∈Z .………………4分 （Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π

-=，

因为0A π<<，所以3A π

=.…………5分

（ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=

可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分

故2sin()sin A B C +=，………………7分

又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =，

因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，

又由于0C π<<，所以2C π

=，………………8分 所以()6B A C π

π=-+=.………………9分

（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+?+，…10分

又3AB AC ==，3A π

=，

所以AB AC λ+2(1AB ==12分

故当1

2λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值………………13分

另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，

()||g AP λ=，…………12分

所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分

18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、

运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，

所以可设椭圆G 的方程为22

2116x y b +=，………………1分

因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分

所以24

9

116b +=，解得212b =. ………………3分

故所求椭圆的方程为2

2

11612x y +=.………………4分

（Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，

联立方程组2223448x my x y =+??+=?，消去x ，得22

(34)12360m y my ++-=，……5分

设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m

m y y +=-+……①

12236

34y m y ?=-+.……② …………6分

又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分

故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,

即122y y =-.………③ …………9分 由①②③得222

1218

3434m m m ??= ???++，所以24

5m =.…………11分 当24

5m =时，0?>

，所以m =，…………12分

所以直线l

的方程为2x y =+,

即5100x --=

或5100x +-=.…………13分

方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，

联立方程组22(2),

3448.y k x x y =-??+=?

消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分

设1122(,),(,)B x y C x y ，则122

21634x k x k =++，…………①

22211648

34x k k x -=+?…………② …………7分

又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分

故2112(4)(2)0x y x y --+=，

即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，

即1226x x +=…………③ …………9分 由①③得212

2

22

818

3481834k x k k

x k ?-=

??+?+?=?+?， 代入②得22

22228188181648

343434k k k k k k -+-=+++………………11分 化简，得25

4k =， 当25

4k =时，0?>

，故k =，…………12分

所以直线l

的方程为5100x --=

或5100x +-=.……13分

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理

论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.

解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，

又PA AB ⊥ ，PA AD A =，

∴AB ⊥平面PAD ，…………2分

又PD ?平面PAD ，

AB PD ∴⊥………………3分 （Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EF AB ⊥， 又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，

∴EF ⊥平面PAD ，

又,AD PE ?平面PAD ， ∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，

则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --

(1,2,PB =

，(1,2,PC =-，………………5分

AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分

设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，

,PB PC ⊥⊥n n ，

∴00PB PC ??=???=??n n

，即2020x y x y ?+-=??-+-=??

，解得

20x y =???=??，

令2z =

，得y =

∴平面PBC

的一个法向量为=n .………………7分

设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,

则cos cos ,7AB AB AB θ?=<>====

n n n

∴平面PAD 与平面PBC ……………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ?为直角三角形.

111,22

PEF PAD S EF EP AD EP S ??=?=?== 2.EF EP ∴?=………………9分

设PEF ?的内切圆半径为,r 则1()12

PEF S PE EF FP r ?=++?=

2

r PE EF PF ∴==++

≤=1,==………………10分

∴当且仅当EF EP =时，PEF ?有最大内切圆，其半径 1.r =

此时EF EP = 2.PF =………………11分

1

2PAB PCD S S PA AB ??==?=11

222PBC S BC PF ?=?==

1PAD S ?=，2 2.ABCD S AD EF =?==

设PEF ?的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ， 则1

111

()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -?????=?+++?+?=?，

即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ?????+++?=?，

所以(1)12+=

解得1.

d r =>=………………12分

∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是

1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分

20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转

化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分.

解：（Ⅰ）当2

3a =且1x >-时，2

2()ln(1)3f x x x =+-，

2

1

4

443

(23)(21)

'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分

令'()0f x >，

因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<

， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分

（Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+，

不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分 令1t x =+，则0t >， 此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>.

令()ln 1t t t ?=-+，则11'()1t t t t

?-=-=

. …………7分 令'()0t ?=，得1t =. (),'()t t ??随t 的变化情况如下表

由表可知，当0t >时，()(1)0t ??≤=即ln 10t t -+≤. 所以()11f x x ≤+-成立. …………9分

（Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21

f x ax x =-+， 所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，

又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.

令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上

方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分

当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211

g x ax x =

--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+， 所以，对(,1)

(1,)x ∈-∞--+∞，都有 212(1)2(21)2'()11ax x ax a x a g x x x -++--+==++. ……11分 令'()0g x =，解得0x =或212a x a +=-. ①当0a >时，211

a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表： 又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a

--=+-=， 所以，为使命题“存在(,1)

(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需

111(1)ln 0224g a a a a

--

=+->. 令12t a =，则

111(1)ln 222g t t a t

--=+-， 令11()ln (0)22

h t t t t t =-+>， 因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数， 又注意到(1)0h =，

所以当且仅当112t a =>，即102

a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln 024a a a +->的解集为102a a ??<

?；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，

所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方.

综合①②，可知a 的取值范围为12a a ??

. …………14分

21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ?????

?

= ??? ???????

，………1分

即0k k

mk λ=??=?， ………2分

又因为0k ≠，所以10

m λ=??=?， ………3分

所以0m =，特征向量0k ?? ???相应的特征值为1.

…………4分

(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--??= ?-??

B ， …………6分 故11210

14230226---??????

== ??? ?--??????

B A . …………7分 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分

联立方程组220y x x y =??-+=?，解得22

x y =?

?=?，

所以A 的坐标为(2,2)，………3分

故点A 的极坐标)4π

. …………4分

（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分

所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.

因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-，

所以l 的方程为40x y +-=，……6分

故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由已知得()2max 326t t m m +--≤-………………1分 因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，

所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.

由柯西不等式，

可得()()()222222234534525x y z x y z ++++≥++=, …5分 所以2221

2x y z ++≥， 当且仅当345x

y

z

==即321

,,1052x y z ===时等号成立. ………6分

故222x y z ++的最小值为1

.2………………7分