初一暑假竞赛班第五讲高斯函数
高斯函数
一、基础知识
（一）概念
对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数或取整函数。
对任意实数x，{x}＝x－[x]，称为x的小数部分。
若x＝n＋(，n为整数，0≤(＜1，则[x]＝n，{x}＝(，x＝[x]＋{x}。
（二）性质
1．（1）[x]≤x＜[x]＋1；
（2）x－1＜[x]≤x；
（3）0≤{x}＜1。
2．（1）[n＋x]＝n＋[x]，n为整数；
（2）[x]＋[y]≤[x＋y]；
（3）{x}＋{y}≥{x＋y}；
（4）若x≥0，y≥0，则[xy]≥[x][y]。
3．若[x]＝[y]，则(x－y(＜1。
4．
5．若a，b是两整数，且b＞0，则。
二、例题
例1 (1)[0.03]= (2)[-2.5] = (3)[10.25]=
(4) [-7+2.7] = (5) = (6) =
例2 已知M＝，求[M]．
如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，求[x＋y－z]的值．
例4 设m，n都是正整数，请问1，2，3，…，m中共有多少个数是n的倍数？例5 求的值。
例6解下列方程：
（1）[x]－2＝0；
（2）2x－[x]＝．
例7 设x为任意实数，求证：。
推广：设x为任意实数，n为正整数，则
。
例8 解方程：[x3]＋[x2]＋[x]＝{x}－1；
例9 满足=546．求[100]的解．
例10求方程的解．
例11求的和．
例12 对于任何正整数n和实数x，证明：。
例13已知数列满足，求．
例14在项数为2009的数列中有多少个不同的整数？
例15设，求证：
三、练习
1．已知M＝，求[M]。
2．如果[x]＝3，[y]＝0，[z]＝1，求[x＋y－z]的值。
3．求出所有的正整数使得，其中表示不超过的最大整数值。
28(高中竞赛讲座)高斯函数
高中数学竞赛讲座28 28高斯函数 数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地， ].[][b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 11],[][；特别地，
*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]][[][n x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 例题讲解 1．求证：,2!211--=?k n n n 其中k 为某一自然数. 2．对任意的∑∞ =+*+=∈01].22[,K k k n S N n 计算和 3．计算和式.]503 305[5020的值∑== n n S 4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ 5．求方程.051][4042的实数解=+-x x
数学竞赛辅导讲座：高斯函数Word版
数学竞赛辅导讲座：高斯函数 知识、方法、技能 函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][ ；特别地，
].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m n x ∈=,][，则1+≤≤ m n x m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]] [[,1][m n x m n x m =+<≤故 证毕. 取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论. 定理一：* ∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n x 个是n 的倍数. 【证明】因n n x x n n x n x n x n x ?+<≤?+<≤ )1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这n x ] [个： .][,,2,n n x n n ? 定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是 .][][][)!(32 +++=p n p n p n n p 【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n 个p 的倍数，有][ 2p n 个p 2 的倍数，…，所以.][ ][)!(2 ++=p n p n n p 此定理说明：M p n n p ?=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于
高斯函数的一个重要性质
西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ?Natural Science Edition Apr. 2007___________________________________________________________________ ___________________________ 收稿日期：2006-11-25 作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助. 文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质 付萍1, 廖群英2, 李莎2 (1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ?????+?? 是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数 中图分类号: O156.1 文献标识码: A 1 引言 设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]： (1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x ?<≤. (2) [][]n x n x +=+, n 是整数. (3) [][][]x y x y +≤+. (4) 当x 不是整数时, [][]1x x ?=??；当x 是整数时, [][]x x ?=?. (5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ?????? . 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问 题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、 组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理： 定理 设n 是一个大于零的整数, 则??????+?)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识 为完成定理的证明, 先做以下的准备工作. 引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p ?+≡.
Gauss滑铁卢高斯初中数学竞赛(Grade 7)-数学Mathematics-2005-试题 exam
Chartered Accountants Canadian Institute of Actuaries Great West Life and London Life Sybase i Anywhere Solutions c 2004 permitted. the contest booklet on your 5.Scoring: 6.Diagrams 7.When your Please see on publications
Scoring:There is no penalty for an incorrect answer. Each unanswered question is worth 2,to a maximum of 10unanswered questions. Part A:Each correct answer is worth 5. 1.The value of 3×4 6is (A)1(B)2(C)3(D)4(E)6 2.0.8?0.07equals (A)0.1(B)0.71(C)0.793(D)0.01(E)0.73 3.Contestants on “Gauss Reality TV”are rated by an applause metre.In the diagram,the arrow for one of the con-testants is pointing to a rating that is closest to (A)9.4(B)9.3(C)9. 7(D)9.9(E)9.54.Twelve million added to twelve thousand equals (A)12012000(B)12120000(C)120120000 (D)12000012000(E)12012000000 5.The largest number in the set {0.109,0.2,0.111,0.114,0.19}is (A)0.109(B)0.2(C)0.11(D)0.114(E)0.19 6.At a class party,each student randomly selects a wrapped prize from a bag.The prizes include books and calculators.There are 27prizes in the bag.Meghan is the ?rst to choose a prize.If the probability of Meghan choosing a book for her prize is 23,how many books are in the bag? (A)15(B)9(C)21(D)7(E)18 7.Karen has just been chosen the new “Math Idol”.A total of 1480000votes were cast and Karen received 83%of them.How many people voted for her? (A)830000(B)1228400(C)1100000(D)251600(E)1783132 8.In the diagram,the size of ∠ACB is (A)57?(B)37?(C)47?(D)60?(E)17? D C B A 93o 130o 9.A movie theatre has eleven rows of seats.The rows are numbered from 1to 11.Odd- numbered rows have 15seats and even-numbered rows have 16seats.How many seats are there in the theatre? (A)176(B)186(C)165(D)170(E)171
六年级上册数学试题数学竞赛计算部分高斯求和
2019小学数学六年级（全国通用）-数学竞赛计算部分-高斯求和（含答案） 一、单选题 1.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子． A.100 B.500 C.1000 D.5050 2.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（） A.100000 B.499000 C.499500 D.500000 3.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠． A.45 B.50 C.55 D.60 二、填空题 4.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果2019，则这个被加了两次的页码是________． 5.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________．
6.1+2+3+4+5…+2019+2019的和是________（奇数或偶数）． 7.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2019，去掉的那两个数共有________种可能． 8.100以内的偶数和是________． 9.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________个杯子． 10.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________． 11.1+3+5+7+…+97+99=________=________2． 12.9个连续自然数的和是2019，其中最小的自然数是________． 13.1+3+5+…+99=________． 14.27个连续自然数的和是2019，其中最小的自然数是________． 15.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________． 16.已知： 则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________． 17.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________块． 18.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我
高斯函数
高斯函数[x] 程乐根 1 一、定义 ,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。 通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。显然，其定义域是，值域是。 {}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分， 显然，其定义域是，值域是。 2 二、高斯函数y=[x]的性质 121212121212**,1[]. [],,,[][]. ,[][],().,,[][][].,[][],(). [] ,[][],(). x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n ?∈-<≤=?∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3 二、高斯函数y=[x]的性质 **23,[1,][],![][][]... n N x x x n n n N n n n n p p p p ∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内， 恰有个整数是的倍数。 定理2：：若则在的质因数分解式中， 质数的指数是4 三、函数y={x}的性质 *{}0. ,{}{},().,,, 0,{}{}. x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m r r a a a =∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20) x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题6
高中数学竞赛讲义-高斯函数
§28高斯函数 数论函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数 由、的定义不难得到如下性质： （1）的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为 （2）对任意实数，都有. （3）对任意实数，都有. （4）是不减函数，即若则，其图像如图I －4－5－1； 是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）.其中. （6） ；特别地， （7），其中；一般有；特别地， . （8），其中. 例题讲解 1．求证：其中k为某一自然数. 2．对任意的 3．计算和式 4．设M为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？
5．求方程 6． 7．对自然数n及一切自然数x，求证： . 8．求出的个位数字 例题答案： 1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为 若 故 反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t，使 由于 n!.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因对一切k=0,1,…成立，因此， 又因为n为固定数，当k适当大 时, 3．解：显然有：若
503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 都不会是整数，但+ 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+ 故 4．解：显然x=M是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解. 设x是方程的解.将代入原方程，化简得 所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数. 5．解： 经检验知，这四个值都是原方程的解. 6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】
高斯函数有关的高考压轴题.doc
与高斯函数有关的高考压轴题 董永春 （成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000） 1高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设用R,用[刘或表示不超过x的最大整数，并用〃｛” 〃表示兀的非负纯小数，则y = [x]称为高斯函数，也叫取整幣数。高斯函数[兀]的定义域是/?,值域为乙其图象是不连续的水平线段。在初中、尚屮数学竞赛屮经常岀现含有取整函数的问题。笔者在髙三复习时发现欧拉常数问题⑴在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质x = [x] + x-l<[x]
对于③，市题意知—和益都是整数，故“+]=[——]>
高中数学竞赛讲义-高斯函数
§28高斯函数 数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x , .
例题讲解 1．求证：,2!211--=?k n n n 其中k 为某一自然数. 2．对任意的∑∞ =+* +=∈0 1].22[,K k k n S N n 计算和 3．计算和式.]503 305[ 502 的值∑==n n S 4．设M 为一正整数，问方程2 2 2 }{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ 5．求方程.051][4042 的实数解=+-x x
数学竞赛中的数论问题
数学竞赛中的数论问题 罗增儒 引言 数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支． 什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，…是这样一个集合N +： （1）有一个最小的数1． （2）每一个数a 的后面都有且只有一个后继数/ a ；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数． 这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理： （3）对N +的子集M ，若1M ∈，且当a M ∈时，有后继数/ a M ∈，则M N +=． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想： 1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1． 欧拉认为这是对的，但证不出来． 1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数?素数（1+2），至今仍无人超越． ●陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾多次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠．……”陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰苦卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明珠”仅一步之遥． ●数论题涉及的知识不是很多，但用不多的知识来解决问题往往就需要较强的能力和精明多的技巧，有人说：用以发现数学人才，在初等数学中再也没有比数论教材更好的课程了．任何学生如能把当今一本数论教材中的练习做出，就应当受到鼓励，劝他（她）将来去从事数学方面的工作（U ．Dudley 《数论基础》前言）．下面，是一个有趣的故事． 当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨（匈牙利，1948）的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察（1959）：如果你手头上有1n +个正整数，这些正整数小于或等于2n ，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？ 不到12岁的波萨只用了1分半钟，就给出了问题的解答．他将1～2n 分成（1，2），（3，4），…，（21,2n n -）共n 个抽屉，手头的1n +个正整数一定有两个属于同一抽屉，这两个数是相邻的正整数，必定互素． 通过这个问题，厄尔多斯认定波萨是个难得的英才，就精心加以培养，不到两年，14岁的波萨就发表了图论中“波萨定理”． ●重视数学能力的数学竞赛，已经广泛采用数论题目，是数学竞赛四大支柱之一，四大
初等数论：不定方程与高斯函数
初等数论：不定方程与高斯函数 一、不定方程 不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。 1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解； （2）判定不定方程是否有解； （3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 以下给出几个求解定理： （一）二元一次不定方程（组） 定义.形如ax+by=c(a,b,c ∈Z,a,b 不同时为零)的方程称为二元一次不定方程 定理1.方程ax+by=c 有解的充要条件是(a,b)|c ； 定理2.若(a,b)=1，且x 0，y 0为ax+by=c 的一个解，则方程全部解可以表示成 （t 为任意整数)。 定理2’..元一次不定方程a 1x 1+ a 2x 2+ …a n x n =c(a 1 ,a 2, …a n ,c ∈N) 有解的充要条件是 (a 1, …,a n )|c. 方法与技巧： 1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求ax+by=0一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止； 2．解元一次不定方程a 1x 1+ a 2x 2+ …a n x n =c 时，可先顺次求出，……，. 若 ，则方程无解；若|，则 00 t , y=y t x x b a =+-
初中数学竞赛中的高斯函数问题
2中等数学●数学活动课程讲座● 初中数学竞赛中的高斯函数问题 姜照华 (山东省枣庄市第二十九中学，277000) 中图分类号：0174文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)11—0002—04 (本讲适合初中) 在初中数学竞赛中，经常出现含有取整符号【石】的问题．所谓的【茗】，就是表示不超过实数髫的最大整数，例如，【3．4】=3，【一2．7】=一3．这一规定最早为大数学家高斯所使用，故【菇】被称为高斯函数． 很明显，由规定直接可得： (1)当石是整数时，【茗】=茗； ’(2)当石不是整数时，茗一l<【石】<戈． 将两种情况合在一起，即是对任一实数z有茗一1<【戈】≤戈． 运用这一基本性质和高斯函数的意义，可轻松地解决相关的赛题． 1求单个高斯函数值 例1设a：堑羔；丛．贝0【d16】=一 (2008，“五羊杯”数学竞赛(初三)) 【分析】注意到a：巫#-q卢：亟≠(0<芦<1)能使a+卢=届与qB=1．因此，可以通过计算a16+口16的值进行判断． 解设卢：笪≯．则 a+卢=石，邮=1． 于是，a2+矿=(a+卢)2—20口=3， a4+∥=(a2+矿)2—2(af t)2=7， a8+矿=(∥+矿)2—2(af t)4=47， a16+矿=(a8+矿)2—2(q8)8=2207． 由0<卢<1，知0<／316<1． 所以，2206 数学竞赛辅导讲座：高斯函数 3 数学竞赛辅导讲座：高斯函数 知识、方法、技能 函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若2 1 x x ≤则][][2 1 x x ≤，其 图像如图I －4－5－1； } {x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－ 2. 3 图Ⅰ—4—5— 1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][};{}{}{{];[][][； 特别地， ].[][b a n b na ≥ （7） ] [][][y x xy ?≥，其中 + ∈R y x ,；一般有 ∑∏=+ =∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][；特别地， * ∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[][n x n x =，其中* ∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. 高斯（核）函数简介 1函数的基本概念 所谓径向基函数(Radial Basis Function 简称RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数, 可记作k(||x-xc||), 其作用往往是局部的, 即当x远离xc时函数取值很小。最常用的径向基函数是高斯核函数,形式为k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/(2*σ)^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数, 控制了函数的径向作用范围。 高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用．这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用．高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是： （1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的．一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向． （2）高斯函数是单值函数．这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的．这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真． （3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的．正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论．图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)．而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量．高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号．（4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的．σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好．通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷． （5）由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现．二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积．因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长． 2函数的表达式和图形 在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。可以参看相关的书籍，仅给出matlab绘图的代码 alf=3; n=7;%定义模板大小 n1=floor((n+1)/2);%确定中心 for i=1:n a(i)= exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2)); for j=1:n b(i,j) =exp(-((i-n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf); end end 高斯函数（二） 一、常见题型与相关例题 1、 整数问题 例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987?????? ??????????????? 中有多少个不同的整数？ 2、 方程问题 方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程33[]3x x -=。 例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。 3、 恒等问题 这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如 1().22n n n n N * +????+=∈???????? 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则1 []n k k x nx n -=?? + =? ?? ? ∑. 例5、已知,n N *∈ 求证：=== 4、 不等问题 不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设,x y R ∈，试证： （1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3][3][][]2[]x y x y x y +≥+++. 注：与上面不等式相类似地还有 （3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5][5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++ 例7、设,,x R n N * ∈∈试证：1 [][][].n k kx n x nx k =≤ ≤∑ 例8 、证明不等式++≥+对任意不小于1的实数,αβ 立。 例9、求所有正整数n 使得22m in ()1991.k N n k k * ∈?? +=???? 5、 求值问题 2020年初中数学竞赛讲义：高斯函 数 1. （1985年全国初中数学联赛1试）[]x 表示取数x 的整数部分，例如1534??=???? 等，若 [][]444x u x u y ????++=-- ??? ???? ?，且当 1=x ，8，11，14时，1=y ； 2=x ，5，12，15时，2=y ； 3=x ，6，9，16时，3=y ； 4=x ，7，10，13时，0=y ． 则表达式中u 等于（） A ． 24 +x B ．14+x C ．4x D ．14-x 【难度】 ★★★ 【解析】 D ， 若24 x u +=，则当2x =时，1u =，[]1u =， 因而334344y ????=-= ??????? ， 与题设2x =时，2y =相违，故A 错，用同样的方法可排除B ，C ． 故选D ． 2. （1986年全国初中数学联赛1试）记号[]x 表示不超过x 的最大整数（例如 ）．设n 是自然数，且2 2(1)I n n =++-，那么：（） A ．0I > B ．0I < C ．0I = D ．当n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现 【难度】 ★★ 【解析】 A ， ∵n 是正整数， ∴222(1)(1)(1)(1)(2)n n n n n +++<++++<+， ∴12n n +<+≤． ∴22(1)n =+ 故有22(1)(1)0I n n n n =++-+=>， ∴故应选A ． 3. （1987年全国初中数学联赛1试）[]a 表示不大于数a 的最大整数．例如 1=，2?=-?， 那么方程[]13122 x x +=-的所有根的和是__________． 【难度】 ★★★ 【解析】 2-， 令[31]x +为整数t ，按照[]a 的定义有0(31)1x t +-<≤， 又原方程为122 t x =-， 即1124x t =+代入上面的不等式，得37012 4t t ??+-< ???≤， 解得7322 t -<-≤．∴2t =-或3- 当2t =-时，134 x =-； 当3t =-时，254 x =-． ∴1235244x x ??+=-+-=- ??? ． 4. （1990年全国初中数学联赛2试）[]x 表示不超过实数x 的最大整数，令 {}[]x x x =-． ⑴找出一个实数x ，满足{}11x x ??+=???? ； ⑵证明：满足上述等式的x ，都不是有理数． 【难度】 ★★★ 【解析】 解法一：设x m α=+，1n x β=+（m ，n 为整数，0α≤，1β<）． 若{}11x x αβ??+=+=???? ， ∴11x m n m n x αβ+=+++=++是整数． 令1x k x +=（k 为整数），即210x kx -+=， 解得(12x k =±． 高斯函数(1) [知识点金] 1. 有关概念 对于任意实数x ,[]x 为不超过x 的最大整数,,[]y x =称为取整函数或叫高斯函数,并将{}[]y x x x ==-称为小数部分函数,表示x 的小数部分. 2. 重要性质 (1) []y x =的定义域是R ,值域为Z ; (2) 如果,x R n Z ∈∈,则有[][]n x n x +=+; (3) 对任意x R ∈,有[][][]1,1x x x x x x ≤<+-<≤; (4) 当x y ≤时,有[][]x y ≤,即[]y x =是不减函数; (5) 对于,x y R ∈,有[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++; (6) 如果,n N x R +∈∈,则[][]nx n x ≥; (7) 如果,n N x R + ∈∈,则[]x x n n ????≥????????. 3. 常用方法 (1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法 [例题精析] 例1 求方程213 10380x x +??-?+=-??的解的个数. 例2 解方程 [][]83523x x -=. 例3 求方程[]2lg lg 20x x --=的实数根的个数. 例4 求函数15()1(0100)15x f x x x -???? =+< 11．高斯函数[x] A 卷 1．如果x 为任意实数，用[x]表示不大于x 的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0的x 的范围是____________。 2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（ ） A ．3; B ．4; C ．5; D ．6 3．设[x]表示不超过x 的最大整数，若M=][ ,][x N x =，其中x ≥1，则一定有（ ） A ．M>N; B ．M=N; C ．M数学竞赛辅导讲座：高斯函数
高斯(核)函数简介
高中数学竞赛高斯函数
2020年初中数学竞赛讲义：高斯函数
高中数学竞赛专题讲义-高斯函数
初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)