图像处理中的梯度、梯度方向总结

一、数学中的方向导数与梯度：方向导数为函数沿某一指定方向的变化率。方向导数的定义为：

t

y ,x f tcos βy tcos αc x f lim l

f 00000

t )

y ,(x 00)

()(-++=??+

→，若

此时的极限存在。其中)(cos βcos αe l ，=为与l 同方向的单位向量，)(000y ,x P ，

)tcos (00βα++y ,tcos x P 。该方向导数就是)(000y ,x P 处沿方向l 的变化率。进而有

)cos γz ,y ,(x f )cos βz ,y ,(x f )cos αz ,y ,(x f l

f

000z 000y 000x )

z ,y ,(x 000++=??，

其中)(γβcos ,cos cos αe l ，=为方向l 的方向余玄。

向量j *y ,x f i *y ,x f y x )()(0000+称为函数)(y x,f 在点)(000y ,x P 的梯度，记为)(00y ,x gradf 。若函数)(y x,f 在点)(000y ,x P 可微分，)(cos βcos αe l ，=与方向l 同向的单位向量，则：

cos θ

)y ,gradf(x e )y ,gradf(x )cos β

y ,(x f )cos αy ,(x f l

f

00l 0000y 00x )

y ,(x 00=?=+=??

其中)(l 00e ),y ,gradf(x θ=，此式表明方向导数与梯度的关系。当

0=θ时，即沿梯度方向时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模。也就是说函数

在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

二、图像中的梯度与梯度方向：由于图像在计算机中以数字图像的形式进行存储，即图像是离散的数字信号，对数字图像的梯度使用差分来代替连续信号中的微分。根据不同的梯度模板，常见的图像梯度模板有以下几种： Roberts 梯度：

(,)(,)(1,1)

(,)(1,)(,1)x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ?=---???

?=---?? 2)(2)()(^y x,f Δ^y x,f Δy x,G y x +=

以上为其对应的梯度模板，在Matlab 中图像分别与1]0;0[1-=x f 和

0]1;-1[0=y f 卷积即可分别求出沿x 和沿y 方向的梯度。 Sobel 梯度：

[][][][]

(,)(1,1)2(,1)(1,1)(1,1)2(,1)(1,1)(,)(1,1)2(1,)(1,1)(1,1)2(1,)(1,1)x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ??=-++++++---+-++-???=--+-+-+-+-+++++??

Prewitt 梯度：

[][]

[][]

(,)(1,1)(,1)(1,1)(1,1)(,1)(1,1)(,)(1,1)(1,

)(1,1)(1,1)(1,)(1,1)x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ??=+++++-+-+-+-+--???=--

+-+-+-+-+++++??

Laplacian ：

22(,)(1,)(1,)(,1)(,1)4(,)(,)(1,1)(,1)(1,1)(1,)(1,)(1,1)(,1)(1,1)8(,

)

f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ??=++-+++--???=--+-++-+-++??+-+

+++++-

Marr ：

以上计算出来的图像就为梯度图像以下结合Sobel 算子具体的说明图像中的梯度与梯度角及梯度方向：由Sobel 算子首先计算出x G 、y G ，然后计算梯度角

)(x y /G G arctan θ ，梯度方向及图像灰度增大的方向，其中梯度方向的梯度夹角大于平坦区域的梯度夹角。如图1.1所示所示，灰度值增加的方向梯度夹角大，此时梯度夹角大的方向为梯度方向。对应在图像中寻找某一点的梯度方向即通过计算该点与其8邻域点的梯度角，梯度角最大即为梯度方向。

图1.1