海伦公式的几种证明与推广

海伦公式的几种证明与推广

高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula 〕：假设有一个三角形，边长分别为,,,c b a ，三角形的面积S 可由以下公式求得：

))()((c p b p a p s ---=，而公式里的)(2

1

c b a p ++=

，称为半周长。

图1

C

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n 边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=

))()((c p b p a p p ---

=

))()()((41a c b b c a c b a c b a -+-+-+++=])(][)[(412222b a c c b a ---+ =)]2()[2(41222222ab c b a ab c b a --+-+-+=222222)(441

c b a b a -+- =4442222222224

1

c b a c b c a b a ---++ 教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式C ab s sin 2

1

=和余弦定理

C ab b a c cos 22

2

2

-+=的证明过程：C ab s sin 21==C n ab 2

cos 121-=2222)

2(121ab

c b a ab -+-下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展

水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式a ABC ah S 2

1

=

?入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 如图2，

图2

B

C

在△ABC 中，AD 为边BC 上的高，根据勾股定理，有??

???=+=+=+a

z y b z x c y x 2

22222解方程，得a b c a y 2222-+=，

a c

b a z 2222-+=，2222222222222)(421)2(b

c a c a a

a b c a c y c x -+-=-+-=-=下略。在求

高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC 顶点A 于对边BC 上任一点D 间的距离AD 有下列等式确定：BC DC BD BC AD BD AC DC AB ??+?=?+?2

2

2

，等式改写为

BC

BD

BC DC BC BC BD AC BC DC AB AD ??-?+?

=2222 而当点D 是顶点A 的正射影时,有2

222

22cos cos c b a b c a C AC B AB DC BD -+-+==，利用比例的性质，变形得22222a b c a BC BD -+=，22

222a

c b a BC DC -+=，代入即求出高AD 。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠ C =180°那么

2t a n 2t a n B A ?+2tan 2tan C A ?+2

tan 2tan C

B ?=1，

图3

z

z C

如图3,在△ABC 中，内切圆⊙O 的半径是r,则x r A =2tan

, y

r

B =2tan ,z r

C =2tan ,代入恒等式2tan 2tan B A ?+2tan 2tan C A ?+2tan 2tan C B ?=1，得12

22=++yz

r xz r xy r ，两边同乘xyz ，有等式

xyz z y x r =++)(2………①

又，x z y y x z x a c b 2)()()(=+-+++=-+ ，所以，2a c b x -+=

，同理2

b

c a y -+=，2c b a z -+=

。………②于是△ABC 的面积r c b a S )(21++==r y x z x z y )(2

1

+++++=r z y x )(++ =2

2)(r z y x ++，把①、②式代入，即得xyz z y x S )(++=

=

))()()((4

1

b c a a c b c b a c b a -+-+-+++ 三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设四条边长分别为d c b a ,,,，且2

d

c b a p +++=

,则S 四边形=))()()((d p c p b p a p ----

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA ，CB 交于点E 。设EA = e EB = f

∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○

∴∠1 =∠3 ∴△EAB ～△ECD

∴e a f + = c f e + = d b ， A B C D

E A B S S 四边形? = 222b d b - 解得： e =22)(b d cd ab b -+ ③ f =22)(b d bc ad b -+ ④由于S 四边形ABCD =2

22b b d -S △EAB

将③，④跟b =2

222)

(b d b d b -+代入海伦公式公式变形，得： ∴S 四边形ABCD =

22

24b b d -2

22222)(4f b e b e -+-

=2

2

24b b d -22

222222222222222242222224)])()()()()()([()()()(4b d bc ad b b d b d b b d cd ab b b d b d cd ab b -+---+-+---+

=2

2

2

4b

b

d -{}

2

2222222224

224])()()[()()(4)

(bc ad b d cd ab b d cd ab b d b +--++--+-

=

)(4122b d -2

222222222]}{}{}[{)()(4bc ad b d cd ab b d cd ab +--++--+

=

)(41

22b d -)

2()()(42222224422222222c b d a b d b d d c b a b d cd ab ---+++--+

=

)(41

22b d -)

()([)()(422222222222222c a b d d c d b a b b d cd ab +--+--+--+

=)(41

22b d -]

)()(4[)(222222222a b d c cd ab b d --+-+-

=4

1)

22)(22(22222222c a b d cd ab a b d c cd ab -++-+--+++

=])()][()()[(41

2222c a d b d b c a --+--+

=))()()((41

a c d

b b

c

d a c d b a d c b a -++-++-++-++

=))()()((d p c p b p a p ---- 所以，海伦公式的推广得证。

图4

参考文献

［1］七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～２６．

［2］王林全．初等几何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．