深入理解计算机系统LAB2

实验二报告

一、实验内容

根据实验文件里的提示，补充15段代码，熟悉对整型和浮点型数的操作，并成功调试运行。

二、实验程序解释

1.bitAnd

要求只运用~和|符号实现and的功能。a and b=not(not a or not b),根据德摩根律易得结果。

int bitAnd(int x, int y) {

return ~(~x|~y);

}

2.getByte

得到x的第n个字节的值，规定其中x的最低位为第0个字节，最高位为第3个字节。

如果是第0个字节，将x右移0个字节再利用掩码0xFF将高位的三个字节置为0。如果是求第1个字节，将x右移1个字节，同理利用掩码。

可以知道，将x右移n个字节也就是n*8位、即(n<<3)位。

接下来清除前三个高位字节，保留最低字节的信息，与0xFF进行&运算。

int getByte(int x, int n) {

int t;

t=x>>(n<<3);

t=t&0xFF;

return t;

}

3.LogicalShift

逻辑右移是将移动后补充的高位置0，而算数右移时补充的和符号位相同。对于字x，需要进行逻辑右移n位。将x用sxxxxxxx表示，s为符号位，算术右移n-1位的结果为ss…sxx..（有n个s）。想要得到的结果是00…xxx..(n个0)，所以如果能得到s’s’…s’111..

（n个s’）的话，按位与就能得到结果。首先提取符号位t，1左移31位得到100..00，与x进行按位与操作得到s000..0，接着算术右移n位，得到ss..s00..00（n+1个s），再左移1位，得到s..s0..0(n个s)，取反得到s’s’..s’111..1。这样就能得到逻辑右移n位的结果了。注意，在得到s’s’…111的过程中，不能直接将s00.. 0右移n-1位，考虑特殊情况，n为0时，右移-1位是不正确的。

int logicalShift(int x, int n) {

int t=(1<<31)&x;

t=~((t>>n)<<1);

t=(x>>n)&t;

return t;

}

4.bitCount

要求计算32位二进制数x中1个个数。如果每次创建一个000..01..0的数按位与，再将结果全部相加的话，2*32+1+1肯定会超过最大操作次数限制。那么可以想到，不检测每一位，而一次检测某几位。这里每次检测4位。

初始化tmp=0x1111，x与之按位与，检测每次第24,16,8,0位上的数字是否为1。将x右移i(1<=i<=7)位，再和temp进行按位与，结果加给val。利用val值的累加，分别计算每四个字节（8位）上1的个数。最后将val的四个字节的值相加，保留最低字节（8位）的信息，即为x中1个个数。

int bitCount(int x) {

int tmp=(((0x01<<8|0x01)<<8|0x01)<<8|0x01)<<8|0x01;

int val=tmp&x;

val+=tmp&(x>>1);

val+=tmp&(x>>2);

val+=tmp&(x>>3);

val+=tmp&(x>>4);

val+=tmp&(x>>5);

val+=tmp&(x>>6);

val+=tmp&(x>>7);

val+=(val>>16);

val+=(val>>8);

return val&0xff;

}

5.bang

要求计算！x的结果，不能使用!运算符。如果x=0,!x=1,否则!x=0。对于特殊的0作分析，可以发现0的补码和原码相等，均为00..00，负数的补码符号位为0，原码符号位为1，而对正数进行取反+1时，符号位也与原码不同。因此，如果能求得x取反+1的数的符号位，再异或、取反，就可以得到！x。假设t=~x+1，x|t的最高位就是想得到的符号位，进行右移31位就可以移动至最低位，再与0x01进行按位与，就可以得到结果。

int bang(int x) {

int tmp=~x+1;

tmp=x|tmp;

tmp=tmp>>31;

tmp=~tmp;

return tmp&0x01;

}

6.tmin

要求获得补码编码的最小数。由书本P40的公式可知，当负权的系数、即符号位为1时，补码表示负数，若后面的求和为0，值最小。也就是说补码能表示的最小值是[10…0]。

也就是0x01<<31。

int tmin(void) {

return 0x01<<31;

}

7.fitsBits

如果x可以被n位补码表示则返回1，否则返回0。恰能用n位表示的补码，最高位是符号位，其他n-1位表示该数的值，如果右移n-1位，均为符号位，非负数为0，负数为1。因此分两种情况讨论，如果是非负数，右移n-1位再取反是1，符号位取反是1，相与为1；如果是负数，x先取反再右移n-1位，取反后为1，与符号位的反相与，也为1。考虑完这两种情况后，用|符号连接。如果x不能被n为补码表示，右移n-1位之后不全是符号位，经过!操作之后值为0，这样与符号位的取反相与的结果就是0了，即不能被表示。

一开始对于案例存有疑问，认为5和-4都不能被3位补码表示，至少需要4位。后来发现我是转化为了原码，认为不能用3位表示，但根据补码编码的公式，3位补码的表示范围为-4~3，因此-4是可以由3表示的。

int fitsBits(int x, int n) {

int s=!(x>>31);

int shift=n+~0;//shift=n-1

return (s&!(x>>shift))|(!s&!((~x)>>shift));

}

8.divpwr2

计算x/(2^n)的值。一般算术右移等价于除以x的幂，但由于移位结果如果需要舍入，是向下舍入而不是向零舍入，所以对于负数来说直接移位得到的结果不一定正确。此时移入“偏置”一词，见书本P65~66,可以得到，对于负数，先加上2^n-1的偏移量可以消除问题，得到正确的结果。因此先算出2^n-1的值，即（1<

int divpwr2(int x, int n) {

int signx=x>>31;

int mask=(1<

int bias=signx&mask;//if x>0,bias=0

return (x+bias)>>n;

}

9.negate

求出x的相反数。由于在计算机中整型数据以补码编码进行存储，由公式可知，无论是非负数还是负数，进行取反加一都能得到相反数。因此直接return ~x+1。

int negate(int x) {

return (~x)+1;

}

10.isPositive

要求判断x是否为正数，有两个条件，符号为0，并且非符号位不全为0。反之，如果符号位为1，或者x取反为1（就是0的情况），说明不是正数。因此直接return !((x>>31)|(!x))。

int isPositive(int x) {

return !((x>>31)|(!x));

}

11.isLessOrEqual

如果x<=y返回1，否则返回0。题目等价于判断x-y<=0是否成立，也就是x-y的正负。

当x,y同号时，只需判断x-y的正负性，如果为非负数，则成立。当x,y异号时，可能会发生溢出，要求结果与x的符号一致。先分别求得符号位，(x>>31)&1，(y>>31)&1。如果x,y异号，只要x的符号位为1即可，如果x,y同号，要求y-x符号位为0。返回值分别考虑这两种情况即可，返回(!(sx^sy)&s)|((sx^sy)&sx)。

int isLessOrEqual(int x, int y) {

int sx=(x>>31)&1;

int sy=(y>>31)&1;

int z=y+(~x+1);

int s=!(z>>31);//signal of ~z

return (!(sx^sy)&s)|((sx^sy)&sx);

}

12.ilog2

限定x>0，求以x为底的log值。由于是32进制数，取对数的结果不会超过31，可以用五位的二进制数来表示。又可以知道，结果只和为1的最高位有关，因此只要找到从左边起第一个1的序号。利用二分法，判断32位数的左半边16位是否全为0，如果全为0则丢弃，否则右移，再判断16位的左半边8位是否全部为0，如此重复，直到只剩下最后一个数，将每次得到的数相加，即可得到结果。

int ilog2(int x) {

int s1,s2,s3,s4,s5;

int s=!!(x>>16);//whether x's left 16 bits aren't all 0

s1=s<<4;

x=x>>s1;

s=!!(x>>8);

s2=s<<3;

x=x>>s2;

s=!!(x>>4);

s3=s<<2;

x=x>>s3;

s=!!(x>>2);

s4=s<<1;

x>>=s4;

s=!!(x>>1);

s5=s;

return s1+s2+s3+s4+s5;

13.float_neg

计算无符号浮点数x的相反数。当x=NaN时，直接返回参数。当x!=NaN时，将符号位

取反，返回-x即可。另外，32位浮点数的符号位s占1位，阶码exp占8位，尾数frac 占23位。可以先利用与0x80000000按位异或，改反符号位，再将x与0x7ffffffff按位与，将所得值tmp与NaN（0x7f800000）进行比较，如果大于NaN,则直接将uf赋值给result 返回。

unsigned float_neg(unsigned uf) {

unsigned result;

unsigned tmp;

result=uf^0x80000000;//reverse sign flag

tmp=uf&(0x7fffffff);

if(tmp>0x7f800000)

result=uf;

return result;

}

14.float_i2f

返回Int x的无符号单精度浮点数的二进制形式，参考书74页将int型整数12345转化为单精度浮点型数据的过程。如果是0直接返回，如果是负数，需要将符号位赋为1，同时获得绝对值absX=-x。将绝对值一直左移，直到最高位为1，退出循环，期间记住左移的位数。最终结果由符号位、阶码、尾数组成，其中阶码是e-Bias，尾数除了左移后的绝对值的前23位以外，需要判断最后一位是否进位，也就是在截断过程中是否舍入。

如果左移得到的aftershift小于23位没有任何问题，但如果它大于等于23位，就需要进行向偶舍入的过程。对于32位数aftershift，如果第23~32位的数比第24~32位的大，则标志位flag为1；如果第23位和第24位都为1，也要进位，flag为1。否则flag为0。

参考代码：

unsigned float_i2f(int x) {

unsigned shiftLeft=0;

unsigned afterShift,tmp,flag;

unsigned absX=x;

unsigned sign=0;

if(x==0) return 0;

//if x<0,sign=100...0,abs_x=-x

if(x<0)

{

sign=0x80000000;

absX=-x;

}

afterShift=absX;

//count shift_left and after_shift

while(1){

tmp=afterShift;

afterShift<<=1;//aftershift一直左移

shiftLeft++;//左移多少位

if(tmp&0x80000000) break;//找到左边起的第一个1，aftershift为所要的尾数

}

if((afterShift&0x01ff)>0x0100)//16~0位的尾数与0x0100进行比较，第23~32位比

第24~32位更大，进位（向偶舍入的原则）

flag=1;

else if((afterShift&0x03ff)==0x0300)//17~0位的尾数与0x0300进行比较，从左至由第23位和第24为均为1，进位

flag=1;

else

flag=0;

return sign+((159-shiftLeft)<<23)+ (afterShift>>9)+flag;//（符号位+阶码+尾数以及判断是否进位）159为127+32-shiftLeft，127为偏移量，32-shiftleft为小数点的位数（从左边开始算）

}

方法二：浮点数的操作考虑符号，阶码和尾数三部分；*取符号位：s=x&(1<<31)；*初始化阶码：exp=(x>>31)?158:0；*尾数部分的处理，可以先将前缀0去除，然后取高23位，再加上后面剩余位四舍五入的精度位；*可利用(1<<23)-1与低23位进行&运算，取23位尾数；*对于精度部分的判断，判断x&0xff，遵循四舍五入原则：*由8位二进制的四舍五入，即判断的部分不小于2^7可能产生进位；当剩余精度部分超过2^7，直接进位，frac++；当剩余精度部分等于2^7，判断frac的最后一位为1或0；*frac最后一位为0，则不进位，直接截断；*frac最后一位为1，产生进位，frac++；（统计偏差的原因）*对于exp的初始化：当x=0时，初始化exp=0，最终结果返回0；当x=-1时，初始化exp=127+31（e+Bias），最终结果返回-1。

Unsignedfloat_i2f(intx)

{unsigneds=x&(1<<31);//取符号位

Inti=30;//*初始化i为30*

Intexp=(x>>31)?158:0;//初始化exp

Intfrac=0;//用来保存尾数

Intdelta;//保存精度

Intfrac_mask=(1<<23)-1;//frac_mask低23位全1，高9位全0

if(x<<1){//如果x不为0也不为-2^31

if(x<0)

x=-x;//x=|x|

while(!((x>>i)&1))//x最高位1权重为i（编号从0开始）

i--;

exp=i+127;//偏置指数e=E+Bias，Bias=127

x=x<<(31-i);//舍弃x前面的0

frac=frac_mask&(x>>8);//frac取尾数（取x的高23位）

x=x&0xff;//保留x的末8位，将处理的精度

delta=x>128||((x==128)&&(frac&1));//处理精度，四舍五入

frac+=delta;//加上精度

if(frac>>23){//如果尾数溢出

frac&=frac_mask;//取尾数的后23位

exp+=1;//产生进位

}

}

returns|(exp<<23)|frac;//返回最后结果

}

15.float_twice

计算2*uf的值，浮点数的运算要考虑符号位、阶码和尾数三个部分。如果阶码部分为0，为非规格化的值，只需要将尾数部分左移一位；如果阶码部分不为0，即为规格化的值，则将阶码+1。如果uf是NaN，直接返回NaN。最后将符号、阶码、尾数三个部分合为返回值。

unsigned float_twice(unsigned uf) {

unsigned exp=uf&0x7f800000;

unsigned sign=uf&0x80000000;

if(exp){

if(exp!=0x7f800000){//if exp bits are all 1 and frac are not all 0

uf=uf+0x00800000;//increment exp by 1/multiplied by 2

}

}

else

uf=(uf<<1)|sign; //shift one bit to left

return uf;

}

三、运行结果

运行结果无错误，不过float_i2f填写的是现有的参照，尚未理解。

四、实验收获

实验过程中，通过反复在书本、网络上查询资料，以及和同学们的讨论，加深了对计算机处

理整型数据和浮点型数据的理解，对于计算机的操作理解更加深入。

在实验过程中，总结了以下几个知识点：

（1）善于利用掩码获得所需数据，如果是保留最低字节信息，与0xff进行&运算，如果是保留符号位，与0x80000000进行运算。

（2）<<和>>符号是算数运算，算数左移相当于乘法，算数右移相当于除法，左移1个字节，就是乘以2。

（3）善于利用按位与、按位或，往往能够巧妙地得到想要的结果。

（4）很多题目要求理解补码的原理，了解其公式、范围会很有用处，甚至直接得到return 值。

（5）计算机里的数都是由补码表示的，但是我们在思考时习惯于使用真值、原码，这就导致了很多想不通的问题，比如一个数x的相反数是~x+1，如果对原码进行操作，是得不到相反数的，需要注意，这些数都是补码，这样运算结果再转化为真值，就可以发现是正确的。

（6）减去一个数等于加上这个数取反加一。这也是进行补码运算时转化减法的方式。（7）0是一个特殊的数字，有时只需要考虑清楚0的状况，就能完成题目。

（8）对于结果有两种情况分别讨论的，用|符号进行连接即可。

（9）善于利用二分法，分段考虑，往往能够简化问题。

（10）浮点数比整型要复杂，首先需要搞清楚它的编码的组成成分：符号位、阶码、尾数。

浮点型数据还分为规格化的值、非规格化的值。其中非规格化的值包括0、无穷大和NaN(not a number，阶码为全1，尾数不为0)。

（11）数据类型间的转化需要考虑很多东西，例如溢出、舍入等情况，较为复杂。书本P78也展示了各个数据类型间转化可能出现的问题。

原本对于书本上的理论知识理解不是很透彻，通过实验过程中碰到问题时的反复查阅、咨询，巩固了理论知识，同时获得了实践的经验。同时发现，有一些计算机进行计算时会发生的问题是我们平时想不到的，比如int型向float型转化时可能发生的舍入，又或者是Unsigned 和signed类型之间转换时发生的解释方法变化的问题。因此，在编写程序时，不仅要从人的角度考虑，也要从计算机的角度考虑，并且尽可能优化方法，从而提高运行效率。