2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律

§2-5 质点系的功能 原理 机械能守恒定律

质点系统动能定理
1、质点系统的动能定理
质点动能定理： 合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
Aab = Ekb ? Eka = ΔEk
质点系统动能定理： 先看： 二质点组成的系统 两个质点在外力及内 力作用下，
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G F1
s1
s2 m1 G f12
G F2
G f 21
m2
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质点系统动能定理
对m1应用动能定理：
G G G G ∫ F1 ? d r1 + ∫ f12 ? d r1 = ΔEk 1
对m2应用动能定理：
G F1
s1
s2
m1 G f12
G F2
G G G G ∫ F2 ? d r2 + ∫ f 21 ? d r2 = ΔEk 2
作为系统考虑时，得到：
G f 21
m2
G G G G G G G G ∫ F1 ? d r1 + ∫ F2 ? d r + ∫ f12 ? d r1 + ∫ f 21 ? d r2 = ΔEk 1 + ΔEk 2
2
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质点系统动能定理
G G G G G G G G ∫ F1 ? d r1 + ∫ F2 ? d r2 + ∫ f12 ? d r1 + ∫ f 21 ? d r2 = ΔEk 1 + ΔEk 2
系统外 力的功 系统内 力的功 系统动能 的增量
∴ Ae + Ai = ΔEk
e : external i : internal
质点系动能定理：所有外力与内力对质点系统做功 之和，等于质点系总动能的增量。 推广:上述结论适用多个质点。
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2、质点系统的功能原理
对系统的内力来说，有保守内力和非保 守内力之分。所以内力的功也分为保守内 力的功Aic 和非保守内力的功 Aid 。
Ai = Aic + Aid
根据势能定义：
Aic = ?ΔE p
( Ae + Ai = ΔEk )
∴ Ae + Aid = ΔEk + ΔE p = ΔE
系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2时， 它的机械能的增量，等于外力的功与非保守内力的 功的总和。
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系统的功能原理
功能原理讨论：
(1) 取单个物体作为研究对象时，使用单个物体的动 能定理。其中外力作功Ae必须包括重力、弹性力等一 切外力。
Aab 外 = Δ E k
(2) 取物体地球系统（或弹簧系统）作为研究对象 时，重力（或弹性力）属于保守内力作功Aic。 质点系动能定理： 质点系功能原理：
（Ae + Ai = ΔE k）
( Ae + Aid = ΔEk + ΔE p = ΔE )
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例题2－13
例题2-13 一汽车的速度v0=36km/h,驶至一斜率为0.01 的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车 重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？ 解法一：取汽车为研究对象。 汽车上坡时，受到三个力作用: K 摩擦力 f r ; K 重力 G ; K 斜坡支持力 N 。
N
s
α
fr
G
设汽车能冲上斜坡的距离为s，此时汽车的末 速度为0。
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例题2－13
N 根据动能定理: 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 G2 1 2 ? f r ? s ? G s sin α = 0 ? m v 0 s 2 fr ( f r = 0 . 05 G )
1 2 0.05 m g ? s + m g ? s ? sin α = m v 0 2 已知tg α=0.01，斜坡与水平面的夹角很小，
∴ sin α≈tgα= 0.01， 10 2 ∴ s= m = 85 m 2 × 9 . 8 ( 0 . 05 + 0 . 010 )
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α
G1
G
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例题2－13
解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象， 系统的功能原理：系统的机械能的增量，等于外 力的功与非保守内力的功的总和。
JG 系统不受外力作用，内力为 f r 和 N 。
Ae + Aid = ΔEk + ΔE p = ΔE
s
N
N做功为0。fr 为非保守力。
α
1 2 ? ( m v0 + 0) 2
fr
h
∴ ? fr ? s = ( 0 + Gs sin α )
∴ 同样，可求得距离S为85m。
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例题2－14 ——系统的功能原理
例题2-14 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始， 沿1/4 固定圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，物体在 B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功. 解 物体下滑过程中，受到三个力作用:
A R
重力 G， 摩擦力 fr ， 正压力 N 。 若直接计算摩擦力所功，涉及到变 力做功，较复杂。
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K fr
K G
θ
O
K N
v
B
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例题 2－14 ——系统的功能原理
把物体和地球作为系统，采用功能原理进行计算。
Ae + Aid = ΔEk + ΔE p = ΔE
K K K 系统不受外力，内力为： f r , N , G
K fr
A
R
N 做功为0。内部非保守力为fr 。
K G
K N
θ
O
v
B
1 A非保守力 = EB ? E A = mv 2 ? mgR 2
= ? 42.4 J
∴ 摩擦力对物体作负功，大小42.4J。
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机械能守恒定律
3、机械能守恒定律
机械能守恒定律：如果一个系统只有保守内力做功； 或者非保守内力与外力的总功为零，则系统机械能的 总值保持不变(各物体的动能和势能可以互相转换)。
(功能原理： Ae + Aid = ΔEk + ΔE p = ΔE )
条件：
Ae + Aid = 0
定律表达式: 或
E Ka + E Pa = E Kb + E Pb
E = E K + E P = 常量
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能量守恒定律
4、能量守恒定律
孤立系统：不受外界作用的系统。 外力＝0
能量守恒定律：一个孤立系统经历任何变化时，该系 统的所有能量的总和不变。能量只能从一种形式变为 另一形式，或从系统内一个物体传给另一物体。 x
O
自然界中更加普遍的一个定律，支配着一切自然 现象。
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能量守恒定律
能量守恒定律的重要性：
① 支配着一切自然现象：若发现某过程中违反能 量守恒，意味着存在未知的新事物。 β衰变：
A Z
X ???? →
β decay
A Z +1
Y + β (e ) +ν
? ?
② 违背能量守恒定律的过程不可能实现。 第一类永动机？ ③ 为解决问题提供新方法。
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例题 2-15
例题2-15 起重机用钢丝绳吊运质量为m 的物体，以速度v0 匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性 进行下降，会使钢丝绳再有多少伸长量？(设钢丝绳劲度系 数为k，钢丝绳重力忽略不计)。这样突然刹车后，钢丝绳 所受的最大拉力有多大？
x0
v0
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h
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例题2-15
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。 A + A = 0
e id
T
x0
v0
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h
G
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例题2-15
在起重机突然刹车的瞬时位置： 1 物体的动能为： E k 1 = m v 0 2 2 系统弹性势能（平衡位置为零点）： 1 2 弹 （x0= mg/k） E p 1 = kx 0 2 系统的重力势能为：
x0
h
E重 （以最低位置作为重力势能的零点） p 1 = m gh
此时系统的总机械能为：
E1 ＝ E k1 ＋E ＋E
弹 p1
重 p1
1 1 2 2 = mv 0 + kx 0 + mgh 2 2
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例题2-15
物体下降到最低位置时： 物体的动能： Ek2=0；
弹 p2
1 系统的弹性势能为： E = k ( x 0 + h ) 2 2 系统重力势能: E 重 p2 = 0
在最低位置时系统的总机械能为： 1 弹 重 E2 ＝Ek2 ＋ E p2 ＋ E p2 = k ( x0 + h)2 2 1 1 1 2 2 mv 0 + kx 0 + mgh = k ( x 0 + h ) 2 机械能守恒： 2 2 2 （x0= mg/k） m
∴
h=
k
v0
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例题2-15
②钢丝绳所受的最大拉力有多大？ 在最低位置时，钢丝绳伸长量 x=x0+h 是最大伸长量 此时钢丝绳内的张力最大：
mg ′ = k ( x0 + h) = k ( Tm + k
v0越大，Tm ’也越大。
m v0 ) = m g + k
km v 0
所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不 得超过某一限值。
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例题 2-16
例题 2-16 用一弹簧将质量分别为m1和m2的上下两块 水平木板连接，如图所示，下板放在地面上。 Q1：如以上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和 弹性势能的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系 统的总势能。
x
弹簧原长
m1
x0 O
x
m2
如图，取上板的平衡位置为x 轴的原点O，并设弹簧 为原长时上板处在x0位置。
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