空间几何体直观图即斜二侧画法

空间几何体的直观图

知识点：平面图形的直观图

要点诠释：

1.用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；

2.用斜二测画法画平面图形的步骤：

(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，

两轴交于点，且使(或)；

(2)位置关系：已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；

(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变

为原来的一半.

经典例题透析：

类型一：平面图形的直观图

1、画出水平放置的等边三角形的直观图.

解：画法，如图：

(1)在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的轴和轴，两轴交于点，且使；

(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；

(3)连接、，并擦去辅助线轴和轴，便获得正△ABC的直观图△.

总结升华：斜二测画法的作图技巧：

1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；

2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段

可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；

3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变.

举一反三：

【变式1】等腰梯形ABCD，上底边CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底边取x轴，则直观图的面积是多少？

解：

1.以等腰梯形的下底边所在直线为x轴，以过D点的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系；

过C点做垂直于AB的直线与AB相交于点E；∵DC=1，，AB=3，∴AO=OE=EB=DO=1；

2.建立坐标系，，在轴上取，且，，在轴上取

线段；过点做；连接和，则梯形为等腰梯形ABCD的直观图；

3.过点做垂直于下底边的垂线段，则△为等腰直角三角形，斜边，所以

梯形的高；

4.梯形面积.

【变式2】正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？

1.直观图中平行于轴和轴的线段在原图中分别为平行于轴和轴的线段；

2.直观图中平行于轴的线段，在原图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的两倍.

解：

1.建立平面直角坐标系，在x轴上取；

2.为正方形的对角线，且在轴上，则，所以在y轴上取；

3.取，且平行于x轴；

4.连接AB、CO，所得图形OABC即为直观图的原图；四边形OABC为平行四边形；

5.因为，，由勾股定理，BA=3，所以平行四边形OABC周长为8.

学习成果测评

基础达标：

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．相等的线段在直观图中仍然相等

B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

C．两个全等三角形的直观图一定也全等

D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形.

2．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )

A．8 B．C．D．

3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为( )

A．7 B．6 C．5 D．3

4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )

A．B．C．D．

5．三棱锥的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面V AB的面积为9，则点C到侧面V AB的距离为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

6．正方体的内切球和外接球的半径之比为( )

A．B．C．D．

7．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ).

A．25B．50C．125D．都不对

8．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为( )

A．B．C．D．

二、填空题

1．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是________.

答案：4

2．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是__________.

3．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:2，则它们的高之比为_________.

能力提升：

一、选择题

1．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，

其直观图面积是原三角形面积的( ).

A．2倍B．倍C．倍D．倍

2．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ).

A．3B．6C．D．

3．已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是( )

A．16 B．16或64 C．64 D．以上都不对

4．一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形，对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm.则这个直棱柱的侧面积是( ).

A．B．C．D．

二、填空题

1．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：

①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的；

②画与直角坐标系对应的必须是45°；

③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；

④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；

⑤梯形的直观图仍然是梯形；

⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.

其中说法正确的序号依次是___________.

答案解析：

基础达标：

一、选择题：BBAAB，DBC

二、填空题：1、或；2、①③；3、；

4、；

5、，.

三、解答题：

解：由题意有，，

∴即油槽的深度为75cm.

能力提升：

一、选择题：CBBA BCAD

二、填空题：1、①⑤；2、

三、解答题：

1．解：一个侧面如右图，易知，.

则，

，

所以，表面积为

综合探究：

解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，

则仓库的体积.

如果按方案二，仓库的高变成8m，

则仓库的体积.

(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m.棱锥的母线长为

则仓库的表面积；

如果按方案二，仓库的高变成8m，棱锥的母线长为，则仓库的表面积；

(3)∵，，∴方案二比方案一更加经济.