16第三章 指数概念的扩充
教学课题：指数概念的扩充
三维目标：
1．知识与技能：
理解分数指数幂的概念.
2．过程与方法：
经历幂指数由正整数逐步扩充到实数的过程，让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自主建构，从而增强学生对数学本质的认识.
3．情感、态度与价值观：
通过指数的扩充使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化、系统化的精神. 教学重点：理解分数指数幂的概念.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
教学课时：1课时
教学过程：
一．复习引入
复习回顾初中学习的整数指数幂：
个n n a a a a ???=()+∈N n ；10=a ()0≠a ；n
n a a 1=-()+∈≠N a a ,0. 引入：实际问题中，指数不一定都是整数. 例如，在上节课的例子中，臭氧含量Q 与时间t 存在指数关系，如果我们只讨论了指数是正整数的情况，那么当时间t 是半年，或15年零3个月时，即指数是分数时情况又怎样呢？这就是我们今天这节课所学的知识内容——指数概念的扩充. （板书课题）
二．新知
㈠分数指数幂
给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ,（n m ,互素），存在唯一的正实数b ，使得m
n a b =，我们把b 叫作a 的n
m 次幂，记作n m
a b =. 它就是分数指数幂. 说明： ⑴n m a 的意义：分数指数幂n m a 不可理解为n m 个a 相乘，它是根式的一种新的写法，规定：n m
n m
a a =
（+∈>N n m a ,,0且n m 为既约分数），n m n m n m a a a 11==-（+∈>N n m a ,,0且n
m 为既约分数）. 在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式上的不同而已.
⑵0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂和零次幂没有意义；负数的分数指数幂是否有意义，应视n m ,的具体数值而定. ⑶???=为偶数
为奇数n a n a a n n ,,
例（教材例1）把下列各式中的b （0>b ）写成分数指数幂的形式：
⑴325=b ；⑵543=b ；⑶m n b
35π=-()+∈N n m ,. 例（教材例2）计算：⑴3127；⑵2
34. ㈡实数指数幂
有理数指数幂还可以推广到无理数指数幂. 我们不能给出无理数指数幂严格的定义，我们可以通过一个例子来认识无理数指数幂也是一个确定的数（与学生一起阅读教材关于210的例子）.
一般地，当0>a ，x 为任意实数值时，实数指数幂x a 都有意义，且x a 也大于0.
三．小结
1．指数概念的扩充；
2．分数指数幂与根式的相互转化.
四．作业
教材第66页“练习”第2、3题.
高中数学 函数的概念 说课稿
高中数学《函数的概念》说课稿 尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《函数的概念》。 新课标指出：数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上都能得到不同的发展。今天我将从这一理念出发，以“教什么，怎样教和为什么这样教”为思路，从教材分析、学情分析、教法与学法指导和教学过程等几个方面展开我的说课。 一、说教材 首先谈谈我对教材的理解，《函数的单调性》是北师大版必修一第二章2.3的内容，本节课的内容是函数概念。函数单调性内容是高中数学学习的一条主线，它贯穿整个高中数学学习中，又是高中数学学习的一个重要的性质，是研究和讨论其他基本初等函数性质的基础。是已经学习过的函数的概念、图像和性质的延伸和拓展，同时又为后面基本初等函数的学习奠定了理论基础，在整个高中数学学习中起着承前启后的作用。函数单调性的学习过程经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，通过学习可以提高学生的数学思维能力。 二、说学情 接下来谈谈学生的实际情况。新课标指出学生是教学的主体，所以要成为符合新课标要求的教师，首先就要深入了解所面对的学生。本阶段的学生已经具备了一定的分析能力，以及逻辑推理能力，在此之前，他们已经学会了函数的概念，函数的图像和表示方法，对函数性质有了初步的认识，这就为本节课内容的学习奠定了基础，但是对于用数学的语言来描述函数的图像性质关系的理解，学生可能会产生一定的困难。 三、说教学目标 根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维教学目标： (一)知识与技能 理解函数的概念，能对具体函数指出定义域、对应法则、值域，能够正确使用“区间”符号表示某些函数的定义域、值域。 (二)过程与方法 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，进一步理解集合与对应数学思想方法。 (三)情感态度价值观
定积分的概念(教学内容)
授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。
教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ
函数概念说课稿
函数概念说课稿
《函数的概念第一课时》说课稿 各位评委：大家好！ 我说课的内容是湘教版必修一函数的概念。我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择、教学过程设计、板书设计以及教学评价设计六个方面来汇报我对这节课的教学设计。 一、背景分析 1．教材分析 函数是数学中最重要的概念之一，且贯穿在中学数学的始终，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，结合教学大纲与学生的认知水平，函数的第一课应以函数概念的理解为中心进行教学。 2．学情分析 从生源状态分析：学生的基础较差，整体的数学素养是较低的。 从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，通过高一 “集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数提供了知识保证。 从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。 基于教材情况和我校学生的状态，本节课选择“低起点、低坡度、多重复，快反馈” 的教学原则。 二、教学目标分析 【教学目标】 知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函 数符号)(x f 的意义。 过程与方法：在教师设置的问题引导下，学生通过自主学习、小组合作交 流，反馈精讲、当堂训练，经历函数概念的形成过程，渗透 归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力。 情感态度价值观：在学习过程中，学会数学表达和交流，体验获得成
功的乐趣，建立自信心。 [设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。 【教学难重点】 重点：理解函数的概念； 难点：理解函数符号y = f (x)的含义。 [重难点确立的依据]：函数的概念抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在和函数的概念及函数符号的理解与运用上。 从多个角度创设多个问题情境，组织学生围绕重点自主思考，让学生自主、合作探索,体会函数概念的本质从而突破难点。 三、教法与学法选择 采用我校“20+20”教学模式，即是学生自主的时间不少于20分钟，教师讲评时间不超过20分钟，充分尊重学生的主体地位，让学生在教师设置的问题的引导下、通过自主学习、小组合作交流等环节自主构建知识体系，自主发展数学思维，教师采用问题教学法、探究教学法、交流讨论法等多种学习方法，充分调动学生的积极性。 四、教学过程设计 (一)过程设计 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个阶段： 学习目标展示学生自主学习小组合作交流 教师反馈精讲当堂巩固训练
§1.5.3定积分的概念教案
1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=）， 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。 即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？ （后面解决的问题） 练习 计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=?
名师说课-函数的概念说课稿
《函数的概念》说课稿 浙江师范大学教师教育学院孙庆括 邮箱：sunqingkuo126@https://www.360docs.net/doc/8211209490.html, QQ：441435300 各位领导和老师： 大家好！ 我说课的内容是人教版高中数学新教材必修1第一章第二节第一课时函数的概念。我将从教材分析、学情分析、教学过程、板书设计等四个方面汇报我的教学设想。 一、教材分析（5分钟） 教材分析包括教材的编写意图、教学重点与难点、教学目标设计和教法与学法选择。 1、教材的编写意图 “函数”是高中数学的核心概念，函数的思想方法贯通整个高中数学课程，它不仅对所学过的集合作了巩固和发展，而且也是学好指数函数、对数函数、三角函数以及数列等后继知识的基础和工具。下面从纵横两个方面作简要分析： 横向分析：旧教材在导入新课时基本上采用复习回顾初中函数知识导入新课或直接单刀直入给出新知识点，强调数学知识的逻辑性、系统性和连续性，而幼师学生往往初中数学基础薄弱，齐加尼克现象突出，面对枯燥乏味理论的数学知识早已失去兴趣，缺乏学习动力，这种导入将是无效的。新教材注重问题情境的设置，选取了丰富的背景实例和应用实例，从学生熟悉的生活情境或趣味问题导入，最能激发人们的思维活动，唤起学习兴趣和主动的参与意识。 纵向分析：初中时学生都接触了函数，比如一次函数、反比例函数和二次函数，只强调函数是两个变量间的依赖关系，不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域和值域，采用的定义是“变量说”，是一个描述性概念，而对“变量”，“变化”，“对应关系”等涉及函数本质的内容，要求是初步的。高中阶段要建立函数的“对应说”，突出函数概念的核心与本质是“对应关系”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致。不同的是：①表达方式不同，高中用集合与对应语言表达；②明确了定义域和值域；③引入了抽象符号f(x)。 2、教学重点与难点 根据上述分析，教学重点为通过丰富实例，使学生感受和体会在两个集合之间所存在的 对应关系f ，进而用集合和对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。 自然地，本节课的难点主要是抽象符号) (x f y 的理解，尤其对f 的意义的理解。 3、教学目标设计 布鲁姆认为，科学的确立学习目标是教学的首要环节。根据以上分析及学生的认知特点，本节课目标如下： （1）知识与技能：通过实例分析，让学生理解函数概念的本质、构成函数的三要素，
微积分基本定理说课稿
《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：
6.1函数说课稿
第六章一次函数 6.１函数 一、教材分析 1、教材地位及作用 《函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》第一节的内容。函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。本节内容是在七年级知识的基础上，继续通过对变量间的关系的考察，让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。 2、教学目标分析 知识与技能目标 (1)．初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成函数； (2)．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，相应的会求出另一个量的值； (3)．了解函数的三种表示方法。 过程与方法目标 经历从具体实例中抽象概括的过程，进一步发展学生的抽象思维能力，提高把所学知识与现实世界相联系的意识和能力 情感与态度目标 体验数学来源于客观实际的需要，培养学生学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情，在解决问题中体会数学的应用价值，并感受成功的喜悦，建立学习的信心。 教学重点： (1)．掌握函数的概念，以及函数的三种表示方法； (2)．会判断两个变量之间是否是函数关系。 教学难点：对函数概念的理解 二、说教法与学法 教法：在本节课中结合多媒体手段，采用启发式、探究式教学，让学生“尝试发现，探索讨论”。导入新课时，为迅速集中学生注意力，激发学习兴趣，我采用情景导入法；，把握教学重点的过程中在遵循学生认知规律的前提下，我采用引导发现法；突破难点时，我采用
分组讨论、讲练结合法。 学法:在学法上通过三个问题情境，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。让学生通过对三个问题的观察、分析、归纳、总结出函数的概念。 三、说教学过程 第一环节：创设情境、导入新课 展示一些与学生实际生活有关的图片，如行驶的汽车、城市某天气温变化图、旋转的摩天轮，让学生观察，引导发现图片情景中的变量（汽车行驶的路程与时间，气温随时间变化而变化，摩天轮某一座舱的高度随时间变化而变化）。教师设问：这些问题中分别有几个变量，这些变量间存在着怎样的关系呢？ 意图：通过创设丰富的现实情境，来激发学生的学习兴趣和求知欲望，为新课的开展创设良好的教学氛围， 第二环节：展现背景，提供概念的素材 问题 1.你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你能描述一下坐摩天轮的感觉吗？当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有什么规律呢？课本177页图6-1就反映了时间t(分）与摩天轮上一点的高度h（米)之间的关系.你能从此图观察出有几个变化的量吗？当t分别取3，6，10时，相应的h是多少？给定一个t值，你都能找到相应的h值吗？ 问题2.（1）瓶子或罐子盒等圆柱形的物体，常常如课本178页图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 在这个问题中的变量有几个？分别是什么？ 问题3.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米，一般地有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）. （1）公式中有几个变化的量？计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？（2）给定一个v值，你都能求出相应的s值吗？
指数概念的扩充教案
课前预习学案 一． 预习目标 1. 通过自己预习进一步理解分数指数幂的概念 2. 能简单理解分数指数幂的性质及运算 二． 预习内容 １．正整数指数幂：一个非零实数的零次幂的意义是： ． 负整数指数幂的意义 是： ． ２．分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是： ． 正数的负分数指数幂的意义 是： ． ０的正分数指数幂的意义 是： ． ０的负分数指数幂的意义 是： ． ３．有理指数幂的运算性质：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那么 r s a a ?＝ ； ) (a r s ＝ ； ) (ab r ＝ ．
４．根式的运算，可以先把根式化成分数指数幂，然后利用 的运算性质进行运算． 三．提出疑惑 通过自己的预习你还有哪些疑惑请写在下面的横线上 一．学习目标 1.理解分数指数幂的概念 2.掌握有理数指数幂的运算性质，并能初步运用性质进行化简或 求值 学习重点： （1）分数指数幂概念的理解. （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值. 学习难点： （1）分数指数幂概念的理解 （2）有理数指数幂性质的灵活应用. 二．学习过程 探究一 １．若0 a ，且,m n为整数，则下列各式中正确的是（）
A 、m m n n a a a ÷= B 、m n m n a a a =g g C 、()n m m n a a += D 、 01n n a a -÷= ２．c ＜0，下列不等式中正确的是 （ ） A c 2 B c C 2 D 2c c c c c c ．≥．＞．＜．＞()()()1 2 1 2 1 2 ３．若)214 3(x --有意义，则ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比较a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三个数的大小关系是________． 探究二 例１：化简下列各式：（1 ） 2 ； （２）) 332 4 ()3(56 2 11 2 12 3 1b a b a b a -÷--- 例２：求值：（１）已知a x x =+-22（常数）求88x x -+的值；
定积分的概念教案知识讲解
定积分的概念教案
人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 辅助工具投影展台，几何画板． 教学过程 引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单 位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 创设情境，引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一 段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边梯形的面积？ （1）温故知新，铺垫思想 问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？ 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么 要逐次加倍正多边形的边数？ （2）类比迁移，分组探究 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题？ 学生活动：学生进行分组讨论、探究。 （3）汇报比较，形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识，所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法，通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”，和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望，明确解决问题 的方向。
函数的概念说课稿(供参考)
1.2.1 函数的概念说课稿 尊敬的各位评委、老师们： 大家好！ 今天我说课的内容是《函数的概念》，选自人教版高中数学必修一第一章第二节。下面介绍我对本节课的设计和构思，请您多提宝贵意见。 我的说课有以下六个部分： 一、背景分析 1．学习任务分析 本节课是必修1第1章第2节的内容，是函数这一章的起始课，它上承集合，下引性质，与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容联系密切，是学好后继知识的基础和工具，所以本节课在数学教学中的地位和作用是至关重要的。 2．学情分析 学生在初中已经学习了函数的概念，初步具备了学习函数概念的基本能力，但函数的概念从初中的变量学说到高中阶段的对应说很抽象，不易理解。 另外，通过对集合的学习，学生基本适应了有效教学的课堂模式，初步具备了小组合作、自主探究的学习能力。 基于以上的分析，我认为本节课的教学重点为：函数的概念以及构成函数的三要素； 教学难点为：函数概念的形成及理解。 二、教学目标设计
根据《课程标准》对本节课的学习要求，结合本班学生的情况，故而确立本节课的教学目标。 1．知识与技能（方面） 通过丰富的实例，让学生 ①了解函数是非空数集到非空数集的一个对应； ②了解构成函数的三要素； ③理解函数概念的本质； ④理解f(x)与f(a)（a为常数）的区别与联系； ⑤会求一些简单函数的定义域。 2．过程与方法（方面） 在教学过程中，结合生活中的实例，通过师生互动、生生互动培养学生分析推理、归纳总结和表达问题的能力，在函数概念的构建过程中体会类比、归纳、猜想等数学思想方法。 3．情感、态度与价值观（方面） 让学生充分体验函数概念的形成过程，参与函数定义域的求解过程以及函数的求值过程，使学生感受到数学的抽象美与简洁美。 三、课堂结构设计 为充分调动学生的学习积极性，变被动学习为主动愉快的探究，我使用有效教学的课堂模式，课前学生通过结构化预习，完成问题生成单，课中采用师生互动、小组讨论、学生展写、展讲例题，教师点评的方式完成问题解决单，课后完成问题拓展单，课堂结构包含： 复习旧知，引出课题（约2分钟）
3.2.1指数概念的扩充
2 指数扩充及其运算性质 2.1 正整数指数函数 教学目标： 1、知识与技能 ⑴理解分数指数幂和根式的概念； ⑵掌握分数指数幂和根式之间的互化； 2、过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3、情感、态度与价值观 培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；让学生体验数学的简洁美和统一美。 重点难点 ⑴教学重点：分数指数幂和根式概念的理解 ⑵教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 学法指导 讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 教学方法 探究交流 ，讲练结合 教学过程： 一、复习引入： 1．初中时的整数指数幂，运算性质？ ,n n a a a a a =????? ()n N +∈ 01(0)a a =≠ 00无意义 1 n n a a -= (0,)a n N +≠∈ 上一节中关于臭氧含量Q 与时间t 的函数关系0.9975t Q =，只讨论了
自变量是正整数的情况即 ()t N +∈，如果时间t 是半年即12t =，或3年零4个月即10 3 t =，此时 自变量不是一个整数，而是分数，那么此时情况又怎样呢？ 即把整数指数幂扩充到了分数指数幂 二、有理数指数幂 问题1：在正整数指数幂的运算n b a =中，已知正实数a 和正整数n ，如何求b ？ 例如：已知29x =，求x ？容易知道239=，即1 2 3= 已知5 32x =求x ？容易知道5 232=，即15232 = 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数n ，存在唯一的正实数 b ，使得n b a =，我们把b 叫作a 的1 n 次幂，记作1 n b a = 问题2：在n m b a =中，已知正实数a 和正整数m ，n ，如何求b ？ 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n ，存在唯一的正 实数b ，使得n m b a =，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作m n b a = 它就是正分数指数幂 例1：①325b =我们说b 叫作5的23 次幂 ②5425x =呢？③428x =呢？ 例2：把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式。 ①532b = ②453b = ③53n m b π=(,)m n N +∈ 例3：计算 ①13 27 ②324
定积分的概念说课稿
定积分的概念说课稿 华洪涛（河南科技学院） 尊敬的各位评委老师大家好，我是来自河南科技学院的教师华洪涛，我今天说课的题目是“高等数学第五章第一节定积分的概念”。 一、教材分析 1、课程定位：高等数学在理工院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。通过本课程的学习，使学生获得的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识和常用的运算方法，为后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。 2、地位与作用 第五章第一节定积分的概念，是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。这节课上承极限的运算、导数、不定积分，下接定积分的性质、计算，以及定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。正确理解定积分的概念及几何意义有助于进一步讨论定积分的性质与计算方法。 3、教学重点、难点，及学情分析 教学重点：定积分的基本思想方法，定积分概念的形成过程。 教学难点：定积分概念的理解，关键是理解定积分定义的“四步曲”及定积分的几何意义。 学生情况分析：学生已经学习过极限和微分，接受了近似值转化为精确值和以直代曲的数学事实。但是对于概念性知识的理解，特别是将概念性的知识运用于实践还比较欠缺。 二、教学目标 1、知识目标：理解定积分的定义与几何意义，掌握可积性条件，会用定义与几何意义 计算简单函数的定积分。 2、能力目标：逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力，提高学生的抽象思维 能力、探索能力和高等数学语言表达能力。 3、情感目标：引导学生进一步体会“以直代曲”的数学思想，渗透“化整为零零积整” 的辨证唯物观，培养学生勇于探索新知的科学态度，克服畏难心理。 三、教法学法 定积分的概念比较抽象，本节课以学生自主探索和教师的引导相结合的方式。在教学中采用黑板和多媒体相结合，激发学生的学习兴趣，并加深对积分四步曲（大化小、常代变、近似和、取极限）的理解。在教学中由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引出定积分的定义，实际探索方案如下： 教法：引导探究法与讲解法（把曲边梯形面积问题转化为小规则图形面积问题） 1、曲边梯形的面积→若干小曲边梯形的面积→若干小矩形的面积。 2、曲边梯形的面积可近似用若干小矩形的面积和来近似。 3、取和式的极限，引出定积分的定义。 4、对定积分的概念提出四个注意点。 学法：实践法观察法协作法(自主学习分组讨论归纳总结) 5、通过学生分组讨论和归纳总结，得出函数可积的充分条件。 6、请学生用图形直观地揭示定积分的本质。 7、请学生通过定义寻找可积的必要条件。 四、教学过程 根据定积分的概念及知识结构，加上自己对概念的理解，我将整个教学过程分成引导
定积分的概念教案
定积分的概念 教学目标： 知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。 能力目标： 1、理解定积分概念中归纳思维的运用； 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。 素质目标：提升分析与解决问题的能力 教学重点和难点： 教学重点 ：定积分的概念和思想 教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 教学方法： 1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。 教学过程： 一、引入新课 我们已经学过规则平面图形的面积：三角形 四边形 梯形 圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？ 二、讲解新课 实例1曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤： 推 广 为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： O x y y = f (x )
(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的 极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题 解决变速运动的路程的基本思路： 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）取极限 路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念 定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义，任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ
函数的概念说课稿
《函数的概念》说课稿 各位领导和老师： 大家好！ 我说课的内容是人教版高中数学新教材必修1第一章第二节第一课时函数的概念。我将从教材分析、学情分析、教学过程、板书设计等四个方面汇报我的教学设想。 一、教材分析（5分钟） 教材分析包括教材的编写意图、教学重点与难点 、教学目标设计和教法与学法选择。 1、教材的编写意图 “ 函数”是高中数学的核心概念，函数的思想方法贯通整个高中数学课程，它不仅对所学过的集合作了巩固和发展，而且也是学好指数函数、对数函数、三角函数以及数列等后继知识的基础和工具。下面从纵横两个方面作简要分析： 横向分析：旧教材在导入新课时基本上采用复习回顾初中函数知识导入新课或直接单刀直入给出新知识点，强调数学知识的逻辑性、系统性和连续性，而幼师学生往往初中数学基础薄弱，齐加尼克现象突出，面对枯燥乏味理论的数学知识早已失去兴趣，缺乏学习动力，这种导入将是无效的。新教材注重问题情境的设置，选取了丰富的背景实例和应用实例，从学生熟悉的生活情境或趣味问题导入，最能激发人们的思维活动，唤起学习兴趣和主动的参与意识。 纵向分析：初中时学生都接触了函数，比如一次函数、反比例函数和二次函数，只强调函数是两个变量间的依赖关系，不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域和值域，采用的定义是“变量说”，是一个描述性概念，而对“变量”，“变化”，“对应关系”等涉及函数本质的内容，要求是初步的。 高中阶段要建立函数的“对应说”，突出函数概念的核心与本质是“对应关系”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致。不同的是：①表达方式不同，高中用集合与对应语言表达；② 明确了定义域和值域；③引入了抽象符号f(x)。 2、教学重点与难点 根据上述分析，教学重点为通过丰富实例，使学生感受和体会在两个集合之间所存在的对应关系f ，进而用集合和对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。 自然地，本节课的难点主要是抽象符号)(x f y 的理解，尤其对f 的意义的理解。 3、教学目标设计
2019-2020年高中数学 指数概念的扩充教案 北师大版必修1
2019-2020年高中数学指数概念的扩充教案北师大版必修1 一．教学目标： 1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法： 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 教学过程： 一、复习 1.零指数、负整数指数的概念，以及它们之间的关系. 2.浓缩后的3条法则是什么？怎样浓缩好？ 二、新课引入与讲解 在初中已学过，若是大于1的整数，是的整数倍，那么 若不是的整数倍，那么上式中右端的就是一个分数了(引入自然，合理)例如，当＝2，＝3时，，显然不能用正整数指数幂来解释,所以必须对的分数指数幂重新定义，为此规定，
在不是的整数倍时也适用，自然应把看成是根式的另一种记法，对于底为什么要使，须回忆应分几种情况： 1.零指数与负整数的底均不能为零. 2.正分数指数幂，当指数的分子，分母互质时，分母为奇数，底数可以为任意实数；分母为偶数时底数为非负实数. 3.负分数指数幂，当指数的分子与分母互质时，分母为奇数、底数不能为零，分母为偶数，底数为正实数.总之，当正实数为底时，指数可为任意实数. 以上这几点均可举例说明. 关于运算法则仍然成立，可以通过特殊值加以验证，克服心理障碍. 假如，设＝，＝验证第一条 ∵ ， ∴ 成立. 它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后，运算法则仍然有效，同时也能启发学生在解繁杂根式运算时，用幂的运算法则更为简便. 当时， (、∈，且为既约分数)； (、∈且为既约分数). 这样当指数推广到分数指数幂以后
教案《指数扩充及其运算性质》
§2 指数扩充及其运算性质 2.1指数概念的扩充 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的 概念． （2）能够理解引入分数指数概念后m a （0>a ）表示实数． 2、 能力与方法 （1）让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对 于数学知识的发展的重要意义． （2）随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观： 使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点: 理解分数指数幂的概念及表示． 教学难点：分数指数的引入． 三、学法指导：学生思考、探究． 教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程： （一）新课导入 【教学互动】请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果： a n = a 0= （a ≠0） a -n = （a ≠0，n ∈N +） 思考：某养牛场养的某头肉牛现在重量是20kg ，经过一年该肉牛体重可以增长50%， （1）写出该肉牛经过x ()5 这就给我们提出问题：2 123?? ? ??具有实际意义，那么指数是分数时指数幂意义是 什么？ （二）新知探究 1．a 的n 次幂: 一般地，给定正实数a ，对于给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得 n b a =，我们把b 叫做a 的1 n 次幂，记作1 n b a =． 2．分数指数幂: 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的整数n m ，，存在唯一的正实数b ， 使得b n =a m ，我们把b 叫做a 的m n 次幂，记作m n b a =，它就是分数指数幂． 例如：32 b 7=，则23 b 7=；53 x 3=，则35 x 3=等． 注：我们也把m a 写成n m a ，即m a =n m a 定积分在几何中的应用 【教学目标】 1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】 本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆ 探究点一 求不分割型图形的面积 思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S . 因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝?10x d x －?10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13 . 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2 －4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积． 解 由? ???? y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得????? x ＝－3y ＝5或????? x ＝2y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝?2－3(－x ＋2)d x －?2－3(x 2 －4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256 . 探究点二 分割型图形面积的求解 思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？ 例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图． 解方程组??? y ＝2x ， y ＝x －4 得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S ＝S 1＋S 2 ＝?402x d x ＋[]? 842x d x －? 84x －4d x ＝22332x |40＋22332x |84－12 (x －4)2|84 ＝403 .定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计