【经典】2015高考理科数学模拟题

2015高考模拟题 数 学（理工类）

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

注意事项：

必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x

y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 则

M N =（ ）

A ．{|1x x <}

B ．{|1x x >}

C ．{|01x x <<}

D ．?

2．复数131i

Z i

-=

+的实部是 （ ） A ． 2 B ． 1 C ．1- D ．4-

3. 函数 y=log 2(x 2

＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞)

D ．(－3，－1)

4.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，则5a 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5.函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是（ ）

6. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为 2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）

A.0

B.1

C. 2

D. －1

7.已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β?．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥， 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

8.双曲线1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若1C 的一个焦点与抛物线2C ：212y x =的焦点重合，且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43，则双曲线1C 的实轴长为（ ） A ．6 B ．26 C ．3 D ．23

9.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼一15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为（ ）

A. 12 B ．18 C ．24 D.48

10.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2(f x f x +=，当[0,2x ∈时，

23||

2,[0,1),()1(),[1,2),

2

x x x x f x x -?-∈?

=?-∈??若当[4,2)x ∈--时，函数2

1()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为( )

(A)23t ≤≤ (B)13t ≤≤ (C)14t ≤≤ (D)24t ≤≤

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为

.

12．设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ?+=，若()12f =，则

()99________f =

13．设(2x -3)6

=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2

+…+ a 6(x -1)6

，则a 4= . 14．.如图为函数f(x) ＝tan （

4

2

x π

π

-

）的部分图象，点A 为函数f （x ）在y 轴右侧的第一

个零点，点B 在函数f(x)图象上，它的纵坐标为1，直线AB 的倾斜角等于＿＿＿＿．

15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当

(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-

给出以下4个结论：

①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为

三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，

2cos cos b c C

a A

-=。 （1）求角A 的大小；

（2）求函数3sin sin()6

y B C π

=+-

的值域。

17．（本小题满分12分）某品牌汽车4S 店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表示所示： 付款方式 分1期 分2期 分3期

分4期 分5期

频数

40

20

a

10

b

E D

C 1

B 1

A 1

C

B

A

已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y 表示经销一辆汽车的利润。

（1）求上表中,a b 的值；

（2）若以频率作为概率，求事件A ：“购买该品牌的3位顾客中，至多有一位采用分3期付款”的概率()P A ；

（3）求Y 的分布列及数学期望EY 。

18．（本题满分12分）如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D 为侧棱1CC 的中点，E 为11A B 的中点． （1）求证：AB DE ⊥；

（2）求直线11A B 到平面DAB 的距离； （3）求二面角A BD C --的正切值．

19．（本题满分12分）已知函数2()21f x n x x =+-在（0，+∞）上的最小值是n a （n ∈N +））． （1）．求数列｛n a ｝的通项公式．

（2）．证明：

2

2

3

2

2

2

1

1111n

a a a a +

++

+

<

2

1

． （3）．在点列(2,)n n A n a …….中是否存在两点A i ,A j 其中i, j ∈N + ．，使直线A i A j 的斜率为

1，若存在，求出所有数对i, j ．，若不存在，说明理由．

20．（本题满分13分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点分别为12,F F ，且

12||2F F =，点P 在椭圆上，且12PF F ?的周长为6。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 的坐标为(2,1)，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M ，点P 到直线l 的距离为d ，且,,M O P 三点共线。求221213

||1316

AB d +的最大值

21、（本题满分14分）已知函数2

()ln f x x x =+.

（I ）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）在（1）的条件下，若1a >，3()3x

x

h x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；

(Ⅲ)设2

()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点

,(0)m n m n <<，

且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，

求出该切线方程，若不能，请说明理由.

数学参考答案及评分意见（理工类）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

1、【答案】C

【解析】试题分析： 由已知，{|10}{|1}M x x x x =->=<，{|0}N y y =>， 所以，{|01}M

N x x =<<，选C .

考点：集合的运算,函数的定义域、值域. 2、【答案】C

【解析】131i Z i -=

+()()()()

1311211i i i i i --==--+-，所以复数131i

Z i -=

+的实部是1-。 3、【答案】A

【解析】由2

230x x +->得x<-3或x>1，又函数2

23t x x =+-在区间()∞-,-3内单调递

减，所以函数y=log 2(x 2

＋2x －3)的单调递减区间为（－∞，－3）。 4、【答案】A

【解析】在等差数列{}n a 中，因为1315310a a a ++=，所以152010a d +=，所以

5a =2.

5、【答案】A

【解析】试题分析：函数x x y sin =是偶函数，所以，其图象关于y 轴对称，排除D ； 由x π=时，0y =，排除C ； 由 2

x π

=时，2

y π

=

，排除B ；

选A .

考点：函数的奇偶性，函数的图象.

6、【答案】C

【解析】因为23log 31log 2>>，所以

321log 2log 312M ab =+=?+=

7、【答案】B

【解析】试题分析：因为m α⊥，//αβ，所以，m β⊥，又l β?，所以， m l ⊥.①正确；因为m α⊥，αβ⊥，所以m //β或m β?，又l β?，所以//m l 或,m l 相交或

,m l 互为异面直线. ②不正确；因为m α⊥，m l ⊥，所以l α⊥，又l β?，所以αβ⊥，

故③不正确，④正确. 选B .

考点：平行关系，垂直关系. 8、【答案】D

【解析】试题分析：设双曲线1C 的方程为22

221x y a b -=(0,0)a b >>.由已知，抛物线2C 的

焦点为（3,0），准线方程为x=-3，即双曲线中c=3，2

2

9a b +=；将-3代人双曲线方程，

解得29b

y a a

=±

-，又抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43， 所以22943b

a a

?

-=与229a b +=联立得， 22390a a +-=，解得，3a =， 故双曲线1C 的实轴长为23，选D . 考点：抛物线的几何性质，双曲线的几何性质. 9、【答案】C

【解析】把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有22224A A =种方法； 再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有236A =种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：22222324A A A =

10、【答案】B

【解析】试题分析：因为当[4,2)x ∈--时，函数21

()42t f x t ≥-+

恒成立，所以2min

1

()42t f x t ≥-+.又当[4,3)x ∈--时，

21111()(2)(4)[(4)(4)][,0]24416f x f x f x x x =

+=+=+-+∈-；当[3,2)x ∈--时，

3|4|2111112()(2)(4)[()][,]

244248x f x f x f x +-=+=+=-∈--；所以

min 1()4f x =-，即211

442t t -≥-+，

解得13t ≤≤

考点：不等式恒成立，分段函数解析式

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

11、【答案】

4

3

π 【解析】试题分析：所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一

的球的组合体，所以体积为23144

111.433πππ??+??=

考点：三视图 12、【答案】1006

【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ?+=，所以

()()2012

4()2f x f x f x +=

=+，所以函数()f x 的周期为4，所以

()2012

99(3)1006(1)

f f f ==

= 13、【答案】240

【解析】在己知等式中以x+1代x 得：(2x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+ a6x6， ∴a4是(2x-1)6的展开式含x4项系数，()2

24

621240

C ?-=

14、【答案】

4

π

【解析】由tan 0=,244

242x x k x k π

ππππ??-=-=+

???得即，所以A 点的坐标为（2,0）

；由tan 1=,3442424x x k x k π

πππππ??-=-+=+

???

得即，所以B 点的坐标为（3,1）

，所以10132AB k -=

=-，所以直线AB 的倾斜角等于4

π

。 15、【答案】①②③

【解析】试题分析：由题设()y f x =为奇函数，其图象关于原点中心对称，

又对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--，所以其图象还关于点()1,0，据此可判断函数()f x 为周期函数，最小正周期2T =，又当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-，因此可画出函数()f x 的图象大致如下图一所示，函数|()|y f x =的图象如下图二所示，函数

(||)y f x =的图象如下图三所示，

由图象可知①②正确，④不正确； 另外，当()1,0x ∈-时，()22,3x -∈

所以，()()()222log 21log 1f x x x -=--=- 又因为()f x 是以2这周期的奇函数

所以，()()()2f x f x f x -=-=- 所以，()()2log 1f x x -=-

所以，()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-，所以③也正确 故答案应填：①②③

考点： 函数的图象与性质的综合应用 16．解：（1）在ABC ?中，由正弦定理得2sin sin cos sin cos B C C

A A

-=……………2分

即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+

故2sin cos sin()sin B A A C B =+=……………4分

而在ABC ?中，sin 0B ≠，则1cos ,23

A A π

=

∴=……………6分 （2）由（1）知,3A π=则在ABC ?中，23B C π+=，且2

(0,)3

B π∈ (7)

分

3sin sin()3sin sin()3sin cos 2sin()626

y B C B B B B B πππ

=+-=+-=+=+…10分 又

25(0,),(,)3666B B ππππ∈∴+∈，则1

sin()(,1]62

B π+∈……………11分

所以函数的值域为(1,2]……………12分

17．解：（1）0.2,20100

a

a =∴=……………1分 402010100,10a

b b ++++=∴=……………2分

（2）记分期付款的期数为x ，则x 的所有可能取值为1,2,3,4,5

40

(1)0.4,(2)0.2,(3)0.2,(4)0.1,(5)0.1100

P x P x P x P x P x ==

=========

故所求概率312

3()0.80.20.80.896P A C =+??=……………6分

（3）Y 的可能取值为1,1.5,2（万元），……………7分

则(1)(1)0.4P Y P x ====

( 1.5)(2)(3)0.4P Y P x P x ===+==

(2)(4)(5)0.2P Y P x P x ===+==……………10分

Y

1

1.5 2

Y ∴的分布列为：

……………11分

Y 的数学期望10.4 1.50.420.2 1.4EY =?+?+?=（万元）……………12分

18．解：(1)证明:连结C1E,则C1E ⊥A1B1, 又∵A1B1⊥C1C,∴A1B1⊥平面EDC1,∴A1B1⊥DE, 而A1B1//AB,∴AB ⊥DE. ……………3分

(2)取AB 中点为F,连结EF,DF,则EF ⊥AB,∴AB ⊥DF.

过E 作直线EH ⊥DF 于H 点,则EH ⊥平面DAB,∴EH 就是直线A1B1到平面DAB 的距离. 在矩形C1EFC 中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=3,DF=2, ∴在△DEF 中,EH=3,……………7分

故直线A1B1到平面DAB 的距离为 3. (3)过A 作AM ⊥BC 于M 点,则AM ⊥平面CDB,

过M 作MN ⊥BD 于N 点,连结AN,则AN ⊥BD,∴∠ANM 即为所求二面角的平面角, 在Rt △DCB 中,BC=2,DC=1,M 为BC 中点,∴MN=

55

, 在Rt △AMN 中,tan ∠ANM=AM

MN

=15……………12分

19解：（1）．由f (x)=2n 2

1x +－x ，得()f x ' =1

122

-+x

nx

……………1分．

令()f x ' =0，得x=

141

2-n ……………………2分．

当x ∈(0 ,

141

2-n )．时，()f x ' <0．当x ∈ (141

2-n ,+∞)时，()f x ' >0．

∴f (x )在0，+∞．上有极小值f (

141

2-n ) =142-n ．

∴数列｛an ｝的通项公式an=142

-n …………………………………5分．

（2）．∵

1

411

2

2

-=

n a n

?

?? ??+--=

12112121n n ………………………6分．．

P

0.4 0.4 0.2

∴2

2

3

2

2

2

11111n

a a a a +

++

+

=????????? ??+--++??? ??-+??? ?

?-121121

513131121n n 21

121121<

??? ??+-=

n ………………8分．

（3）．依题意，设Ai2i , ai ．，Aj2j , aj ．其中i, j ∈N+ ．是点列中的任意两点，则经过这

两点的直线的斜率是：k=()

()j i j i j i a a j

i ----=

--21

414222

()

()(

)1

41424222

2-+---=

j i j i j i ……………………9分．

()

()>

-+-+=

1

414222

j i

j i ()

()

22

442j i

j i ++=1……………………11分．

∴不存在这样的点列，使直线AiAj 的斜率为1……………………12分．．

20．解：（1）由已知得22c =，且226a c +=，解得2,1a c ==，又2

2

2

3b a c =-=

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=……………………3分 （2）当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆的对称性可知： 点M 在x 轴上，且原点O 不重合，显然,,M O P 三点不共线，不符合题设条件。

所以可设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，

由2

2

3412

y kx m x y =+??

+=?消去y 并整理得：

222(43)84120k x kmx m +++-=……………① 6分

则2222

644(43)(412)0k m k m ?=-+->，即2

2

430k m -+>，设

1122(,),(,)A x y B x y ，

且2121222

8412

,4343

km m x x x x k k -+=-=++，则点2243(,)4343km m M k k -++，

因为,,M O P 三点共线，则OM OP k k =，即

22324343

m km k k -=++，而0m ≠，所以

3

2

k =-……………9分

此时方程①为2

2

3330x mx m -+-=，且22

12123

120,,3

m m x x m x x -->+==

所以222

2121213

||(1)[()4](12)12

AB k x x x x m =++-=-

又22

|82|2|4|

13

32m m d --=

=

+

所以2222

21213(4)3452||(12)()13164433

m AB d m m -+=-+=-++

故当4(23,0)3m =-

∈-时，221213||1316AB d +的最大值为52

3

……………………13分

21、解：（Ⅰ）2

1

()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x '=-=+-=

+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1

(2)a x x

≤+…… 2分

又10,222x x x >+≥，当且仅当2

2

x =时等号成立.

故min 1

(2)22x x

+=，所以22a ≤. ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12 2.a <≤令x e t =，则[1,2]t ∈，则3

()()3.h x H t t at ==-

2()333()().H t t a t a t a '=-=-+……5分

由()0H t '=，得t a =

或t a =-（舍去）

，3

4

(1,22],[1,2]a a ∈∴∈， ①若1t a <≤，则()0,()H t H t '<单调递减；()h x 在(0,ln ]a 也单调递减； ②若2a t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在[ln ,ln 2]a 也单调递增； 故()h x 的极小值为(ln )2h a a a =- ……8分

（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--

结合题意，有22

000

2ln 0,

2ln 0,2,220,

m m km n n kn m n x x k x ?--=?--=??

+=??

?--=?? ……10分

①—②得2l n ()()().m

m n

m n k m n n

-+-=-，所以02l n

2.m n k x m n

=--由④得00

2

2.k x x =

- ① ② ③④

所以2(

1)

2()ln .1m m m n n m n m n n

--==++⑤ ……11分

设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)

ln 0((0,1)).1u u u u --

=∈+

设2(1)

ln ((0,1))1

u y u u u -=-

∈+， 22

222

12(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)

u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)

ln 1

u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，即

2(1)l n 0.

1

u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n

-<+，此式与⑤矛盾.

所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分