2013年福建省高考理科数学试卷及答案(word解析版)
2013年福建省高考数学试卷及解析(理工农医类)
一.选择题
1.已知复数z 的共轭复数12z i =+(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于( ) A . 第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】D
【解析】z 的共轭复数12z i =+,则12z i =-,对应点的坐标为(1,2)-,故答案为D . 2.已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ?”的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】3,a A B =??2A B a ??=,或3.因此是充分不必要条件.
3.双曲线2
214
x y -=的顶点到其渐近线的距离等于( ) A .
25 B .45 C
D
【答案】C
【解析】 22
14x y -=的顶点坐标为(2,0)±,渐近线为2204
x y -=,即20x y ±=.带入
点到直线距离公式d =
=
. 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( ) A .588 B .480 C .450 D .
120
【答案】B
【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和,由图知道
(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=
故分数在60以上的人数为600*0.8=480人.
5.满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为( )
A .14
B .13
C .12
D .10 【答案】B
【解析】方程220ax x b ++=有实数解,分析讨论
①当0a =时,很显然为垂直于x 轴的直线方程,有解.此时b 可以取4个值.故有4种有序数对
②当0a ≠时,需要440ab ?=-≥,即1ab ≤.显然有3个实数对不满足题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).
(,)a b 共有4*4=16中实数对,故答案应为16-3=13.
6.阅读如图所示的程序框图,若输入的10k =,则该算法的功能是( )
A .计算数列{}
12n -的前10项和 B .计算数列{}1
2n -的前9项和
C .计算数列{}21n -的前10项和
D .计算数列{
}
21n
-的前9项和
【答案】C
【解析】第一循环:1,2S i ==,10i <第二条:3,3,10S i i ==<第三条:7,4,10S i i ==<
…..第九循环:9
21,10,10S i i =-==.第十循环:10
21,11,10S i i =-=>,输出S .
根据选项,101(12)12
S -=-,故为数列1
2n -的前10项和.故答案A .
7.在四边形ABCD 中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为( )
A B . C .5 D .10
【答案】C
【解析】由题意,容易得到AC BD ⊥.设对角线交于O 点,则四边形面积等于四个三角
形面积之和 即S=
11
(****)(*)22
AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=.容易算
出AC BD ==,则算出S=5.故答案C
8.设函数()f x 的定义域为R ,00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,以下结论一定正确的是( )
A .0,()()x R f x f x ?∈≤
B .0x -是()f x -的极小值点
C .0x -是()f x -的极小值点
D .0x -是()f x --的极小值点 【答案】D
【解析】A .0,()()x R f x f x ?∈≤,错误.00(0)x x ≠是()f x 的极大值点,并不是最大值点.
B .0x -是()f x -的极小值点.错误.()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像,故0x -应是()f x -的极大值点
C .0x -是()f x -的极小值点.错误.()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像,故0x 应是
()f x -的极小值点.跟0x -没有关系.
D .0x -是()f x --的极小值点.正确.()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象,再关于x 轴的对称图像.故D 正确
9.已知等比数列{}n a 的公比为q ,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++
*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=???∈则以下结论一定正确的是( )
A .数列{}n b 为等差数列,公差为m
q B .数列{}n b 为等比数列,公比为2m
q C .数列{}n c 为等比数列,公比为2m q D .数列{}n c 为等比数列,公比为m
m q
【答案】C
【解析】等比数列{}n a 的公比为q,
同理可得
22
22222,m m m m
m m m a a a a a a ++++=?=?112...m c a a a =???,212...,
m m m m c a a a +++=???321222...,m m m m c a a a +++=???2213c c c ∴=?∴数列{}n c 为等比数列,
2221212211212............m m m m m m m m m m
a a a a a a q c q q c a a a a a a +++???????====??????故选C
10.设S ,T ,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:
(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两
个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )
A .*,A N
B N == B .{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或
C .{|01},A x x B R =<<=
D .,A Z B Q == 【答案】D
【解析】根据题意可知,令()1f x x =-,则A 选项正确;
令5
5(13)
()22
8
(1)x x f x x ?+-<≤?=??-=-?,则B 选项正确; 令1()tan ()2
f x x π=-,则C 选项正确;故答案为D .
二.填空题
11.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】
23
【解析】13103
a a ->∴>
a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈1
12
313
p -
∴==
12.已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如
图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是
_______________
【答案】12π
【解析】由图可知,图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体
,
24122
R S R ππ∴====球表
13.如图ABC ?中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC
,sin 33
BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________
【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=
∴根据余弦定理可得222
cos 2AB AD BD BAD AB AD
+-∠=
?
BD ==
14.椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c ,若直线
)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于
__________
1
【解析】由直线方程)y x c +?直线与x 轴的夹角1223
3
MF F π
π
∠=
或
,且过点
1-F (c,0)1221
2MF F MF F ∠=∠∴
122123
MF F MF F π
∠=∠=
即
12F M F M ⊥12RT F MF ∴?在中,121
22,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可
得21
c a c a =∴
== 15.当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n
x x x x
+++++=
- 两边同时积分得:
111112
222220
00
1
1.......1n
dx xdx x dx x dx dx x
+++++=-?
????
从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212
n n +?
+?+?++?+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:
122311111111()()...()_____2223212
n
n n n n n n C C C C +?+?+?++?=+ 【答案】
113
[()1]12
n n +-+
【解析】由01221......(1)n n
n n n n n C C x C x C x x +++++=+
两边同时积分得:
1
11112
222220
00
1......(1).n
n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+?
????
从而得到如下等式:
122311*********()()...()[()1]222321212
n n n n n n n n n C C C C ++?+?+?++?=-++ 三.解答题 16.(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方
案甲的中奖率为
23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为2
5
,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后
凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;
(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
本小题主要考查古典概型.离散型随机变量的分布列.数学期望等基础知识,考查数据处理能力.运算求解能
力.应用意识,考查必然和或然思想,满分13分. 解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为
23,小红中奖的概率为2
5
,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ,则A 事件的对立事件为“5=X ”,
224(5)3515
==
?=P X ,11
()1(5)15∴=-==P A P X
∴这两人的累计得分3≤X 的概率为
11
15
. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为
2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分
的数学期望为2(3)E X
由已知:12
~(2,)3X B ,22~(2,)5
X B
124()233∴=?
=E X ,224()255
=?=E X
118(2)2()3∴==E X E X ,2212
(3)3()5
==E X E X
12(2)(3)>E X E X
∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
17.(本小题满分13分)已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ (1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值.
本小题主要考查函数.函数的导数.不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方
程思想.分类与整合思想,数形结合思想.化归与转化思想.满分13分. 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-
a f x x
. (Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2
()1(0)'=-
>f x x x
, (1)1,(1)1'∴==-f f ,
()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,
即20+-=x y .
(Ⅱ)由()1,0-'=-
=>a x a
f x x x x
可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;
(0,)∈x a 时,()0'
()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.
综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值
当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值.
18.(本小题满分13分)如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),
点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和
129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*
(,19)i P i N i ∈≤≤. (1)求证:点*
(,19)i
P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程; (2)过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ?与OCN ?的面积比为
4:1,求直线l 的方程.
本小题主要考查抛物线的性质.直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.推理论证能力,考查化归与转化思想,数形结合思想.函数与方程思想.满分13分.
解:(Ⅰ)依题意,过*
(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i
(10,)i B i ,∴直线i OB 的方程为10
=
i
y x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=??
?=??
x i
i
y x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为2
10=x y
(Ⅱ)依题意:直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为10=+y kx
由2
1010=+??
=?y kx x y
得2
101000--=x kx 此时2
100+4000?=>k ,直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100
+=??
?=-?x x k
x x
4??=OCM OCN S S ∴124=x x
又
120? 分别带入2 10 10=+?? =?y kx x y ,解得32=±k 直线l 的方程为3 +102 =± y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19.(本小题满分13分)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA ABCD ⊥底面, //AB DC ,11AA =,3AB k =,4AD k =,5BC k =,6DC k =(0)k >. (1)求证:11;CD ADD A ⊥平面 (2)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为 6 7 ,求k 的值; (3)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱 柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为()f k ,写出()f k 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由) 本小题主要考查直线与直线.直线与平面的位置关系.柱体的概念及表面积等基础知识,考查空间想象能力.推理论证能力.运算求解能力,考查数形结合思想.分类与整合思想.化归与转化思想,满分13分. 解:(Ⅰ)取CD 中点E ,连接BE //AB DE Q ,3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k == 在BCE V 中,4,3,5BE k CE k BC k ===Q 222BE CE BC ∴+= 90BEC ∴∠=?,即BE CD ⊥,又//BE AD Q ,所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ,CD ?平面ABCD 1AA CD ∴⊥,又1AA AD A =I , CD ∴⊥平面11ADD A (Ⅱ)以D 为原点,1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐 标系(4,0,0)A k ,(0,6,0)C k ,1(4,3,1)B k k ,1(4,0,1)A k 所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ,1(0,3,1)AB k =u u u r ,1(0,0,1 )AA =u u u r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =,则由10 AC n AB n ??=???=??uuu r uuu r 得460 30kx ky ky z -+=?? +=? 取2y =,得(3,2,6)n k =- 设1AA 与平面1AB C 所成角为θ,则111,sin |cos ,|||||AA n AA n AA n θ=??=?uuu r uuu r uuu r 6 7 = = ,解得1k =.故所求k 的值为1 (Ⅲ)共有4种不同的方案 2 257226,018 ()53636,18k k k f k k k k ?+<≤??=??+>?? 20.(本小题满分14分)已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π,图像 的一个对称中心为( ,0)4 π ,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵 坐标不变),在将所得图像向右平移2 π 个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0( ,)64 x ππ ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数; 若不存在,说明理由. (3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点. 本小题主要考查同角三角函数的基本关系.三角恒等变换.三角函数的图像与性质.函数.函数的导数.函数的零点.不等式等基础知识,考查运算求解能力.抽象概括能力,考查函数与方程思想,数形结合思想,分类与整合思想.化归与转化思想,满分14分. 解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π,0ω>,得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4 π ,(0,)?π∈ 故()sin(2)04 4 f ππ ?=? +=,得2 π ?= ,所以()cos 2f x x = 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图 象,再将cos y x =的图象向右平移 2 π 个单位长度后得到函数()sin g x x = (Ⅱ)当( ,)64x ππ ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >> 问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ 内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64 x ππ ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为( ,)64x ππ ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ 内单调递增 又1()06 4G π =- <,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64 ππ 内存在唯一零点0x , 即存在唯一的0( ,)64 x ππ ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+= 当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x =- ,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况 22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0 h x '=,得2x π=或32x π = 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表 当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞ 故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性, 20133671=?,所以67121342n =?= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21.(本题满分14分) (1)(本小题满分7分)矩阵与变换 已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ??=?? ?? 对应的变换作用下变为直线':1l x by +=. (1)求实数,a b 的值; (2)若点00(,)p x y 在直线l 上,且0000x x A y y ???? = ? ????? ,求点p 的坐标. 本小题主要考查矩阵.矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力.考查化归与转化思想.满分7分. 解:解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是 (,)M x y ''' 由12201x x x y y y y '+???????? == ? ??? ? '???????? ,得2x x y y y '=+??'=? 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++= 依题意121a b =?? +=?,解得1 1 a b =??=-? (Ⅱ)由0000x x A y y ????= ? ? ????,得000 00 2x x y y y =+??=?解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上,所以01x = 故点P 的坐标为(1,0) (2)(本小题满分7分)坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的 极坐标为)4π,直线l 的极坐标方程为cos()4 a π ρθ-=,且点A 在直线l 上. (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程; (2)圆c 的参数方程为1cos sin x y α α =+?? =?,(α为参数),试判断直线l 与圆的位置关系. 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化.圆的参数方程等基础知识.考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分. 解:(Ⅰ )由点)4 A π 在直线cos()4a π ρθ-= 上,可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-= (Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为2 2 (1)1x y -+= 所以圆心为(1,0),半径1r = 以为圆心到直线的距离12 d = <,所以直线与圆相交 (3)(本小题满分7分)不等式选讲 设不等式* 2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,1 2 A ?. (1)求a 的值; (2)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分 7分. 解:(Ⅰ)因为 32A ∈,且12A ?,所以322a -<,且1 22 a -≥ 解得 13 22 a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--= 当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3