伯特兰-切比雪夫定理
n<128时，一一验证即可
第二章 基本原理和定理
第2章基本原理和定理 2.1亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理：任一个矢量场由其散度、旋度以及边界条件所确定，都可以表示为一个标量函数的梯度与一个矢量函数的旋度之和。 定理指出，由于闭合面S 保卫的体积V 中任一点R 处的矢量场Fr 可分为用一标量函数的梯度小时的无旋场和用另一个适量函数的旋度表示的无散场两部分，即为 F A Φ=-?+?? 而式中的变量函数和适量函数分别于体积V 中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面S 上矢量场的法向分量和切向分量。 1()1()d d 44V S V Φπ π''''???''= -''--??F r n F r S r r r r 1()1()d d 44V S V π π''''???''= -''--??F r n F r A S r r r r 2.2唯一性定理 惟一性定理：给定区域V 内的源（ρ、J ）分布的和场的初始条件以及区域V 的边界 S 上场的边界条件，则区域V 内的场分布是惟一的。 场、源；范围 —— 时间间隔、空间区域； 条件 —— 初始条件、边界条件。 有惟一解的条件： （1）区域内源分布是确定的（有源或无源），与区域外的 源分布无关； （2）初始时刻区域内的场分布是确定的； （3）边界面上或是确定的。
重要意义： （1）指出了获得惟一解所需给定的条件； （2）为各种求解场分布的方法提供了理论依据。 2.3镜像原理 镜像原理：等效源（镜像源）替代边界面的影响边值问题转换为无界空间问题；理论基础：惟一性定理 2.4等效原理 等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理。考察某一有界区域，如果该去云内的源分布不变，而在该区域之外有不同分布的源，只要在该区域的边界上同时满足同样的边界条件，根据唯一性定理，就可以在该规定区域内产生同样的场分布。也就是说，在该区域外的这两种源的另一种源是另一种源的等效源。 基本思想：等效源替代真实源； 理论基础：惟一性定理。 1. 拉芙（Love）等效原理 将区域V1内的源和用分界面S上的等效源和来替代，且将区域V1内的场设为零，则区域V2内的场不会改变。 2Schelknoff 等效原理 （1）电壁＋磁流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则 J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2m S （2）磁壁＋电流源 在紧贴分界面S的内侧设置电壁，则m J不产生辐射场，区域内V2 的场由 S J产生。 2 S
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
浅谈几个著名的大数定律及应用
2010.No34 4 摘 要 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，是随机现象统计规律性的具体表现，本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用。 关键词 大数定律 随机变量 数学期望 概率 1 引言 “大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们就会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一。偶然中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近．人们在实践中观察其他一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关，且不再是随机的深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么?在什么条件下具有稳定性?这就是大数要研究的问题。 2 几个大数定律 在介绍大数定律之前，先介绍几个相关定义。 定义1[1]设ξn (n=1,2,……)为概率空间(Ω,F,P)上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变数ξ，使对任意ε>0，恒有： 则称随机序列 依概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数），并用下面的符号表示： 定义2[2]设 为一随机序列，数学期望E（ξn ）存在，令 ，若 ，则称随机序列 服从大数定律，或者说大数法则成立。 切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对于任意正数ε，不等式 都成立。不等式(1)和(2)称为切比雪夫不等式。切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，只利用J的数学期望和方差即可对J的概率分布进行估值的方法，这就是切比雪夫不等式的重要性所在。 大数定律形式很多，我们仅介绍几种最常用的大数定律。定理1[1] （切比雪夫大数定律） 设随机变量ξ1,ξ2,…ξn 相互独立，它们的数学期望依次为a 1,a 2,…a n 方差依次为σ12,σ22,…σn 2而且存在正常数k，使得对一切i=1，2，…，有σi 2 综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。 第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1 2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即 青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日 青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日 中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量 Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面， 中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。 综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C- 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 基础回顾 （一）法拉弟电磁感应定律 1、内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比 E ＝n ΔΦ/Δt （普适公式） 当导体切割磁感线运动时，其感应电动势计算公式为E ＝BLVsin α 2、E ＝n ΔΦ/Δt 与E ＝BLVsin α的选用 ①E ＝n ΔΦ/Δt 计算的是Δt 时间内的平均电动势，一般有两种特殊求法 ΔΦ/Δt=B ΔS/Δt 即B 不变 ΔΦ/Δt=S ΔB/Δt 即S 不变 ② E ＝BLVsin α可计算平均动势，也可计算瞬时电动势。 ③直导线在磁场中转动时，导体上各点速度不一样，可用 V 平=ω（R 1+R 2）/2代入也可用E ＝n ΔΦ/Δt 间接求得出 E ＝BL 2 ω/2（L 为导体长度， ω为角速度。） （二）电磁感应的综合问题 一般思路：先电后力即：先作“源”的分析--------找出电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E 和r 。再进行“路”的分析-------分析电路结构，弄清串、并联关系，求出相应部分的电流大小，以便安培力的求解。然后进行“力”的分析--------要分析力学研究对象（ 如金属杆、导体线圈等）的受力情况尤其注意其所受的安培力。按着进行“运动”状态的分析---------根据力和运动的关系，判断出正确的运动模型。最后是“能量”的分析-------寻找电磁感应过程和力学研究对象的运动过程中能量转化和守恒的关系。 【常见题型分析】 题型一 楞次定律、右手定则的简单应用 例题（2006、广东）如图所示，用一根长为L 、质量不计的细杆与一个上弧长为L 0 、下弧长为d 0 的金属线框的中点连接并悬挂于o 点，悬点正下方存在一个弧长为2 L 0、下弧长为2 d 0、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且d 0 远小于L 先将线框拉开到图示位置，松手后让线框进入磁场，忽略空气阻力和摩擦，下列说法中正确的是 A 、金属线框进入磁场时感应电流的方向为a →b →c →d → B 、金属线框离开磁场时感应电流的方向a →d →c →b → C 、金属线框d c 边进入磁场与ab 边离开磁场的速度大小总是相等 D 、金属线框最终将在磁场内做简谐运动。 题型二 法拉第电磁感应定律的简单应用 例题（2000、上海卷）如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在坚直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动，此时abcd 构成一个边长为Ｌ的正方形，棒的电阻力为r ，其余部分电阻不计，开始时磁感强度为B 。 （1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为K ，同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向。 （2）在（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t 1 秒未时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ （3）若从t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以速度v 向右做匀速运动时，若使棒中不产生感应电流，则磁感强度怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？ d a c B 0 e b f 中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则 综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。 ∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 一．简答题（40分） 1.传感器的基本概念及基本功能？ 传感器就是借助于检测元件（敏感元件）接受一定形式的信息，并按一定的规律将它转换成另一种信息的装置。它获取的信息，可以是各种物理量、化学量和生物量，而转化后的信息也有各种形式。目前，将传感器接收到的信息转化为电信号是最常用的一种形式（电信号包括电压，电流及频率信号） 基本功能：信息收集，信号数据的转换 2.传感器的基本组成并说出每部分的功能？ 传感器通常是由敏感元件，转换元件和调节转换电路三部分组成 其中敏感元件是指传感器中能够直接感受或响应被测量的部分；转换元件是指传感器中能够将敏感元件感受或响应的被测量转换成电信号的部分；调节转换电路是指将非适合电量进一步转换成适合电量的部分。 3.传感器的发展趋势？ 1新特性（努力实现传感器的新特性） 2可靠性（确保传感器的可靠性，延长其使用寿命） 3集成智能（体感传感器的集成化和智能化程度） 4微型（传感器微型化） 5仿生（发展仿生物传感器） 6新材料（新型功能材料开发） 7多融合（多传感器信息融合） 4.按被测量的不同传感器可以分为哪几类？ 1按感知外界信息基本效应不同分为物理传感器，化学传感器，和生物传感器等 2按被测量不同分为力学量/热量/液体成分/气体成分/真空/光/磁/离子/放射线传感器等 2按敏感材料不同分为金属/半导体/光纤/陶瓷/高分子材料/复合材料传感器等 3按工作原理不同分为应变式/电感式/电容式/压电式/磁电式/光电式/热电式/气敏/湿敏传感器等 5.传感器的特性及其概念？ 6.传感器的静态特性包括那几个重要指标？ 传感器的特性是指传感器的输入量和输出量之间的对应关系。通常分为 静态特性：输入不随时间变化而变化的特性（重要指标包括线性度、灵敏度、重复性、迟滞、零点漂移、温度漂移等） 动态特性：输入随时间变化而变化的特性（可从时域和频率方面即对应阶跃响应法和频率响应法方面分析） 7..电感式传感器的概念及每类传感器的基本概念？ 1应变式传感器：基于电阻应变片的应变效应（对半导体应变片而言为压阻效应）。 2电感式传感器：基于电磁感应原理，利用磁路磁阻变化引起传感器线圈的电感（自感系数或互感系数）变化来检测非电量的一种机电转换装置。常见有自感式，互感式，涡流式等。 3电容式传感器：可以把某些非电量的变化通过一个可变电容器转换成电容量变化的装置。常见有变极距型，变面积型，变介质型。 4压电式传感器：基于压电材料受力作用而变形时，其表面会有电荷产生，从而实现非电量测量原理。压电式传感器是典型的有源传感器，常见有单向力，双向力，三向力。 5磁电式传感器：利用电磁感应原理将运动速度转换成感应电动势输出的传感器。又称感应式或电动式 综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。 板块一 综合除法、多项式除法 记号()f x 关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-． 这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =?+-=，同样地，有 ()2020033f =?+-=-；()()()2 121132f -=?-+--=-等等． 用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等． 综合除法 在学习多项式除法时，我们有带余除法： ()()()()f x g x q x r x =?+ （1） 其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数． 如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有 ()()()f x x a q x r =-?+ （2） 当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算 2231 23573672 5 x x x x x x x x -++-+---- 所以，商式为31x -，余数为5-． 从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示． 3 5 72 6 2 3 1 5 +----- 商式为31x -，余数为5-． 这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下： ⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开． 例题精讲 综合除法和余数定理 题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。 关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，综合除法与余数定理
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