数学分析2016-2017第一学期 期中考试卷及答案
上海师范大学标准试卷
2016~ 2017 学年 第一学期 考试日期 2016年 11月 10 日
（考试时间：120分钟）
科目：数学分析 （期中卷）
专业 本、专科 年级 班 姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分
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得得分
一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''2510?=)
1. ()f x 定义在区间I 上，若00,0,εδ?>?> 当|'-''| 0|(')('')|f x f x ε-≥, 则()f x 在I 不一致连续. (× ) 2. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞ =，若1n x ?? ???? 为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量. ( √ ) 3. 单调递增数列必收敛. ( × ) 4. 若()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上必一致连续. ( × ) 5. 若00,0,εδ?>?> 总可找到00',''(,),x x U x δ∈使得0|(')('')|f x f x ε-≥, 则 lim ()x x f x →不存在. ( √ ) 得得分 二．叙述题''(2510)?= 1. lim n n a A →∞ ≠的“N ε-”定义. 答：lim n n a A →∞ ≠?00ε?>,N ?,0n N ?>有0n a A ε-≥. 2. 叙述集合S 下确界的定义. 设S 是R 中的一个数集，若数η满足以下两条： （1） 对一切x S ∈ 有x η≥，即η是数集S 的上界； （2） 对任何0ε>，存在0x S ∈使得x ηε<+（即η是S 的最大下界） 则称数η为数集S 的上确界. 得得分 三．用定义证明（本大题满分12', 每小题6'） 1. 证明 lim 1.n n n →∞ = 证明: 设2(n 1)2 21,(11 )n n n n h h h h n n -≥ ?=≤ =+--, 对2 2 0,[1]N εε?>?=+, 当n N >时, |1|2 1 n n n ε≤ --<. 所以lim 1,n n n →∞ = 2. ?? ==- =???? 设求证11,1,2,,S x x n n =sup 1S . 证明：?∈=- ≤1,11;x S x n αα≤=-∈>若，则取001 01,.2 x S x αεα>=->?若则令由阿基米德性00,10,,, n εεα<=-∈>-=使得 令则0000 11 .1,1.x S x n n =因此，sup 1.S 得得分 四．计算题（本大题满分40', 每小题5'） 1. 求3 12 lim 3 x x x →+-- 解: 3 12lim 3x x x →+--=331411 lim lim 4 (3)1212x x x x x x →→+-==-++++. 2. 求lim(2320)n n n n n →∞ +++ 解: 2023202020n n n n n n n n +++?≤≤ lim 20n n n →∞ =20, lim n →∞ 2020n n ?=20, lim(2320)20n n n n n →∞ ∴+++= . 3. 2 1lim(cos )x x x →∞ 解：2211 lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x →∞→∞=+- 222 111 lim () lim (cos 1)22 x x x x x x e e e →∞ →∞- -- === 4. 求11 lim +-∞→n n n x x )0(>x 解：1 011lim 011 11 n n n x x x x x →∞-< ==?+?>? 5. 320()() (),lim 2,lim 1,().x x p x x p x p x p x x x →∞→-==设是多项式且求 解:3 2()lim 2,x p x x x →∞-= 32()2(,) p x x x ax b a b ∴=+++可设其中为待定系数0 () lim 1,x p x x →= 又32()2~(0)p x x x ax b x x ∴=+++→,0, 1.b a ==从而得32()2p x x x x =++故 6. 讨论函数()() 21 1x e f x x x -=-的间断点类型. 解:()()20012lim lim 211x x x e x x x x x →→-==---, () 211 lim 1x x e x x →-=∞-, ()0x f x =为的可取间断点, ()1x f x =为的第二类无穷间断点. 7. 设10,10<<< n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim . 解 由等比数列求和公式有 21211111lim lim .1111n n n n n n a a a b a b b b b a b a ++→∞→∞++++---=?=++++--- 8. 02 (1cosx) lim (1e )sin x x x x →--. 解：2 22001(1cosx)12lim lim (1e )sin 2 x x x x x x x x x →→-==--??- 得得分 五. 证明题（本大题满分28', 每小题7'） 1. 叙述函数()x f 在区间I 上的一致连续性定义,并证明函数x y sin =在()+∞∞-,上一致 连续. 解:若对0,0>?>?δε,使得对任何δ<-∈2121,,x x I x x ,就有 ()()ε<-21x f x f 则称函数()x f 在区间I 上一致连续. 对0>?ε,取εδ=使得对任何()δ<-+∞∞-∈2121,,,x x x x 只要,就有 ε<-≤-2121sin sin x x x x 所以函数x y sin =在()+∞∞-,上一致连续. 2. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限. 证 由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则 21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所 以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞ →lim ,对n n x x += +61两 边取极限得0662=--?+= a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞ →n n x . 3. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈?,使得()00x x f =. 证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续, ()()()()()()0<-?-=?b b f a a f b F a F . 由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈?,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈?使得()00x x f =. 4. 设()x f 定义在区间(,)-∞+∞上，且对任意实数,()()()x y f x y f x f y +=+有，若 ()x f 在0x =连续，证明()x f 对一切x 都连续. 证明: 对(,)x ?-∞+∞∈ lim ()x f x x ?→+?0 lim[()()]x f x f x ?→=+?()(0)f x f =+(0)f x =+()f x =.