三角函数概念

角的概念、定义

一、知识清单

1. 终边相同的角

①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）: {}Z k k ∈+?=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,180| ββ;

③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ;

④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ.

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π

1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.

3.弧度制下的公式 扇形弧长公式r = α，扇形面积公式211||22S R R α=

= ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。 4.三角函数定义:

利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y

（与原点不重合），记||r OP ==，

则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y

α=。 注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.

⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即2

k παα±→或902k αα±→ 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=

cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.

⑶重视用定义解题.

⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆

;;MP OM AT

正弦线:余弦线:正切线:

5. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦

正弦 余弦 正切

典型例题

例1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：

（1）600； （2）-210； （3）363014

， 变式1、α的终边与6

π的终边关于直线x y =对称，则α＝ 。 例2、三角函数线问题 若08π

θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为 .

变式1、若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为

变式2、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是

例3、.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为

变式1、已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，则扇形的面积 。

变式2．某扇形的面积为12

cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数

变式3．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为

变式4．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为

变式5．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 例4、 已知α为第三象限角,则

2

α所在的象限是 象限 变式1、若α是第二象限角，则2

α是 象限角。 变式2、若α角的终边落在第三或第四象限，则2α的终边落在 象限 例5、已知角α的终边经过P(4,-3),则2sin α+cos α= .

变式1、（08北京模拟）α是第四象限角，5tan 12

α=-

，则sin α= ． 变式2、已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin += 。

变式3、设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的取值范围是

例6.若θ是第三象限角,且cos cos 22θ

θ

=-,则2

θ是 象限角 变式1、（08江西）在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点在 象限 例7、若cos 0,θ>sin20,θ<且θ则角的终边所在象限是 象限

变式1、（07北京文理1）已知cos tan 0θθ<，那么角θ是 象限角 变式2．（08全国Ⅱ1）若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 象限角 实战训练

1、（07全国1文2）α是第四象限角，12cos 13α=

，则sin α= 2、（07全国2 理1）sin2100 =

3、（07全国2文1）cos330=

4、（07湖北文1）tan690°的值为

5、(07浙江文2)已知cos 22

π???+= ???，且2π?<，则tan ?＝ 6、（08江苏模拟）已知40,cos 25x x π

<<

=，则tan x = ． 7、sin 930 的值是

8、角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－

54，则m 的值是 9、已知sin θ=a

a +-11，cos θ=a a +-113，若θ是第二象限角，则实数a ∈ 10、已知α是第二象限的角

（1） 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围；

（2） 若

2παβπ<<<,求α－β的范围.

11、已知())(5

cos N n n n f ∈=π，求(1)(2)(2009)f f f +++ 的值。