必修5第三章《一元二次不等式及其解法》
学科教师辅导讲义
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学员编号： 年 级： 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题
授课日期及时段
一元二次不等式及其解法
教学目的
1、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；
2、培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
教学内容
一、课前检测
1．已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小. 答案： (x 2+1)2＞x 4+x 2+1.
2.比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2
b a +与b a 112+ (a ＞0,b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.
答案：（1）2
112a b a b
++＞
.（2）a 4-b 4＜4a 3(a -b ).
3. 求证：（1）a ＞b 且c ＞0?ac ＞bc ；
（2）a ＞b a +c ＞b +c
证明：
（1）ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，所以得证.
（2）可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c
4. 已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b
c
a c ＞
证明：可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b
1
b .
又∵c ＜0，∴b
c
a c ＞.
5.学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么一间不满也不空，求宿舍间数和学生人数.
答案：宿舍间数和学生人数分别为10间59人、11间63人或12间67人.
6.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.
答案：2222150(15)(19)23(23)(15)(19)x x x x x x x ->?
?
-+->-??->-+-?
二、知识梳理
1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题
教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：
250x x -< (1)
2.讲授新课
1）一元二次不等式的定义
象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2）探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：
（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==
二次函数有两个零点：120,5x x ==
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集
画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象， 可知：
当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0 所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。 3）探究一般的一元二次不等式的解法 任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： 220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或 一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集呢？ 组织讨论： 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2=0的根的情况； (2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号. 总结讨论结果： （l ）抛物线 =y c bx ax ++2（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=?三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分三种情况讨论. （2）a<0可以转化为a>0 分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2<0的解集 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 三、重难点突破 教学重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 例1、设函数f (x )＝22,0,x bx c x -??++?， x>0≤若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1 的解集为( ) A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B ．[－3，－1] C ．[－3，－1]∪(0，＋∞) D ．[－3，＋∞) 解析：由f (－4)＝f (0)，得函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (x ≤0)的对称轴x ＝－2＝－b 2，所以b ＝4.f (－2)＝0得c ＝4.不等式f (x )≤1等价于??? x >0时－2≤1， x ≤0时x 2 ＋4x ＋4≤1，解得x >0或－3≤x ≤－1.故选C. 答案：C 例2、不等式4 x －1 ≤x －1的解集是( ) A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) B ．[－1,1)∪[3，＋∞) C ．[－1,3] D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：原不等式化为x 2－2x －3 x －1≥0，由数轴标根法解得－1≤x <1或x ≥3. 答案：B 例3、若不等式x 2 ＋ax ＋1≥0对于一切x ∈? ?? ??0，12成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a ≥－2 C ．a ≥－5 2 D ．a ≥－3 解析：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a 2，若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f (x )在? ?? ?? ?0，12 上是减函数，应有f ? ?? ?? 12≥0?－52≤a ≤－1 若－a 2≤0，即a ≥0时，则f (x )在? ?? ???0，12上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0 若0≤－a 2≤12，即－1≤a ≤0，则应有f ? ?? ??－a 2＝a 24－a 2 2＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1≤a ≤0.综上， 有－52≤a . 答案：C 评析：考查一元二次不等式与函数相结合，利用函数的性质解不等式问题． 例4、已知不等式ax 2＋bx ＋a <0(ab >0)的解集是空集，则a 2＋b 2－2b 的取值范围是________． 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋a <0(ab >0)的解集是空集，∴a >0，b >0，且Δ＝b 2－4a 2≤0，∴b 2 ≤4a 2 . ∴a 2 ＋b 2 －2b ≥b 24＋b 2－2b ＝54? ?? ??b －452－45≥－4 5. ∴a 2＋b 2－2b 的取值范围是 ?????? －45，＋∞. 答案：???? ??－45，＋∞ 例5、解关于x 的不等式04x )1a (2ax 2>++-(a>0)． 解：原不等式化为(ax －2)(x －2)>0 ∵a>0， ∴0)2x )(a 2x (>-- 当a ＝1时，2a 2=，∴0)2x (2>-，∴{x|x ∈R 且x ≠2} 当a ≠1时：若a>1，则2a 2<，∴}2x a 2x |x {><或 若0 2 >，∴}22|{a x x x ><或． 例6、已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若f (x )的最大 值小于1，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知a <0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，又a <0，∴f (x )max ＝ 8a 2－(－3a )24a ＝－a 2 4a ＝－a 4<1，∴－4 答案：(－4,0) 例7、已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值 17 8 ，求实数a 的值； (2)解不等式f (x )>1(a ∈R )． 解：(1)a ≥0时不合题意，f (x )＝a ? ? ???x ＋12a 2－1＋4a 24a ，当a <0时，f (x )有最大值，且－ 1＋4a 24a ＝17 8 ， 解得a ＝－2或a ＝－18 . (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， ①当a ＝0时，解集为{x |x >1}； ②当a >0时，(x －1)? ? ???x ＋1＋1a >0，解集为{x |x >1或x <－1－1a }； ③当a ＝－1 2 时，(x －1)2<0，解集为?； ④当－12 ???x ＋1＋1a <0，解集为{x |1 ⑤当a <－12时，(x －1)? ? ???x ＋1＋1a <0，解集为{x |－1－1a 例8、关于x 的不等式组? ?? x 2 －x －2>0， 2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取 值范围． 解：原不等式组等价于???? ? x >2或x <－1，? ?? ?? x ＋52(x ＋k )<0.由题意知－k >－5 2，即????? x >2或x <－1，－5 2 知解集内仅有一整数－2，所以－2<－k ≤3，即－3≤k <2. 四、课堂练习 1.在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( B ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 2．设集合M ＝{x|0≤x<2}，}03x 2x |x {N 2<--=，则有M ∩N ＝( B ) A ．{x|0≤x<1} B ．{x|0≤x<2} C ．{x|0≤x≤1} D ．{x|0≤x≤2} 3．不等式x ＋5 (x －1)2 ≥2的解集是( D ) A.??????－3，12 B.??????－12，3 C.??????12，1∪(1,3] D.???? ?? －12，1∪(1,3] 4．已知}Z x 04x 3x |x {A 2∈≤--=，，}Z x 06x x 2|x {B 2∈>--=，，则A ∩B 的非空真子集个数为( A ) A ．2 B ．3 C ．7 D ．8 5．已知}0q px x |x {A 2≤++=，}01 x 3 x |x {B >+-=，且A ∪B ＝R ，A∩B ＝{x|3 A ．p ＝－3，q ＝－4 B ．p ＝－3，q ＝4 C ．p ＝3，q ＝－4 D ．p ＝3，q ＝4 6．不等式035|x |3x 22>--的解为_______________． 答案：x<－5或x>5 7．使函数| x |313x 2x y 2-+--=有意义的x 的取值范围是_______________． 答案：{x|－3 8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________. 答案：2 9．已知}02x 3x |x {A 2≤+-=，}0a x )1a (x |x {B 2≤++-=，若B A ≠?，则a 的取值范围是 _______________；若B A ?，则a 的取值范围是_______________． 答案：a>2；1≤a≤2 10．为使周长为20cm 的长方形面积大于2cm 15，不大于2cm 20，它的短边要取多长？ 答案：设长方形较短边长为x cm ，55x 105-≤<-． 11．k 为何值时，关于x 的不等式 13 x 6x 4k kx 2x 222<++++对一切实数x 恒成立． 答案：1 五、课堂小结 解一元二次不等式的步骤： ① 将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0)； ② 计算判别式?，分析不等式的解的情况： ⅰ.?>0时，求根1x <2x ，???<<<><>. 002121x x x A x x x A ，则若；或，则若 ⅱ.?=0时，求根1x ＝2x ＝0x ，?? ? ??=≤∈<≠>. 00000x x A x A x x A ，则若；，则若的一切实数；，则若φ ⅲ.?<0时，方程无解，???∈≤∈>.00φx A R x A ，则若； ，则若 ③ 写出解集 六、课后作业 1．不等式0x 2x 62<--的解集是( D ) A ．}2x 2 3|x {<<- B ．}2 3x 2|x {<<- C ．}2x 23x |x {>-<或 D ．}2 3x 2x |x {>-<或 2．对于任意实数x ，不等式0)2a (ax 2ax 2<+-+恒成立，则实数a 的取值范围是( C ) A ．－1≤a≤0 B ．－1≤a<0 C ．－1 D ．－1 3．不等式0)6x )(4x (22≤--的解集为( C ) A ．{x|－2≤x≤2} B ．{x|x≤－2或x≥2} C ．{x|－2≤x≤2或x ＝6} D ．{x|x≥2} 4．若关于x 的二次不等式021mx 8mx 2<++的解集是{x|－7 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．不等式ax A ．a ＝0且b≤0 B ．b ＝0且a>0 C ．a ＝0且b>0 D ．b ＝0且a<0 6．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2 －b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋ x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( C ) A ．－1 B ．b >2 C ．b <－1或b >2 D ．不能确定 7.若不等式x －1 x ＋m ＋m <0的解集为{x |x <3或x >4}，则m 的值为________． 答案：－3 8．关于x 的不等式 0b x x a <+-(a ＋b>0)的解集是_______________． 答案：{x|x<－ b 或x>a} 9．解不等式x 2 1|x 2x |2<-． 答案：2 5x 2 3<< 10．解关于x 的不等式： ax －1 x －a >0. 答案：当a <－1 时，不等式解集为? ?????x |a 当－1 ????x |1a 高二数学必修五第三章知识点解析 【不等关系及不等式】 一、不等关系及不等式知识点 1.不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存有的，我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a-baa-b=0a-ba0，则有a/baa/b=1a/ba 3.不等式的性质 (1)对称性：ab (2)传递性：ab，ba (3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c (4)可乘性：ab，cacb0，c0bd; (5)可乘方：a0bn(nN，n (6)可开方：a0 (nN，n2). 注意： 一个技巧 作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常实行因式分解或配方. 一种方法 待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标 式的范围. 【一元二次不等式及其解法】 ★知识梳理★ 一.解不等式的相关理论 (1)若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式; (2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不 等式，这种变形称为不等式的同解变形; (3)解不等式时应实行同解变形; (4)解不等式的结果，原则上要用集合表示。 二.一元二次不等式的解集 三.解一元二次不等式的基本步骤： (1)整理系数，使次项的系数为正数; (2)尝试用十字相乘法分解因式; (3)计算 (4)结合二次函数的图象特征写出解集。 四.高次不等式解法： 尽可能实行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求 解 (注意每个因式的次项的系数要求为正数) 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 描述：例题：高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域 表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 高中数学必修5第三章不等式题组训练 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋ 1 1+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 4 3≤x ≤2} B ．{x| 4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤4 3} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2 ＋y 2 =1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值 4 3 C ．最小值 4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组?? ?->-≥3 2x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式 0212 <-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(2 2x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,12 2 N n n n n n n g n n ∈= -- =-+?,用不等号 连结起来为____________. 《不等式专题》 第一讲：不等式的解法 知识要点： 一、不等式的同解原理： 原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。 二、一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。 二次函数 （） 的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注意： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三 种情况，得到一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠与20(0)ax bx c a ++<≠的解集。 三、一元高次不等式的解法： 解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。 数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过” 四、分式不等式的解法： （1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。 （2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化： ()()()()() ()()()()()()()()() ()()()()000;0.0000;0.0 f x g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ?≥?>??>≥??≠??≤?>?>><>?>>><>?<-><>?-<<>?<->?>或或 对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆） 5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+， 第三章：不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ? =- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程2 0ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实数根 1,22b x a -= ()12x x < 有两个相等实数根 122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++> ()0a > {} 1 2 x x x x x <>或 2b x x a ??≠-???? R 20ax bx c ++< ()0a > {}1 2x x x x << ? ? 5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组． 7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合． 8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 不等式知识总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,；bc ac c b a 0,;bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,>; (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax （0>a ）和)0(02><++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 )(x x < 有两相等实根b x - == 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 1. 使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 2、常用的基本不等式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ???；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ? ?? ;⑤)0(2>≥+ab b a a b 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 211 2 a b a b +≥≥ ≥ +（当a = b 时取等） 高中数学必修5第三章测试题 一、 选择题 1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) A .a ＞b ?a －c ＞b －c B.a ＞b ?ac ＞bc C.a ＞b ?a 2＞b 2 D. a ＞b ?ac 2＞bc 2 2．不等式02<-+y x 表示的平面区域在直线20x y +-=的（ ） A.右上方 B.左上方 C.右下方 D .左下方 3．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) A .{x |x ＞－1，或x ＜－4} B.{x |－4＜x ＜－1} C.{x |x ＞4，或x ＜1} D. {x |1＜x ＜4} 4．设集合{}20<≤=x x M ，集合{ } 0322 <--=x x x N ，则集合N M ?等于（ ）。 A.{}10≤≤x x B .{}20<≤x x C.{}10<≤x x D. {} 20≤≤x x 5．函数2 41x y -= 的定义域是( ) A .{x |－2＜x ＜2} B.{x |－2≤x ≤2} C.{x |x ＞2，或x ＜－2} D. {x |x ≥2，或x ≤－2} 6．二次不等式2 0ax bx c ++> 的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．00a >???>? B ．00a >???? D ．00a --x x 的解集是（ ） A.{}32> 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述 如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ； 如果a －b 是负数，那么a 0?a >b ； a －b ＝0?a ＝b ； a －b <0?a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 第三章能力检测 满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 【答案】A 【解析】M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝????a ＋122＋3 4＞0，∴M ＞N . 2．下列结论成立的是( ) A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ＋c ＞b ＋d D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c 【答案】D 【解析】对于A ，当c ＜0时，不成立；对于B ，取a ＝－1，b ＝－2，不成立；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝3，不成立；对于D ，∵c ＞d ，∴－d ＞－c ，又a ＞b ，∴a －d ＞b －c ，因此成立．故选D ． 3．不等式x 2－x －6 x －1＞0的解集为( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞3} B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3} C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3} D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3} 【答案】C 【解析】原不等式可化为(x ＋2)(x －1)(x －3)＞0，则该不等式的解集为{x |－2＜x ＜1或x ＞3}． 4．(2017年四川自贡模拟)设集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{x |x 2＞4}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,0) B ．(－2,3) C ．(0,2) D ．(2,3) 【答案】D 不等式知识点归纳 一、两实数大小的比较： 0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1n n a b a b n n >>>∈N >． 三、基本不等式定理 1、整式形式：①()2 2 2,a b ab a b R +≥∈；②()22 ,2 a b ab a b R +≤∈； ③()20,02a b ab a b +?? ≤>> ??? ；④()2 22,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? 2、根式形式：① 2a b ab +≥（0a >，0b >）②a+b ≤)a 222b +（ 3、分式形式：a b +b a ≥2（a 、b 同号） 4、倒数形式：a>0?a+a 1≥2 ；a<0?a+a 1 ≤-2 四、公式：b 1a 12 +≤ab ≤2b a +≤ 2 2 2b a + 五、极值定理：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ． 六、解不等式 1、一元一次不等式： ax>b （a ≠0）的解：当a>0时，x> a b ；当a<0时，x 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 第三章章末复习课 【课时目标】 1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题． 2．掌握简单的线性规划问题的解法． 3．能用基本不等式进行证明或求函数最值． 不等式— ? ?? ????? ?? ??? —不等关系—? ?? ? — 不等式的性质 —实数比较大小—一元二次不等式— ??? —一元二次不 等式的解法— 一元二次不 等式的应用—简单线性规划— ?? ?? —二元一次不等式(组) 与平面区域 —简单线性规划—简单线性规划的应用—基本不等式—??? ? —算术平均数与几何平均数 —基本不等式的应用 一、选择题 1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0B ．0a ＋b 答案 C 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解是[－12，－13 ]，则不等式x 2 －bx －a <0的解是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C ．(13，12) D ．(－∞，13)∪(1 2，＋∞) 答案 A 解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝1 6 ， ∴a ＝－6，b ＝5. ∴x 2 －5x ＋6<0的解是(2,3)． 3．若变量x ，y 满足????? 2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50， x ≥0， y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A ．90 B ．80 C ．70 D ．40 答案 C 解析 作出可行域如图所示 . 由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－3 2 ，故线 性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70. 4．不等式x －1 x ≥2的解为( ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案 A 解析 x －1x ≥2?x －1x －2≥0?－x －1x ≥0 ? x ＋1 x ≤0?????? x (x ＋1)≤0x ≠0 ?－1≤x <0. 5．设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1) B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2(2＋1) 答案 A 解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2 )2 ， ∴(a ＋b 2 )2－(a ＋b )≥1， 它是关于a ＋b 的一元二次不等式， 解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)． 又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ， ∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果,a b R+ ∈2 a b ab +≥那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R+ ∈ 2 2 a b ab + ?? ≤ ? ?? 那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）. 2．如果,a b R +∈2 2a b ab +??≤ ???（ 当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求11 x x + ≥+（x 0）的最小值； （2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值 （3）已知 ,，且. 求的最大值及相应的的值 变式1：已知51,y=42445 x x x < -+-求函数的最大值 第三章不等式单元测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确的是( ) A ．a >b ?ac 2>bc 2 B ．a >b ?a 2>b 2 C ．a >b ?a 3>b 3 D ．a 2>b 2?a >b 3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2) 4．不等式x －1 x ＋2 >1的解集是( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |－2高二数学必修五第三章知识点解析
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