高等代数教案第8章欧氏空间

高等代数II期末考试试卷及答案A卷

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

(完整word版)高等代数(北大版)第一学期考试卷2

…………….……………..装……………………订………………..线……… …….…………….. 阜阳师范学院 —— 学年度第 一 学期考试卷 数学与计算科学 学院 2008级数学与应用 专业 高等代数 课程，共 4 页， 第1页，共印刷 420 份, 2008 年 01 月 12 日 08：00 — 09：40 考试，任课教师 拟题 教研室 学号 一 判断题（每题1分，共5分） 1若不可约多项式()p x 是()f x '的1k -重因式，则它是()f x 的k 重因式。（ ） 2排列542163是偶排列。 （ ） 3在有理数域上,存在任意次数的不可约多项式。（ ） 4 任意一个向量组必有极大线性无关组。（ ） 5 有相同秩的两向量组必等价。 （ ） 二 单项选择题（每题3分，共15 分） 1如果排列121n n x x x x -的逆序数为k ，那么排列121n n x x x x -的逆序数是（ ） A k n n +-2)1( B k n n ++2)1( C k n n --2)1( D k n n -+2)1( 2 若多项式1()f x ，2()f x ，3()f x 互素，则（ ） A 若()()121(),()f x f x d x =，()()232(),()f x f x d x =，则()12(),()1d x d x = B 1()f x ，2()f x 必互素 C 1()f x ，2()f x ，3()f x 两两互素 D 存在()u x ，()v x ，使()()()()231u x f x v x f x += 3 向量组()()()1231,0,3,1,2 , 1,3,0,1,1 ,2,1,7,2,5ααα=-=--=,() 4 4,2,14,0,6α=的秩为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 4 设x x x x x x f 1111 231112 12)(-= ，则3x 的系数为( ) A 1 B 2 C -1 D 0 5 若 ?? ? ??=+-=++=+0 2020z z y kx z ky x kx 有非零解，则) (=k A 2k =- B 1-=k C 0=k D 2k = 三 填空题（每空3分，共21分） 1 设11231223 2315 2319 A =，则11121314223A A A A +++=__________。 2 设200222001)1()1()(+--=x x x x f ，则)(x f 的展开式中各项系数之和为_____。 3若1是多项式1224+++x bx ax 的二重根，则a =______，b =______。 4 4327104x x x -+-在有理数域上_________（可约，不可约）。 5 若321,,ααα线性无关，则133221,,αααααα+++线性_________（相关，无关）。 6 设233 3231232221131211=a a a a a a a a a ，求333233312322232113121311323232a a a a a a a a a a a a ---=_________。 班 姓名 级 学院

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

数学系《高等代数》课程教学大纲

数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它

高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积

c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4

、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

高等代数北京大学第三版北京大学精品课程

第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10， 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后，∈?n m ,Z 0>， K n m ∈，K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后 剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做B A \。 定义（集合的映射） 设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ），则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ). (, :a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像，记做)(A f ，即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

高等代数教学改革研究

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/8115312843.html, 高等代数教学改革研究 作者：陈林 来源：《科技视界》2012年第26期 【摘要】高等代数是高等院校数学专业的主干课程，该门课程的教学改革对整个数学专业学生的教学质量的提高以及培养目标的完成都起着主导作用。本文在分析目前高等代数课程教与学的基础上，为高等代数的课程内容、教学方法、指导思想和教育观念进行改革。 【关键词】高等代数；教学内容；教学方法；改革 0 引言 高等代数这门课程是各高等院校数学专业学生的必修课，它不仅仅是中学数学理论的延续，而且还是整个现代数学大厦的基石。通过对这门课程的系统的学习，有助于学生养成严谨的处事习惯，增强学生逻辑推理能力，培养学生的数学抽象思维能力。绝大多数大中专院校将高等代数课程列为研究生入学考试的必考科目之一。 但是，目前高等代数的主要内容，在文革之前就已经确定了，还基本上是沿用前苏联的高等代数内容体系。近年来，国内许多学者对高代的内容进行大量的革新尝试，但其中几道丝线基本内容变动不大，仍然难以适应日新月异的科学技术发展的趋势，难以发挥高等代数作为自然科学原动力的作用，不能适应目前教学、科研的诸多需求。况且，近30年来，数学的理论分支发展迅猛，新思想、新知识、新研究方法不断涌现，更加强调理论的适应性，即如何提高生产力和更多的创造经济价值。但现行的高等代数教材的内容过分强调数学的纯理论性，往往是直接突兀的给出一个定义或一个定理，而没有关于这个定义或定理形成过程的介绍，同时缺乏讨论这些数学理论的发展和应用。在传统的高等代数课程教学中，往往只注重向学生灌输知识，课堂教学基本上还是“教材+粉笔+黑板”模式。从而难以提高学生的学习积极性，学生很难在认识上有所突破。 总之，为了应对数学理论日益迅猛的发展形势，为了紧跟时代发展的脚步，为了遵循我国教育发展的规律，为了提高办学质量、培养新时代的创新型人才，必须对高等代数课程的指导思想、内容以及教学方法进行改革。 1 指导原则 1.1 突出师范特色 大部分师范院校学生毕业后是进中学和小学参加教书。许多师范院校的毕业生工作以后感到大学里学到的东西在中学里用不到。因此，作为师范院校高等代数课程的内容要坚持师范性与学术性的统一，重点要突出师范性。必须将该课程的教学内容由学术型向教育学术型转化，

大一上学期(第一学期)高数期末考试题xcsf

高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-.

高等代数试题2(附答案)

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的 子空间。（ ）

高等代数2013-2014第一学期考试卷A答案

高等代数第一学期考试卷答案（A 卷） 考试（考查）：考试 时间：2007年 1 月 日 本试卷共6页，满分100 分； 考试时间：120 分钟 一、选择题（本大题共8个小题，每空4分，共32分.请 在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）. 1、若n 阶矩阵A 与B 相似，则 【 A 】 Ａ. A 与B 有相同特征值 B. A 与B 有不同特征值 C. A 与B 有相同特征向量 D. A 与B 有不同特征向量 2、下列向量组中，线性无关的是 【 D 】 A ．}0{ B ．},,0{βα C ．1221{,, ,},r m ααααα=其中 D ．},,,{21r ααα ，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合. 3、已知112212112212(,),(,)(,),(,)a a b b c c d d ααββ====与是向量空间2 F 的两个基， 则从基{}12,αα到基{}12,ββ的过渡矩阵为 【 A 】 A ．1 111 12222a b c d a b c d -???? ? ????? B ．1 1 11 12222c d a b c d a b -???? ? ????? C ．1121 21 21 2a a c c b b d d -???? ? ????? D ．1 1 21 21 21 2c c a a d d b b -???? ? ????? 4、下列子集中,作成向量空间R n 的子空间的是 【B 】 A ． 121 {(,, ,)|1} n n i i a a a a ==∏ B ． } 0|),,,{(121∑==n i i n a a a a C ．12{(,, ,)|,1,2, ,}n i a a a a Z i n ∈= D ． } 1|),,,{(1 21∑==n i i n a a a a 5、欧氏空间V 的线性变换σ是对称变换的充要条件是V ∈?βα,，都有 【 C 】

高等代数期末卷 及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 一、 填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令 ()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31 0210 62 101132 1 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 011 34?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当

(()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-????-?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明 证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111 1 1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n 时

大一上学期高等代数模拟试卷

一 单项选择题(本题共5道小题,每题4分,把答案填在横线上) 1．设????? ??=33 3 222 111c b a c b a c b a A ，??? ? ? ??=33 3 222 111 d b a d b a d b a B ，且2=A ，3=B ，则=-B A 2 . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 设m ααα ,,21均为n 维向量，那么下面结论正确的是 (A)若02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα ,,21线性相关 (B) 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,21，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα ,,21线性无关 (C)若m ααα ,,21线性相关，则对任意一组不全为零的m k k k ,,21，都有 02211=+++m m k k k ααα (D) 000021=+++m ααα ，则m ααα ,,21线性无关 3.设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是方程组0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为 . (A)2 )(2 121211ββααα-+ ++k k (B) 2 )(2 121211ββααα++ -+k k (C) 2 )(2 121211ββββα-+ -+k k (D) 2 )(2 121211ββββα++ -+k k 4.已知??? ? ? ??=96342321t Q ，P 是3阶非零矩阵，且满足0=PQ ，则 . (A)6=t 时，P 的秩必为1 (B) 6=t 时，P 的秩必为2 (C)6≠t 时，P 的秩必为1 (D) 6≠t 时，P 的秩必为2 5．设A 为n 阶矩阵，0≠A ，*A 为A 的伴随矩阵，n E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则n E A +2*)(必有特征值 .

高等代数3章习题

第三章 线性方程组 自我检测题 一．判断题 1.含零向量的向量组线性相关. 2.若一向量组的一个部分组线性相关,则它也线性相关. 3.线性无关向量组的任何一个部分组均线性无关. 4. 任一向量组都有极大线性无关向量组. 5. 一向量组的极大线性无关组是唯一的. 6.方程个数小于未知数个数的齐次线性方程组必有非零解. 7. 向量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于它所含向量的个数. 8.若向量组123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表出. 9. 若向量12,αα线性相关, 12,ββ线性相关, 1122,αβαβ++线性相关. 10. 若向量组123,,ααα线性无关,则12αα+,23αα+,31αα+也线性无关. 11. 如果向量组12,,,n ααα 线性相关，则12αα+，23αα+，...…， 1n n αα-+，1n αα+线性相关。 12.若向量12,αα线性无关, 3α不能由12,αα线性表出，则向量组123,,ααα线性无关. 13.若n 阶矩阵A 的秩r

第九章 欧氏空间

第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() ( i i =ε,n i ,,2,1 = 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><> <><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121 叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要

n ααα,,,21 线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 , 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑= ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:

高等代数(上)期末复习题

高等代数(1）复习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ) 2、设D 为六阶行列式,则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。( ) 3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。( ） ４、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。（ ） ５、排列()3211 -n n 为偶排列。（ ） 6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。( ） ７、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ) ８、若AC AB =，0≠A ，则C B =。( ) 9、若矩阵A 满足A A =2,则0=A 或E A =。( ) 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ) 1１、若矩阵A 满足02=A ,则0=A 。( ） 12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠,则0B =。( ） 1３、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---=B A AB 。( ) 1４、对n 阶可逆方阵A ，B ,必有()111 ---+=+B A B A 。（ ） 1５、设A ,B 为n 阶方阵,则必有B A B A +=+。( ） １6、设A ，B 为n 阶方阵,则必有BA AB =。（ ) 17、若矩阵A 与B 等价,则B A =。（ ) 1８、若A 与B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵。（ ) 1９、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。（ ） ２0、设n m A ?,n m B ?为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。( ) 21、设A =0,则()0=A R 。( ) 22、线性方程组0=?X A n n 只有零解,则0≠A 。（ ) 2３、若b AX =有无穷多解,则0=AX 有非零解。( )