钢结构设计原理 石建军 CH03

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第3章
受拉构件及索
教学提示：本章讲述了受拉构件的可能破坏形式和影响因素，轴心受拉构件的强度和 长细比，拉弯构件的强度和变形，索的力学性质和分析方法。 教学目标：本章让学生了解受拉构件的可能破坏形式和影响因素，了解索的力学性质 和分析方法。重点让学生了解、掌握轴心受拉构件的强度和长细比，拉弯构件的强度以及 变形的概念及相关计算。
3.1
受拉构件的可能破坏形式和影响因素
受拉构件是指只承受轴向拉力的构件。受拉构件的破坏一般经历以下几个阶段：首先， 截面中的拉应力达到材料的屈服点；其次，受拉构件进入塑性变形，出现明显的伸长；随 后，材料进入强化阶段，构件截面上的拉应力继续增加；最后，当拉应力达到材料的抗拉 强度后，受拉构件被拉断。由于受拉构件在拉断之前会出现明显的伸长，因此很容易被觉 察并采取措施加以避免。受拉构件的破坏常发生在地震灾害或不恰当的使用过程中，如在 受力的受拉构件上施加电焊。 受拉构件的这类破坏称为结构的强度破坏，综上所述，可以看出结构强度破坏时会出 现明显变形，因此也称塑性破坏或延性破坏。
3.2
3.2.1
轴心受拉构件的强度和长细比
轴心受拉构件的强度计算
1. 截面无削弱时的强度 无孔洞等削弱的轴心受拉构件，轴心力作用使截面引起均匀的受拉正应力，以全截面 刚达到屈服应力为强度极限状态。因为这时构件塑性变形很大，已达到不适于继续承载的 状态。在强度计算中，要求构件内力设计值 N 除以毛截面面积 A 得到的应力不应超过钢材 抗拉强度设计值 f，即
σ = N / A≤ f
2. 截面有削弱时的强度
(3-1)
有孔洞等削弱的轴心受拉构件，在孔洞处截面上的应力分布是不均匀的，在靠近孔边 处产生应力集中现象，应力高于平均应力。但当应力高的纤维达到屈服应力后，轴心力继 续增加，截面发展塑性变形，应力渐趋均匀。到达极限状态时，净截面上的应力为均匀屈
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钢结构设计原理
服应力。这时GB 50017—2003《钢结构设计规范》规定的强度计算要求为：构件内力设计 值N除以净截面面积An得到的应力σ不应超过钢材强度设计值f，即
σ = N / An ≤ f
(3-2)
式中 An——毛截面面积扣除孔洞截面面积。 需要指出的是，有孔洞等削弱的构件的净截面应力到达均匀屈服时，构件总变形比毛 截面到达屈服应力时小；如果以有孔洞等削弱构件的净截面应力到达均匀屈服作为承载力 极限状态，

则比按毛截面达到屈服应力作为承载力极限状态的情况偏于保守。故目前有些 国家采用“毛截面屈服”和“净截面断裂”作为强度计算准则。 《钢结构设计规范》对于单面连接的单角钢轴心受拉构件，连接偏心引起弯矩，使角 钢受附加应力，因此 GB 50017—2003 规定，单面连接的单角钢按轴心受力计算强度时，钢 材强度的设计值应乘以折减系数 0.85。 3. 受拉构件的有效净截面 进行受拉构件强度计算时，取净截面面积。净截面位置一般在构件的拼接处或构件两 端的节点处。在有些连接构造中，净截面不一定都能充分发挥作用。在如图 3.1 所示的连 接构造上，工字形截面上、下翼缘和腹板都有拼接板，力可以通过腹板、翼缘直接传递， 因此这种连接构造的净截面全部有效。然而如图 3.2 所示的连接构造，仅在工字形上、下 翼缘设有连接件，当力接近连接处时，截面上应力从均匀分布转为不均匀分布。1-1 截面上 净截面不能全部发挥作用。设计虽仍可按均匀分布，但应采用有效净截面面积Ae。设该处 净截面面积为An，则它们之比称为净截面效率η，其表达式为
η=
Ae An
(3-3)
图 3.1
工字形截面全部截面连接
图 3.2
工字形截面上、下翼缘连接
根据试验资料，净截面的效率与下列因素有关： (1) 连接长度 L(图 3.2(a))：连接长度 L 愈大，净截面的效率 η 也愈大。
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受拉构件及索
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(2) 连接板至构件截面形心距离 a (图 3.3)：当 a 愈大，则净截面的效率 η 愈小。这是 因为截面愈分散应力分布愈不均匀， η 也就愈小。
(a) 截面材料较分散 图 3.3
(b) 截面材料紧凑 截面材料分布情况
净截面的效率 η 可按式(3-4)计算：
η =1
a l
(3-4)
受拉构件主要由强度控制，构件最危险截面应为截面最薄弱处，即截面连接处，其验 算公式为 N ≤f (3-5) ηAn 从式(3-5)可以看出，如连接构造不合理，会使受拉构件截面不能充分发挥作用。因此， 在节点连接中应尽量避免产生使 η 降低的构造。 关于 η 的取值问题，各国规范都不统一，还需作进一步分析研究。
3.2.2 轴心受拉构件的长细比
轴心受拉构件的刚度通常用长细比来衡量， 长细比是构件的计算长度l0与构件截面的回 转半径i的比值，即 λ = l0 / i 。 λ 越小，表示构件刚度越大，反之则刚度越小。 长细比过大会使构件在使用过程中容易由于自重发生挠曲，在动力荷载作用下容易产 生振动，在运输和安装过程中容易产生弯曲。因此设计时应使构件长细比不超过规定的容 许长细比 [λ ] 。 计算构件长细比时，应分别考虑绕截面两个主轴即 x 轴和

y 轴的长细比 λx 和 λy ，应都 不超过规定的容许长细比 [λ ] ：
λx = l0 x / ix ≤ [ λ ]
(3-6a) (3-6b)
λ y = l0 y / iy ≤ [ λ ]
式中 l0x、l0y、ix、iy——绕截面主轴(即x轴和y轴)的构件计算长度和截面回转半径。 构件计算长度l0(l0x、l0y)取决于其两端支承情况。例如，两端铰接时l0等于构件几何长
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度l，即l0 = l；一端铰接一端固定时lo =0.7l。关于计算长度的意义将在第 4 章中阐述。 表 3-1 为 GB 50017—2003《钢结构设计规范》规定的受拉构件容许长细比。
表 3-1 受拉构件容许长细比 项 次 1 2 3 构件名称 桁架的杆件 吊车梁或吊车桁架以 下的柱间支撑 其他拉杆、支撑、系杆 等(张紧的圆钢除外) 承受静力荷载或间接承受动力荷载的结构 一般建筑结构 350 300 400 有重级工作制吊车的厂房 250 200 350 直接承受动力 荷载的结构 250
注：(1) 承受静力荷载的结构中，可仅计算受拉构件在竖向平面内的长细比。 (2) 在直接或间接承受动力荷载的结构中，计算单角钢受拉构件的长细比时，应采用角钢的最小回转半径；但计算 在交叉点相互连接的交叉杆件平面外的长细比时，可采用与角钢肢边平行轴的回转半径。 (3) 中、重级工作制吊车桁架下弦杆的长细比不宜超过 200。 (4) 在设有夹钳或刚性料耙等硬钩吊车的厂房中，支撑(表中第 2 项除外)的长细比不宜超过 300。 (5) 受拉构件在永久荷载与风荷载组合作用下受压时，其长细比不宜超过 250。 (6) 跨度等于或大于 60m 的桁架，其受拉弦杆和腹杆的长细比不宜超过 300(承受静力荷载或间接承受动力荷载)或 250(直接承受动力荷载)。
3.3
拉弯构件的强度和变形
拉弯构件是指构件不仅承受轴向拉力还承受弯矩。它分为单向拉弯和双向拉弯。
3.3.1 拉弯构件的强度
考虑钢材的塑性性能，拉弯构件以截面出现塑性铰作为其强度极限。在轴心拉力及弯 矩的共同作用下，工字形截面上应力的发展过程如图 3.4 所示。
(a) 工字形截面
(b) 截面完全弹性 (c) 截面一侧出现塑性 (d) 截面两侧出现塑性
(e) 全截面塑料
图 3.4
拉弯构件截面应力的发展过程
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假设轴向力不变而弯矩不断增加，截面上应力的发展过程为：边缘纤维的最大应力达 最大应力一侧塑性部分深入截面(图 3.4(b))； 两侧均有部分塑性深入截面 屈服点(图 3.4(a))； (图 3.4(c))；全截面进入塑性(图 3.4(d))，此时达到承载能力的极限状态。 由全塑性应力图形(图 3.4(d))，根据内外力的平衡条件，即由一对水平力H所组成的力 偶应与外力矩平衡，合力N应与外轴力平衡

，可以获得轴心力N和弯矩Mx的关系式。为了简 化，取 h ≈ hw 。令 Af = α Aw ，则全截面面积 A = ( 2α + 1) Aw 。 内力的计算分为两种情况： (1) 当中和轴在腹板范围内( N ≤ Aw f y )时，有
N = (1 2η ) htw f y = (1 2η ) Aw f y
M x = Af hf y + η Aw f y (1 η ) h = Aw hf y (α + η η
2
(3-7)
)
(3-8)
消去式(3-7)和式(3-8)中的η ， N p = Af y = ( 2α + 1) Aw f y ， M Px = WPx f y = (α Aw h + 0.25 Aw h ) f y 令 令
= (α + 0.25 ) × Aw hf y ，则得N和Mx的相关公式：
( 2α + 1)
4α + 1
2
N2 Mx + =1 2 N P M Px
(3-9)
(2) 当中和轴在翼缘范围内( N > Aw f y )时，按上述相同方法可以得到：
4α + 1 M x N + =1 N P 2 ( 2α + 1) M Px (3-10)
式(3-9)和式(3-10)计算结果均为曲线，图 3.5 中的实线即为工字形截面构件当弯矩绕强 轴作用时的相关曲线。此曲线是外凸的，但腹板面积Aw较小(即 α = Af / Aw 较大)时，外凸不 多。为了便于计算，同时考虑到分析中没有考虑附加挠度的不利影响，规范采用了直线式 相关公式，即用斜直线代替曲线(图 3.5 中的虚线)，即
N Mx + =1 N P WPx (3-11)
令 N P = An f y ，令 M Px = γ xWnx f y ，再引入抗力分项系数后，得到规范规定的拉弯构件的强度 计算式(3-12)： Mx N ± ≤f (3-12) An γ xWnx
式(3-12)也适用于单轴对称截面，弯曲正应力一项带有正负号，计算时应使两项应力的 代数和的绝对值最大。 承受双向弯矩的拉弯构件，规范采用了与式(3-12)相衔接的线性公式：
My Mx N ± ± ≤f An γ xWnx γ yWny 式中 An—— 净截面面积。
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(3-13)
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钢结构设计原理
Wnx、Wny —— 对x轴和y轴的净截面模量。 γ x 、 γ y —— 截面塑性发展系数。 对需要计算疲劳的拉弯构件，宜取 γ x = γ y = 1.0 ，即不考虑截面塑性发展，按弹性应力 状态计算。
N/Np
图 3.5
拉弯构件强度相关公式曲线
3.3.2
拉弯构件的刚度
拉弯构件承受轴向拉力和弯矩，当弯矩不大时，构件以轴向拉力为主，它的刚度要求 同轴心受拉构件，即
λmax = 0 ≤ [ λ ] i max
l
(3-14)
当弯矩较大时，不仅应计算构件长细比是否满足要求，还要进行挠度计算，计算时可 忽略轴向拉力对挠度的影响，其结果偏于安全。 【例 3.1】 图 3.6 所示的拉弯构件间接承受动力荷载，轴向拉力的设计值为 600kN，横向 均布荷载的设计值为 5kN/m。试选择其截面，设截面无削弱，材料为 Q235 钢。
图 3.6
例 3.1 图
解 设采用普通工字钢I25a，截面面积A=48.5cm2，自重 0.38kN/m，Wx=401cm3，ix=10.2cm， iy=2.40cm。构件截面最大弯矩：
Mx = [(5 + 0.38 × 1.2) × 7.22 / 8]kN m = 35.35kN m 。 验算强度
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第

3章
受拉构件及索
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600 × 103 Mx 35.35 × 106 N + + = N / mm 2 = 207.7N / mm 2 3.4
索的力学性质和分析方法
索在工程中应用较为广泛，如斜拉桥上的拉索，悬索桥中的缆索，桅杆结构中的纤绳， 预应力锚索等。
3.4.1 截面形式
索一般采用由高强度钢丝组成的钢绞线、钢丝绳或钢丝索，也可采用圆钢筋。圆钢筋 的强度较低，但由于直径较大，抗锈蚀能力较强，如图 3.7(a)所示。 钢绞线由经热处理的优质低碳素钢经多次冷拔的钢丝组成，如图 3.7(b)所示。钢绞线 形式有(1+6)、(1+6+12)、(1+6+12+18)，它们分别为 1 层、2 层和 3 层。多层钢丝与其相邻 的内层钢丝捻向相反。常用的钢丝直径为 4mm～6mm。 钢丝绳通常由七股钢绞线捻成，如图 3.7(c)所示，以一股钢绞线作为核心，外层的六股 钢绞线沿同一方向缠绕，其标记为 7×7，有时用两层钢绞线，其标记为 7×19，以此类推 有 7×37 等。后者表示一股由几根钢丝组成。
图 3.7
索的截面形式
钢丝索由平行的钢丝组成，钢索由 19、37、61 根直径为 4mm～6mm 的钢丝组成。
3.4.2 单索的受力分析
1. 基本假定 (1) 索是理想柔性的，既不能受压，也不能抗弯。这是因为索的截面尺寸与索的长度 相比十分微小，截面抗弯刚度很小，可以忽略。 (2) 索的材料符合胡克定律。 高强度钢索在加载初期存在一定的松弛变形，随后基本上呈直线变化，当接近材料极 限强度时，才显示曲线性质。由于钢索在使用前都需施加预应力，一般可消除初始非弹性 变形，在很大范围内应力和应变呈正比。
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钢结构设计原理
2. 索的平衡方程 (1) 受沿水平均布荷载作用的索。图 3.8(a)表示沿水平承受一均布荷载 q 作用的索 AB。 在索上切出一微段，其水平长度为 dx，索的张力为 T，水平分力为 H，ds 微段单元上的内 力和外力如图 3.8(b)所示。由平衡条件可知：
∑X =0 ∑Z = 0
dH dx = 0 dx d dz H dx + qdx = 0 dx dx
(3-15) (3-16)
(a) 水平均布荷载 q 作用的索 AB
(b) ds 微段单元
图 3.8
在 q 作用下索的受力
由式(3-16)得
d2 z q = dx 2 H
(3-17)
积分两次得 z= q 2 x + c1 x + c2 2H
(3-18)
式(3-18)是一条抛物线，将图 3.8(a)的边界条件代入式(3-18)，得 z= 设索中点( x = q c x (l x ) + x l 2H
(3-19)
l c )处的最大挠度为f，中点的坐标zc为 zc = f + ，代入式(3-19)得索的挠度与 2 2 水平张力关系式为 H= ql 2 8f
(3-20)
索的曲线方程为
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z=
4 fx ( l x )
l

c + x l
(3-21)
当 A、B 两点等高时，c=0，式(3-21)可写成 z= 索各点的张力为 dz T = H 1+ dx 当 f dz ≤0.1 时， → 0，可取 l dx T≈H
2 2
4 fx ( l x )
l
(3-22)
(3-23)
(3-24)
(2) 受沿索长均布荷载作用的索。图 3.9 表示沿索长承受一均布荷载q作用的索AB。将 沿索长均布荷载q等效为沿水平均布的荷载qx，则有
qx = q ds = q 1 + dz dx dx
2
(3-25)
图 3.9
均布荷载 q 沿索长分布
将式(3-25)代入式(3-17)，经积分后得 z= 式中
c β l ql 1 α = sinh + β ， β = 2H sinh β
H q
2β x cosh α cosh l α
(3-26)
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钢结构设计原理
当 A、B 两点等高时，c=0， α = β = z= 设跨中垂直度为 f，当 x =
ql ，则式(3-26)可写成 2H H q qx cosh α cosh H α
(3-27)
l ，z=f 时，由式(3-27)得 2 f = H [cosh α 1] q
(3-28)
f <0.1 时，两条曲线的 l 坐标很接近。由于悬链线曲线表达式较复杂，因此，一般索分析中都采用抛物线曲线而不 采用悬链线曲线。 式(3-26)为一悬链线曲线。比较式(3-27)与式(3-22)：当 f 相同且
3. 索的长度计算
索的长度 s 可由索的微段长度积分而得，由图 3.8 (b)可知 dz ds = dx + dz = 1 + dx dx
2 2 2
(3-29)
s = ∫ ds = ∫
A
B
l
0
dz 1 + dx dx
2
(3-30)
dz 将式(3-30)中的 1 + 按幂级数展开，取前二项得 dx
2 l 1 dz s = ∫ 1 + dx 0 2 dx
2
(3-31)
将式(3-21)代入式(3-31)得索的长度 s 为
c2 8 f 2 s = l 1 + 2 + 2 3l 2l (3-32)
当 A、B 两点等高，即 c=0，则式(3-32)可写成
8f 2 s = l 1 + 2 3l (3-33)
式(3-32)和式(3-33)适用于小垂度，即
f ≤0.1 的情况。对式(3-32)两边求导得 l
40
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df =
3 l ds 16 f
(3-34)
当
f =0.1 时， df = 1.875ds ，说明较小的索长变化将引起显著的垂度变化。 l
4. 索的变形协调方程
图 3.10 所示为一索由初始状态AB变位到最终状态 A′B′ 的情况，索的始态承受的初始 均布荷载为 q0 ，索的初始形状为 z0 ，初始水平力为 H0 ；索的终态承受的均布荷载为
q(q= q0 + q1 ， q1 为另加荷载)，终态形状为z，终态水平力为H。由索的几何伸长和内力引起
的伸长相等，得
2 2 H H0 1 l dz dz0 l = u B u A + ∫ dx αΔtl EA 2 0 dx dx
(3-35)
式中
uA，uB—— A，B支座节点的水平位移。 Δt —— 温差。 α —— 索的线膨胀系数。 式(3-35)称为索的变形协调方程。
B
图 3.10 索的变形
当不考虑支座位移和温差变化影响时，由式(3-33)得
2 2 8 f 2 8 f 2 8 f 2 f 02 1 l dz dz0 dx = s s0 = l 1 + 2 1 + 0 = l 2 ∫ 0 dx dx 3l 3l 2 3
(3-36)
将式(3-36)代入式(3-35)

，得
H H0 = EA 8 2 ( f f02 ) l2 3 q2 EAl 2 q 2 02 24 H 2 H 0 (3-37)
由式(3-20)，式(3-37)可写成
H H0 =
(3-38)
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钢结构设计原理
当不考虑初始荷载作用，式(3-38)可写成
H H0 = EAl 2 q 2 24 H 2
(3-39)
从式(3-38)、式(3-39)可看出是一个三次方程式，需用迭代法求解索的最终拉力。
3.4.3 单索的简化计算
索的受力随索的变形而变化，具有很强的非线性，为了简化索的计算，可以引用折 算刚度的概念，通过反复迭代确定其精度。这种计算可用只能受拉不能受压的直线拉杆 代替索。 索单元的折算刚度可由式(3-35)推出。如不考虑温度影响，由式(3-35)得
Δl = u B u A =
q2 l l 3 q2 ( H H 0 ) 2 02 24 H EA H0
(3-40)
由式(3-40)可解得索的内力增量与变形增量的关系为
ΔH = H H 0 =
EA l
1
q2 EAl q H 2 H 02 2 q0 1+ 2 24 ( H H 0 ) H H 02
2 2 0
Δl
(3-41)
因为
f 很小，T≈H，则式(3-41)可写成 l EA ΔT = T T0 = l
1 Δl 2 q 2 EAl 2 q0 T 2 T02 q0 1+ 2 2 24 (T T0 ) T T0
(3-42)
因此索单元的折算刚度为
Ks =
c=
ΔT EA = c l Δl
1
(3-43) (3-44)
2 q T 2 T02 EAl q q0 1+ 2 2 24 (T T0 ) T T0 2 2 0
当
q =1.0 时，则式(3-44)可写成 q0
c= 1 2 EAl q0 (T + T0 ) 1+ 24T 2T02
2
(3-45)
设T1≈T0，则式(3-45)可写成
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c=
1 2 EAl 2 q0 1+ 12T03
(3-46)
式(3-46)即为近似的索单元折算刚度系数。
思
考
题
1. 轴心受拉构件的刚度不影响其承载能力，为什么要验算刚度？ 2. 为什么轴心受力构件强度验算用净截面，刚度验算却用毛截面? 3. 轴心受拉构件的强度极限状态是什么？ 4. 实腹式轴心受拉构件计算的内容有哪些？ 5. 一根截面面积为 A，净截面面积为 An 的构件，在拉力 N 作用下的强度计算公式是 什么？
习
题
1. 图 3.11 中下弦杆采用单角钢 140×10，杆件计算长度 loy = lox =6m。构造见图，问
该杆是否安全。 2. 如图 3.12 所示桁架， 杆采用 2 AB 载P=720kN，验算下弦杆AB是否安全。
100×63×8。 钢材采用Q235—A， f =215N/mm2，
杆件计算长度 l0 y =12m， l0 x =6m。在C节点处设有安装孔，孔径为 d 0 =21.5mm。承受节点荷
图 3.11 习题 1 图
图 3.12 习题 2 图
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3. 验算如图 3.13 所示的用摩擦型高强度螺栓连接的节点强度。螺栓直径 20mm，孔径 22mm，钢材为 Q235—AF，承受轴心拉力 N＝600kN(设计值)。
图 3.13 习题 3 图
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