排列组合 古典概型—复习归纳(教师)

1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )

A ．0.35

B ．0.25

C ．0.20

D ．0.15

解析：∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、271、932、812、393五组，∴其概率为5

20

＝0.25.

2．(2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b ＞a 的概率是 ( )

A.45

B.3

5 C.25 D.15

解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b ＞a 的有3种取法，故所求事件的概率为P ＝315＝1

5

.

3．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为 ( )

A.16

B.536

C.112

D.12

解析：抛掷2枚骰子，共有6×6＝36种情况，因为log 2x y ＝1，所以y ＝2x ，此时满足题意的数对(x ，y )共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率P ＝

336＝1

12

. 4．(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．

解析：设3只白球为A ，B ，C,1只黑球为d ，则从中随机摸出两只球的情形有：AB ，AC ，Ad ，BC ，Bd ，Cd 共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为1

2

.

5.学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．

解析：每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝1

4

.

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是 的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和． 2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 ． (2)每个基本事件出现的可能性 ． 3．古典概型的概率公式

一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P(A)＝ .

考点一

简单古典概型的概率

有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正

四面体玩具的试验：用(x ，y)表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数． (1)写出试验的基本事件；

(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率； (3)求事件“出现点数相等”的概率．

[自主解答] (1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．

(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 故P ＝1316

.

(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．故P ＝

416＝14

.

某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件[摸到1,2号球用(1,2)表示]：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．

因此，共有10个基本事件．

(2)如图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记

为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝3 10.

(3)故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为3 10.

考点二复杂的古典概型

(2011·苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．

(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；

(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；

(3)求甲、乙两人相遇的概率．

[自主解答](1)甲经过A2，可分为两步：

第一步，甲从M到A2的方法有C13种；

第二步，甲从A2到N的方法有C13种．

所以甲经过A 2到达N 处的方法有(C 13)2

＝9种．

(2)由(1)知，甲经过A 2的方法数为9；乙经过A 2的方法数也为9. 所以甲、乙两人在A 2处相遇的方法数为9×9＝81； 甲、乙两人在A 2处相遇的概率为81C 36C 36＝81400

.

(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A 1、A 2、A 3、A 4处相遇，他们在A i (i ＝1,2,3,4)处

相遇的走法有(C i －

13)4种方法，所以(C 03)4＋(C 13)4＋(C 23)4＋(C 33)4

＝164，故甲、乙两人相遇的概

率为164400＝41100

.

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．

(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； (3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．

解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．

(2)记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P (A )＝C 14C 16C 210＝8

15

.

(3)A i 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，i ＝0,1,2.

B j 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，j ＝0,1,2. B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．

A i 与

B j 独立，i ，j ＝0,1,2，且B ＝A 0·B 2＋A 1·B 1＋A 2·B 0. 故P (B )＝P (A 0·B 2＋A ·B 1＋A 2·B 0)

＝P (A 0) ·P (B 2)＋P (A 1) ·P (B 1)＋P (A 2) ·P (B 0)

＝C 24C 210·C 24C 210＋C 14C 16C 210·C 16C 1

4C 210＋C 26C 210·C 26

C 210＝3175

.

现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出

通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．

(1)求A1被选中的概率；

(2)求B1和C1不全被选中的概率．

解：从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其所有可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽

取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．

(1)用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，

因而P(M)＝6

18＝

1

3.

(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N有3个基本事件

组成，所以P(N)＝3

18＝

1

6.

(3)由对立事件的概率公式P(N)＝1－P(N)＝1－1

6＝

5

6.

考点三古典概型与统计的综合问题

(2010·湖南高考)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).

高校相关人数抽取人数

A 18 x

B 36 2

C 54 y

(1)求x ，y ；

(2)若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率．

[自主解答] (1)由题意可得，x 18＝236＝y

54，所以x ＝1，y ＝3.

(2)记从高校B 抽取的2人为b 1，b 2，从高校C 抽取的3人为c 1，c 2，c 3，则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共10种．

设选中的2人都来自高校C 的事件为X ，则X 包含的基本事件有(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共3种．因此P (X )＝

310

. 故选中的2人都来自高校C 的概率为

310

.

某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表： 年级 性别

高一 高二 高三 女生 373 x y 男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. (1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三 年级抽取多少人？

(2)已知y ≥245，z ≥245，求高三年级女生比男生多的概率．

解：(1)∵

x

2000

＝0.19，∴x ＝380， 高三年级人数为y ＋z ＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为

48

2000

×500＝12. (2)设“高三年级女生比男生多”为事件A ，高三年级女生、男生数记为(y ，z )．由(1)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N *，

则基本事件空间包含的基本事件有

(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个， 事件A 包含的基本事件有

(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个，

∴P(A)＝511.故高三年级女生比男生多的概率为5

11

.

高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查古典概型概率公式的应用．尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点，2010年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向．

[考题印证] (2010·福建高考)(12分)设平面向量a m ＝(m,1)，b n ＝(2，n)，其中m ，n ∈{1,2,3,4}．

(1)请列出有序数组(m ，n)的所有可能结果；

(2)记“使得a m ⊥(a m －b n )成立的(m ，n)”为事件A ，求事件A 发生的概率．

[规范解答] (1)有序数组(m ，n)的所有可能结果为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

……………………………………………………………(6分) (2)由a m ⊥(a m －b n )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2. ……………………………………………………………(8分)

由于m ，n ∈{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝

216＝1

8

.……………………………………………(12分)

1．求古典概型概率的步骤

(1)分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m. (2)利用公式P(A)＝m

n

求出事件A 的概率．

2．有放回抽样和无放回抽样的概率

在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次只

摸一只，具有两种摸球的方法． (1)有放回．

每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸 球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽

样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去． (2)无放回．

每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一 只，这种摸球方法称为无放回的抽样．显然，对于无放 回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进 行有限次．

1．(2011·黄冈模拟)设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ü

Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则

b ＝

c 的概率是 ( )

A.18

B.14

C.12

D.34

解析：依题意得当b ＝2时，c 可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时b ≠c ；当b 从3,4,5,6,7,8,9中选取时，有b ＝c.因此，b ＝c 的概率为

77＋7＝1

2

. 2．(2011·银川模拟)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝2

3mx 3

－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是 ( )

A.12

B.56

C.34

D.23

解析：由题可知，函数y ＝2

3mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0

在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝2

3mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上

单调递增的概率为3036＝5

6

.

3．(2010·安徽高考)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ( )

A.318

B.418

C.518

D.618

解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有6×6

2

＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据

古典概型概率公式得P ＝5

18

.

4．(2010·辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．

解析：

基本事件总数为6，所含基本事件个数为2，所以所求的概率是P ＝26＝1

3

.

5．一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是__________．

解析：法一：设3只白免分别为b 1，b 2，b 3,2只灰兔分别为h 1，h 2.则所有可能的情况是(b 1，h 1)，(b 1，h 2)，(b 2，h 1)，(b 2，h 2)，(b 3，h 1)，(b 3，h 2)，(h 1，b 1)，(h 2，b 1)，(h 1，b 2)，(h 2，b 2)，(h 1，b 3)，(h 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 1)，(b 2，b 3)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(h 1，h 2)，(h 2，h 1)，共20种情况，其中符合一只白兔而另一只是灰兔的情况有12种，∴所求概率为1220＝35

.

法二：从笼子中跑出两只兔子的情况有A 2

5＝20种情况．

设事件A ：出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔．则P(A)＝C 13C 12＋C 12C 1

3A 2

5＝12

20＝35

. 6．(2010·山东高考)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．

解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个． 因此所求事件的概率P ＝26＝1

3

.

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n)有：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件

的概率为P1＝3 16.

故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－3

16＝

13

16.