2018届杨浦区高三一模数学试卷及解析(Word版)

上海市杨浦区2018届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算1lim(1)n n

→∞

-的结果是

2. 已知集合{1,2,}A m =，{3,4}B =，若{3}A B =，则实数m =

3. 已知3cos 5

θ=-，则sin()2

π

θ+

=

4. 若行列式

1

24

012

x -=，则x = 5. 已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-??

???

，则x y +=

6. 在62

()x x

-的二项展开式中，常数项的值为

7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是

8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =

9. 在ABC ?中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为

10. 抛物线2

8y x =-的焦点与双曲线2

221x y a

-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近

线的夹角为

11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =+x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+ 为奇函数，则α的值为

12. 已知点C 、D 是椭圆2

214

x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实

数λ的取值范围为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 在复平面内，复数2i

z i

-=

对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

14. 给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =. 其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ②④ 15. “0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ?=，0AC AD ?=，0AD AB ?=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ?、ACD ?、ABD ?的面积，则123S S S ++的

最大值是（ ） A. 1

2

B. 2

C. 4

D. 8

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.

（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析

式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？

18. 如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线

BS 的中点.

（1）求圆锥的体积；

（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

19. 已知函数1()ln

1x

f x x

+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ?. （1）求实数a 的取值范围；

（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.

20. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；

（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；

（3）若0OA OB ?=，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.

21. 若数列A ：1a ，2a ，???，n a （3n ≥）中*

i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤-，

112k k k a a a +-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.

（1）若数列1，x ，y ，7为“U -数列”，写出所有可能的x 、y ；

（2）若“U -数列” A ：1a ，2a ，???，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”A ：1a ，2a ，???，0n a ，记

012max{,,,}n M a a a =???，其中12max{,,,}s x x x ???表示1x ，2x ，???，s x 这s 个数中最大的数，

求M 的最小值.

参考答案

一. 填空题

1. 3

2. 35

- 3. 2 4. 6 5. 160-

6. 1

12

7. 1 8. 12n n a -= 9. 3π 10. 3π

11. *()26k k N ππα=-∈ 12. 1

[,3]3

二. 选择题

13. C 14. B 15. A 16. B

三. 解答题

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）设平行于墙的边长为a ， 则篱笆总长3l x a =+，

即3a l x =-， ……2分

所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3

l

x ∈ （定义域2分） ……6分

（2）2

2

2(3)33()612l l y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3

l x ∈ ……8分

所以当且仅当6

l x =时，2

max 12l y = ……12分

综上，当场地垂直于墙的边长x 为6

l 时，最大面积为2

12l ……14分

18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解1：

（1）由题意，15OA SB ππ??=得5BS =， ……2分

故4SO =

== ……4分

从而体积2211

341233

V OA SO πππ=

??=??=. ……7分 （2）如图，取OB 中点H ，联结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH SO ∥，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角. ……10分 由SO ⊥平面OAB ?PH ⊥平面OAB ?PH AH ⊥.

在OAH ?中，由OA OB ⊥得AH ==

；……11分

在Rt APH ?中，90AHP O

∠=，122

PH SB ==，2AH =……12分

则tan 4

AH APH PH ∠==，

所以异面直线SO 与PA 所成角的大小arctan …14分

(其他方法参考给分)

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）令

101x

x

+>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分 因为B A ?，所以1

11a a ≥-??+≤?

，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分

（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分

1()()ln 1()x f x x ---=+-1

111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--??

===-=- ?-++??

……12分 而1

()ln32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22

f f -≠ ……13分 所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）抛物线Ω的焦点到准线的距离为2 ……4分 （2）设直线:l x my b =+

当0m =时，1x =和9x =符合题意 ……5分

当0m ≠时，11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标满足方程组24x my b

y x

=+??=?，

所以2

440y my b --=的两根为1y 、2y 。

216()0m b ?=+>，124y y m +=，所以2121242x x my b my b m b +=+++=+，

所以线段AB 的中点2

(2,2)M m b m + ……7分 因为1AB CM k k ?=-，1AB k m =

，所以2

225

CM m

k m m b ==-+-，得232b m =- 所以2

2

16()16(3)0m b m ?=+=->，得2

03m <<

因为4r

===23

m=（舍去）

综上所述，直线l的方程为：1

x=，9

x=……9分（3）设直线:

AB x my b

=+，

11

(,)

A x y、

22

(,)

B x y的坐标满足方程组

24

x my b

y x

=+

?

?

=

?

，

所以2440

y my b

--=的两根为

1

y、

2

y

2

16()0

m b

?=+>，

12

4

y y m

+=，

12

4

y y b

=-

所以

22

2

12

121212

40

44

y y

OA OB x x y y y y b b

?=+=?+=-=，得0

b=或4

b=……12分0

b=时，直线AB过原点，所以(0,0)

Q；……13分4

b=时，直线AB过定点(4,0)

P

设(,)

Q x y，因为AB

OQ⊥，

所以22

(,)(4,)40

OQ PQ x y x y x x y

?=?-=-+=（0

x≠），……15分

综上，点Q的轨迹方程为22

40

x x y

-+=……16分21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

解：（1）x=1时，

12

172

y

y

+>

?

?

+>

?

，所以y=2或3；

x=2时，

14

272

y

y

+>

?

?

+>

?

，所以y=4；3

x≥时，

12

72

y x

x y

+>

?

?

+>

?

无整数解

所以所有可能的x，y为

1

2

x

y

=

?

?

=

?

，

1

3

x

y

=

?

?

=

?

或

2

4

x

y

=

?

?

=

?

…… 3分（2）n的最大值为65，理由如下…… 4分

一方面，注意到：

1111

2

k k k k k k k

a a a a a a a

+-+-

+>?->-

对任意的11

i n

≤≤-，令

1

i i i

b a a

+

=-，则

i

b∈Z且

1

k k

b b

-

>（21

k n

≤≤-），故

1

1

k k

b b

-

≥+对任意的21

k n

≤≤-恒成立．（★）

当

1

1

a=，2017

n

a=时，注意到

121

110

b a a

=-≥-=，得

112211

1

()()()11101

i i i i i

i

b b b b b b b b i

---

-

=-+-+???+-+≥++++=-

个

（21

i n

≤≤-）

即1

i

b i≥-，此时

111221

121

()()()

1

012(2)(1)(2)

2

n n n n n

n

a a a a a a a a

b b b n n n

---

-

-=-++++-

=++???+≥+++???+-=--

（★★）

即

1

(1)(2)201712

n n --≤-，解得：6265n -≤≤，故65n ≤ …… 7分 另一方面，为使（**）取到等号，所以取1i b i =-（164i ≤≤），则对任意的264k ≤≤，

1k k b b ->，故数列{}n a 为“U -数列”，

此时由（★★）式得6516364

0126320162

a a ?-=+++???+=

=， 所以652017a =，即65n =符合题意． 综上，n 的最大值为65．

……… 9分

（3）M 的最小值为20028

8

n n -+，证明如下：

……… 10分

当02n m =（2m ≥，*m ∈N ）时，

一方面：由（★）式，11k k b b +-≥，

1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++-+-+-+-=-+-+???+-≥．此时有：

12121112211211122211()()()()

()()()()()(1)

m m m m m m m m m m m m m m a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b m m m m m ++++--++--+-+=---=++???+-++???+=-+-+???+-≥++???+=-

即

121()()(1)m m m a a a a m m ++≥++-

故121(1)11(1)

222

m m m a a a a m m m m M ++++-++-≥

≥≥ 因为02n m =，所以00

20

011(1)282228

n n n n M ++--+≥=………… 15分 另一方面，当11b m =-，22b m =-，…，11m b -=-，0m b =，11m b +=，

211m b m -=-时，111112()()10k k k k k k k k k a a a a a a a b b +-+--+-=---=-=>

取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>???>，122m m m a a a ++

11211

()(1)12

m m a a b b b m m -=-++???+=-+

2112211

()(1)12

m m m m m a a b b b m m +++-=+++???+=-+

此时20012128

(1)128m n n M a a m m -+===-+=．

综上，M 的最小值为20028

8

n n -+． ……18分