代数式与整式运算初四一轮复习导学案实验中学咸明媚

第三课时 题目：代数式、 整式运算 编者: 咸明媚 单位：实验中学

【学习目标】1．会用代数式表示简单问题的数量关系，并会求代数式的值.

2．会整式的有关概念及运算，会用幂的性质运算.

3通过观察、探究、归纳总结数学方法，提高解决问题的能力。

【学习重点】会用代数式表示数量关系及整式的有关运算 【学习难点】整式的有关运算 【学习过程】

一、知识梳理：知识框架

整式加减： 整式的加减运算实质就是先去括号再合并同类项．

整

式

单项式：

多项式：

同底数幂的乘法法则：同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。

用字母表示：即：n

m n m a a a +=?（m ,n 都是正整数）。 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示：即：()

mn n

m a a =（m ,n 都是正整数）。

积的乘方法则：积的乘方等于每一个因数乘方的积。 用字母表示：即：()n

n n b a ab =（n 是正整数） 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

用字母表示：即：n m n m a a a -=÷（n m a ＞,0≠）

整式乘法

单项式乘单项式法则：它们的系数、字母分别相乘，其余只在一个单项式里含有 的字母连同它的指数作为积的因式。

单项式乘多项式法则：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加． 多项式乘多项式

平方差公式：()()2

2

a b a b a b

+-=-

整式的除法

单项式除单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． 系数：单项式中的数字因数.

次数：一个单项式中所有字母的指数和.

定义：几个单项式的和叫做多项式． 次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 整式

多项式除单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项

除以这个单项式，再把所得的商相加．

法则：多项式与多项式相乘转化

乘法分配律?????→?单项式与多项式相乘

转化

乘法分配律

?????→?单项式与单项式相乘?→?

再把积相加．

公式：

完全平方公式：()2

22

2a b a ab b ±=±+

幂

的

运 算

有

理式

无理式

分式

代

数式

二、典型例题和题组训练

【例1】1.代数式 2011 ,π1

，xy 2 ,x 1 ,y 21- ，)(2011

1

b a + 中是单项式

的个数有（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

2.单项式2

32z

y x -的系数是 ，次数是 ．π的次数

是 ．22322--+ab b a c ab 是单项式 和，次数最高的项是 ，它是 次 项式，二次项是 ，常数项是 ．

题组一：1.判别下列各式是代数式的是_______，不是代数式的是___________.(填序号)

（1）a 2-ab+b 2；（2）S=1

2

（a+b ）h ；（3）2a+3b ≥0；（4）y ；（5）0；（6）c=2πR 。

2. 某件商品原价为a 元，先涨价20%后，又降价20%，现价是___________元. 温馨提示：:

1代数式中不能含有=、≥、≤、≠、﹥、﹤.

2.写代数式应注意的问题：(1)数与字母相乘，数写在字母的前面(2)带分数要写成假分数

⑶后面有单位的代数式是和或差的形式一定要加括号,积的形式不需加括号。（4）除号要写成分式的形式。（5）相同数或字母相乘要写成幂的形式。 题组二：练习下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，它们的次数分别是多少？

2x +1, a , -31x 2y , x 2+xy +y 2, 32+x , x

ab 2, xy +3 ,0.62, π，

温馨提示：①单个字母的系数为1②单项式的系数包括符号． 单独一个数的次数是0次。④多项式概念中的和指代数和，即省略了加号的和的形式．⑤多项式中不含字母的项叫做常数项．

例2．若代数式y x 64-与y x n 2是同类项，则常数n 的值是 温馨提示：同类项中相同字母的指数相同。

1.填空：(1) 如果3423x y a b a b -与是同类项，那么x = . y = . (2) 如果123237x y a b a b +-与是同类项，那么x = . y = .

2．已知213-+b a y x 与

252x 是同类项，求b a b a b a 2222

1

32-+的值。 温馨提示：同类项中相同字母的指数相同。 例3．先将下列代数式化简，再求值：

)2()(-+-+b b b a b a ）（,其中1,2==b a 。

mn 32

温馨提示：先用平方差公式，单项式乘以多项式把代数式化简，然后代入求值

题组三:[])2-(5))(()2(22x y y x y x y x ?--+-+，其中2

1

,2=-=y x

【例4】 1. （1）()()=

-?-6

5

33（2） 4

21??

?

??-xy = （3）

()

=

-3

12n x （4）()=

-3

2b （5）=÷47a a （6）()()

=

-÷-3

6

x x （7）=

??

? ??0

33-π（8）=

?+12m m b b （9）=-4

10

（10）=??-201025.1

2.（08上海）下列运算中，计算结果正确的是（ ）

（A ）x ·x 3＝2x 3； （B ）x 3÷x ＝x 2； （C ）（x 3）2＝x 5； （D ）x 3+x 3＝2x 6 ．

题组四：①()()=

÷xy xy 4

)1()21(0--③2

1___3-??

-= ???

;④

()

3.14____π-=.

【例5】 （1）若9

,3==n

m a a ,则=-n m a =-n m a 23 (2)若()0

2-x 有意义，则x 的取值为 (3)若13

4

2=+x ，则x= (4)如果2m a =，3n a =，则 m n a +=_____，___2=m a ____2-3=n m a ，

____23=+n m a

温馨提示：幂运算的逆向应用。幂的指数相减时化成同底数幂相除，幂的指数

相加时化成同底数幂相乘。 简称 “乘加除减 ”

【例6】①.(3xy 2)2·(－2xy) ②)3()4(2y x xy xy +?-

)2)(2(n m n m -+③

题组五:（1）计算)108()106(53???的结果是（ ）

A 、91048?

B 、 9108.4?

C 、9108.4?

D 、151048? （2） 32()a -= ；32(10)= ；32[()]x -= ；2a a ?＝ ；()3

22x -=

______．

(3)

()()______2232=-?-x y y x ___)()()(2

3=-?-?-y x x y y x

题组六:(1) )261(2a a a + (2) )3

1

2(22ab ab a +-

(3 ）－3x (－y －xyz) (4) 5)3)(2(++x x

(5) )31)(21(+-y y （6）)4

3

6)(42(-+x x

例7运用整式乘法公式进行计算：

（1）()()z y x z y x -+++ （2）()()()2

323232y x y x y x --+-

（2）（3）991019999?? （4）1181221232?-

温馨提示：（1）完全平方公式的拓展：()2

222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ （2）乘法公式:注意公式结构形式，①平方差公式左边是有一项完全相同，还有一项只有符号相反，结果等于相同项的平方减去不同项的平方;②完全平方公式是同号加上乘积的二倍，异号就减去乘积的二倍。③不是单个字母或数的，要加括号。

题组七:A ①()()=-+x x 8585，②()()33_________x y x y -++=， ③

_______

5.175.3722=-④

()=

+242x

(6)()=

-2

2a mn (7)()()()1122

+--+x x x

(8)()()()2

12113+---+-a a a

B 1.如果多项式92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）

A 、±3

B 、3

C 、±6

D 、6 2.如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是（ ）

A 、－4

B 、4

C 、－16

D 、16 温馨提示：完全平方式求乘积项的系数时注意有正负两种情况。

例8 、计算图中阴影部分的面积 。

温馨提示： 求面积时常采用割补法 ，把不规则的图形转化成几个矩形或是三角形的的和差形式。

例9：已知有理数a 、b 、c 满足 |a ―b ―3|+（b+1）2+|c －1|=0，求（－3ab ）·（a 2c －6b 2c ）的值。

温馨提示： ①几个非负数和为零，它们均为零。

② 常见的非负数形式有绝对值，平方或偶数次方，算术平方根。

题组九（08贵州安顺市）若|2|a -与2(3)b +互为相反数，则a b 的值为（ ）

A.-6

B. 1

8

C.8

D.9

三、拓展提高：

1、胡老师让同学们计算：“当3

1b ,21a -==

时，

求()()()()b a a 2b a b a b a 2

+-++-+的值”。小明不小心把试卷上的条件“3

1

b ,21a -==”给弄破了，他能完成任务

吗？为什么？

2、求值：（1－212）（1－213）（1－214）…（1－219）（1－21

10

）

3、计算：（1）

()()()()2

2

23234235x y x y x y x y ---+---；

（2）()()432432a b c a b c -++-

4、若6=+y x ，3=xy ，求22y x +的值。 5 、关于x 的多项式12

232++-x k

x x 不含x 的一次项，则k 的值为（ ） A 、

41 B 、 4

1

- C 、 4 D 、 4- 6、①若x 286432=?，则x = ；②若16324=?y x ，则2x +5y=

③ 201020113

15155

321352125.0）

（）（）（）（-?+?-= 7① 若1342=+x ，则x = ； ②8132797

413=÷?+++m m m ,则m=

③若10,222==+n m m x x ，则____=n x ④84,32==n

m ,则1232-+n m = ⑤若0235=--y x ，则=÷y

x 351010 ⑥若10,222==+n m m x

x ，则__=n x

⑦若10,222==+n m m x x ，则____=n x 8、若13=-a a ，则a =

9、 计算(-2)100＋(-2)99所得的结果是( ) A ．-2 B ．2 C ．299 D ．-299 10、已知：48421=++x x ，求：x 的值 11、已知：23a =，326b =，求3102a b +的值；

12、计算：① (-3a 2 b)2·(2ab 2 )÷(-9 a 4 b 2 ) （2）)4

3

(122423553y x xy z y x -?÷-

（3）)(5)2

1(22222ab b a a b ab a --+- （4） ()

()112-++x x x

（5）2

47242211393a b a b ab ????

-÷- ? ?????

（6）(a-2)(a-3)-(a-1)(a-4)

13、已知x+y=2，xy=-2，则 (1-x)(1-y)=_______ 四、中考接轨：

1. （2009年山东烟台）若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则m n = ．

2.（2009年齐齐哈尔）已知102103m n ==，，则3210m n +=____________

3. （2009陕西太原）下列计算中，结果正确的是（ ）

A ．2

3

6

a a a =· B ．()()26a a a =·3 C ．()3

26a a = D ．623a a a ÷=

3. （2009年浙江宁波）先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．

4. (2009年宁夏) 已知：3

2

a b +=

，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 5.（2009年北京市）已知2514x x -=，求()()()2

12111x x x ---++的值 6.（08孝感）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：22a b a b =-☆，则方程

(43)13x =☆☆的解为x = ．

五、 学习反思：这节课你有什么收获？

1. 知识上：

2.数学方法上

3.你向同伴学到的：

六、当堂检测

A 计算 :(1)、(y+3z)(y-3z) (2)、103×97 （3）(-8x+3)2

（4）9982 (5)(x-y+1)(x+y-1) （6）()()()()4

3

2

2222x

y y x x y y x --+--

（7） －23

ab c 2

π的系数是______，次数是______．

B 计算：（1） (-2b- 5)(2b -5)

（2）72()();a b b a -÷-

（3） 先化简，再求值:b b a b b a b a 2]6)2)(2()2[(2÷--+++，其中2

1-=a ，3=b

C 计算：

(1) 3（５a-6b ）+2(3a-4b) (2))2()2(23y x x -? (3)-5a （2a 2-3a +4）

( 4 ) (23)(1)x x +-- (5)（-15x 2y -10xy 2）÷（-5xy ）

D 1、若要使4

192++my y 是完全平方式，则m 的值应为（ ）。

A ．3±

B ．3-

C ．3

1

± D ．3

1-

2、（2）如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是（ ） A 、－4 B 、4 C 、－16 D 、1

七、作业

A(1) 4a 2c 5 (-3a 3bc 2) (2) (

12

x 2

y-2xy+y 2)(-3xy) (3) (3a –2)(a –1)–(a+1)(a+2) （4）（3x-6）(3x+6) （5） (28a 3-14a 2+7a)÷7 （6）（2x-1）（1-2x ）

（7）（3a-4b ）2-（2a-b ） （8）（3a-4b ）2·（-4b-3a ）2 B （1） x+y=-5，xy=3，求x 2+y 2及（x-y ）2的值。 (2)()()()[]

()x xy y x y x y x 242222

÷+-++-其中4=x