《常微分方程》答案 习题6.3

习题6.3

1. 试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态 (1)?????--=--=)32(4/1)1(y x y dt

dy y x x dt dx 解: 由???=--=--0

)32(4/10

)1(y x y y x x 得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2) 对于奇点(0,0), A=???? ?

?2/1001 由A E -λ=0得λ1=1>0,λ2=1/2>0

所以不稳定 对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2, 则A=???? ??---2/12/301 得λ1=-1, λ2=-1/2 所以渐进稳定

同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定 对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定 (2) ??

???+--=-+-=y x xy y x dt dy xy y x dt dx 2245665469 解: 由?????=+--=-+-0456********y x xy y x xy y x 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)

对于奇点(0,0)可知不稳定

对于奇点(1,2)可知不稳定

对于奇点(2,1)可知渐进稳定

(3) ?????>-+-==0),(2μμx y x dt

dy y dt dx 解:由?

??>=-+-=0,0)(02μμx y x y 得奇点(0,0),(-1/μ,0) 对于奇点(0,0) 驻定解不稳定

对于奇点(-1/μ,0) 得驻定解不稳定

(4) ?????

+----=-=)3/22)((322x y x xy y x y dt

dy x y dt dx 解: 由?????=+----=-0)3/22)((0322x y x xy y x y x y 得奇点(0,0),(1,1) 对于奇点(0,0)得驻定解不稳定 对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定

2. 研究下列纺车零解的稳定性 (1) 0652233=+++x dt dx x x dt d dt d

解:a 0=1>0,a 1=5>0,a 2=6>0 61152?

>0 a 3=1>0 所以零解渐进稳定 (2))(,,为常数μμμμx z dt dz

z y dt dy

y x dt dx -=-=-=

解:A=????? ??---μμμ0110

01 由A E -λ=0得01333223=+-+-μμλλλμ

得λ1=1-μ, λ2=i 23

21±+μ

i) μ+1/2<0 即μ<-1/2,渐进稳定 ii) μ+1/2>0 即μ>-1/2不稳定 iii) μ+1/2=0 即μ=-1/2稳定