数学建模遗传算法与优化问题

实验十遗传算法与优化问题

一、问题背景与实验目的

遗传算法（Genetic Algorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位．

本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．1．遗传算法的基本原理

遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．

（1）遗传算法中的生物遗传学概念

由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．

首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系．这些概念如下：

序号遗传学概念遗传算法概念数学概念

1 个体要处理的基本对象、结构也就是可行解

2 群体个体的集合被选定的一组可行解

3 染色体个体的表现形式可行解的编码

4 基因染色体中的元素编码中的元素

5 基因位某一基因在染色体中的位置元素在编码中的位置

6 适应值个体对于环境的适应程度，

或在环境压力下的生存能力可行解所对应的适应函数值

7 种群被选定的一组染色体或个体根据入选概率定出的一组

可行解

8 选择从群体中选择优胜的个体，

淘汰劣质个体的操作保留或复制适应值大的可行解，去掉小的可行解

9 交叉一组染色体上对应基因段的

交换根据交叉原则产生的一组新解

10 交叉概率染色体对应基因段交换的概

率（可能性大小）闭区间[0,1]上的一个值，一般为0.65~0.90

11 变异染色体水平上基因变化编码的某些元素被改变

12 变异概率

染色体上基因变化的概率（可能性大小） 开区间(0,1)内的一个值,

一般为0.001~0.01

13 进化、 适者生存 个体进行优胜劣汰的进化，一代又一代地优化 目标函数取到最大值，最

优的可行解

（2）遗传算法的步骤

遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：选择（Selection ）、交叉（Crossover ）、变异（Mutation ）．

遗传算法基本步骤主要是：先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．

下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：

第一步：选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间； 第二步：定义适应函数，便于计算适应值；

第三步：确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；

第四步：随机产生初始化群体；

第五步：计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；

第六步：按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体； 第七步：判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．

图1 一个遗传算法的具体步骤

产生初始群体 是否满足终止条件

得到结果 结束程序 是 否

计算每个个体的适应值

以概率选择遗传算子

选择一个个体

复制到新群体 选择两个个体进行交叉插入到新群体 选择一个个体进行变异插入到新群体

得到新群体

遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．

2．遗传算法的实际应用

例1：设2()20.5f x x x =-++，求 max (), [1,2]f x x ∈-．

注：这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．

在此将细化地给出遗传算法的整个过程．

（1）编码和产生初始群体

首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把1-到2这个区间内的数用计算机语言表示出来．

编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：

完备性：问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA 编码空间中的点（染色体位串）的表现型；

健全性：GA 编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解； 非冗余性：染色体和潜在解必须一一对应．

这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于区间长度为2(1)3--=，则必须将闭区间 [1,2]-分为6310?等分．因为216222097152231024194304=

将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）转化为区间[1,2]-内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab 程序参见附录4）：

1）将一个二进制串（b 21b 20b 19…b 1b 0）代表的二进制数化为10进制数：

21

212019102100()(2)'i i i b b b b b b x =?=?=∑

2）'x 对应的区间[1,2]-内的实数：

12)

1(2'122---?

+-=x x 例如，一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197．

'x =(1000101110110101000111)2=2288967

637197.01232288967122=-?+-=x 二进制串<0000000000000000000000>，<1111111111111111111111>，则分别

表示区间的两个端点值-1和2．

利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．

首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下：

pop(1)={

<1101011101001100011110>， %% a1

<1000011001010001000010>， %% a2

<0001100111010110000000>， %% a3

<0110101001101110010101>} %% a4（Matlab 程序参见附录2）

化成十进制的数分别为：

pop(1)={ 1.523032，0.574022 ，-0.697235 ，0.247238 }

接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．

（2）定义适应函数和适应值

由于给定的目标函数2()20.5f x x x =-++在[1,2]-内的值有正有负，所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率打下基础．

对于本题中的最大化问题，定义适应函数()g x ，采用下述方法：

min min (), ()0()0,f x F f x F g x -->?=??

若其他 式中min F 既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近K 代中()f x 的最小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．

若取min 1F =-，则当()1f x =时适应函数()2g x =；当() 1.1f x =-时适应函数()0g x =．

由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下（Matlab 程序参见附录3）：

f [pop(1)]={ 1.226437 , 1.318543 , -1.380607 , 0.933350 }

然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab 程序参见附录5、附录6）： 取min 1F =-，

g[pop(1)]= { 2.226437 , 2.318543 , 0 , 1.933350 }

（3）确定选择标准

这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：

对于给定的规模为n 的群体pop={123,,,

,n a a a a }，

个体i a 的适应值为()i g a ，则其入选概率为

1()(),1,2,3,,()i s i n i

i g a P a i n g a ===?∑

由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．

首先可得 41() 6.47833

0i i g a

==∑， 然后分别用四个个体的适应值去除以4

1

()i i g a =∑，得：

P (a 1)=2.226437 / 6.478330 = 0.343675 %% a 1

P (a 2)=2.318543 / 6.478330 = 0.357892 %% a 2

P (a 3)= 0 / 6.478330 = 0 %% a 3

P (a 4)=1.933350 / 6.478330 = 0.298433 %% a 4（Matlab 程序参见附录7）

（4）产生种群

计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab 程序参见附录8、附录11）．

要说明的是：附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitist model），具体内容将在后面给出介绍．

由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop(1)如下：

newpop(1)={

<1101011101001100011110>，%% a1

<1000011001010001000010>，%% a2

<1000011001010001000010>，%% a2

<0110101001101110010101>} %% a4

（5）交叉

交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．

我们把之前得到的newpop(1)的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）

<110101110 1001100011110>，<1101011101010001000010>

交叉得：

<100001100 1010001000010>，<1000011001001100011110>

<10000110010100 01000010>，<1000011001010010010101>

交叉得：

<01101010011011 10010101>，<0110101001101101000010>

通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体jchpop (1)如下：

jchpop(1)={

<1101011101010001000010>，

<1000011001001100011110>，

<1000011001010010010101>，

<0110101001101101000010>}

这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，这里就不着重介绍了．

（6）变异

变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．

现把刚得到的jchpop(1)中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop(2)如下：

pop(2)= {

<1101011101010001000010>，

<1000011001001100011110>，

<1000011011010010010101>，

<0110101001101101000010> }

然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．

（7）终止条件