【解析版】江苏省扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三3月第二次调研测试数学试题
2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013?南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向
量的坐标为（1，4）．
考点：平面向量的坐标运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：
由=，代入坐标即可运算．
解答：
解：∵=（2，1），=（3，5），
∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）
故答案为：（1，4）
点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题
2．（5分）（2013?南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（?R B）=（0，3]．
考点：交、并、补集的混合运算．
分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（?R B）即可得出正确答案．
解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故?R B={x|0＜x＜5}，
又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，
∴A∩（?R B）=（0，3]．
故答案为（0，3]．
点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．
3．（5分）（2013?南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．
考点：复数求模．
专题：计算题．
分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．
解答：
解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．
∴复数z的实部为．
故答案为．
点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．
4．（5分）（2013?南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣6．
考点：函数奇偶性的性质；函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x），得到答案．
解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，
∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e ln6=6﹣ln6
又∵f （x）是定义在R上的奇函数，
∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣6
故答案为：ln6﹣6
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．
5．（5分）（2013?南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．
专题：概率与统计．
分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．
解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为
64，65，67，72，75，80，81；
∴该运动员的平均训练时间为：=72．
故答案为：72．
点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．
6．（5分）（2013?南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．
考点：伪代码．
专题：图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．
∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，
故输出的S值为145．
故答案为：145．
点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．
7．（5分）（2013?南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经
过点，则该椭圆的离心率为．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．
解答：
解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，
∴双曲线的焦距为4，
∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），
∵椭圆经过点A，
∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，
可得a=2，所以离心率e===．
故答案为：．
点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．
8．（5分）（2013?南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，
则该圆锥的高为cm．
考点：点、线、面间的距离计算．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．
解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π?r=1cm，
∴h==cm．
故答案是．
点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．
9．（5分）（2013?南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一
个解析式为．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．
解答：
解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数
的图象，
函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．
故答案为：．
点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013?南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．
解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）
可得sinπx=
令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）
则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数
故交点关于（1，0）对称
又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D
则x A+x B+x C+x D=4
故答案为：4
点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键
11．（5分）（2013?南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．
考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：
由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：∵tan=，
∴tanα==＞1，
∴α∈（，），
∴cosα==，sinα==，
∵sin（α+β）=＜，
∴α+β∈（，π），
∴cos（α+β）=﹣，
则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．
故答案为：﹣
点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．（5分）（2013?南通二模）设数列{a n}满足：
，则a1的值大于20的概率为
．
考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．
解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，
∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，
分别取n=1，2．
则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．
当a3=8时，a2=6或a2=16，
当a2=6时，a1=4或a1=12，
当a2=12时，a1=10或a1=24，
∴a1的值大于20的概率为．
故答案为．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．
13．（5分）（2013?南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1?x2?x3?x4?x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．
考点：进行简单的合情推理；函数的值．
专题：新定义．
分析：
先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即
可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．
解答：
解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，
同样x2x3+x4x5≥2，
+≥2，
使三个不等式等号都成立，则
x1x2=x3x4=，
x2x3=x4x5=，
x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2
x2最小为1，
所以x1x2最小值为9，
此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．
故答案为：9．
点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．
14．（5分）（2013?南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数
图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．
考点：点到直线的距离公式．
专题：综合题．
分析：
设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组?kx2+bx﹣1=0．设
B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．
解答：
解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，
由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，
y1+y2=+==b，
设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），
依题意，k AD?k BC=﹣1，即?k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，
∴b=（b＞0）．
∵|BC|=|x1﹣
x2|=?=?=?
∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2?，
即=×?，解得：k=．
∵b=＞0，
∴k=，k2=，
∴d A﹣BC======2．
故△ABC的高为2．
故答案为：2．
点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）（2013?南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．
（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；
（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．
考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．
分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求
（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求
解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
于是，所以bc=4．…（3分）
因为，所以．
由余弦定理得．…（6分）
（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）
设BC的中点为D，则，
因为O为△ABC的外心，所以，
于是．…（12分）
所以当b=1时，c=4，；
当b=4时，c=1，．…（14分）
点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．
16．（14分）（2013?南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：
（1）AD∥平面PBC；
（2）平面PBC⊥平面PAB．
考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （1）由BC ∥平面PAD ，利用线面平行的性质定理即可得到BC ∥AD ，再利用线面平行的判定
定理即可证明AD ∥平面PBC ； （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可得PH ⊥平面ABCD ．于是BC ⊥PH ．又BC ⊥PB ，可得BC ⊥平面PAB ，进而得到面面垂直． 解答： 证明：（1）因为BC ∥平面PAD ，
而BC ?平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD=AD ， 所以BC ∥AD ．
因为AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ． （2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ， 所以PH ⊥平面ABCD ．
因为BC ?平面ABCD ，所以BC ⊥PH ． 因为∠PBC=90°，所以BC ⊥PB ， 而∠PBA ≠90°，于是点H 与B 不重合，即PB ∩PH=H ． 因为PB ，PH ?平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为BC ?平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ． 点评： 本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强
的推理能力和空间想象能力． 17．（14分）（2013?南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k 为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．
（每平方米平均综合费用=）．
（1）求k 的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
考点：
函数模型的选择与应用． 分析：
（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k 的值；
（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n ）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n ）的最小值，并求出层数． 解答： 解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米， 所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，
1270=
，
解之得：k=50．
（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），由题设可知 f （n ）=
=
+25n+825≥2
+825=1 225（元）．
当且仅当=25n ，即n=8时等号成立．
答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元． 点评： 本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．
18．（16分）（2013?南通二模）已知函数f （x ）=（m ﹣3）x 3
+9x ．
（1）若函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值为4，求m 的值．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分析： （1）函数f （x ）在R 上是单调函数，说明y=f'（x ）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒
小于等于0，根据f'（x ）=3（m ﹣3）x 2
+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x ）≥0在R 上恒成立，由此建立关于m 的不等式即可解出实数m 的取值范围．
（2）根据（1）的结论，当m ≥3时f （x ）在R 上为增函数，当m ＜3时在区间
，上单调递减，在区间
单调递增．再根据m 的取值结合函数的单调性建立关于m 的方
程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．
解答： 解：（1）求导数，得f'（x ）=3（m ﹣3）x 2
+9
∵f'（0）=9＞0， ∴f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数． …（3分）
又∵f'（x ）=3（m ﹣3）x 2
+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，
∴
，解之可得m ≥3，即m 的取值范围是[3，+∞）． …（6分）
（2）由（1）的结论，得当m ≥3时，f （x ）在[1，2]上是增函数，
所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．
所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，
在区间单调递增．…（10分）
①当，即时，得，
∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．
②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．
③当，即m≤0时，则，
∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意
综上所述，m的值为﹣2．…（16分）
点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．
19．（16分）（2013?南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．
考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；
（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．
法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．
解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．
直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）
直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）
由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）
（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），
直线MA1的方程是：y=（x+r），
直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）
解得．…（10分）
解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，
直线PQ的方程为．…（14分）
上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．
故直线PQ过定点．…（16分）
证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），
直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．
直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．
则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）
化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①
又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②
①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，
化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．
所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）
在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）
点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．
20．（16分）（2013?南通二模）设无穷数列{a n}满足：?n∈N*，a n＜a n+1，．记
．
（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；
（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．
考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）根据已知条件排除a
1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；
（2）由a n+1＞a n?n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而
，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；
解答：（1）因为，所以若a
1=1，则矛盾，
若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．
于是，
从而．
（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：
a n+1＞a n?n≥2时，a n＞a n﹣1，
所以a n≥a n﹣1+1?a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即
c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，
由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，
所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．
点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．
选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题0分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（10分）（2013?南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O 的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
求证：DE2=DB?DA．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：证明题．
分析：欲证DE2=DB?DA，由于由切割线定理得DF2=DB?DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．
解答：证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB?DA．所以DE2=DB?DA．（10分）
点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013?南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M 的逆矩阵M﹣1．
考点：逆变换与逆矩阵．
专题：计算题．
分析：
确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．
解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），
由，得
因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…
（3分）
依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，
而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）
故，
故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）
点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．
23．（2013?南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；
（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：直线与圆．
分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；
（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，
由得，
故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）
（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）
注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．
点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．
24．（2013?南通二模）选修4﹣5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．
考点：一般形式的柯西不等式．
专题：计算题．
分析：
利用柯西不等式，即可求得的最小值．
解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，
∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，
即
当且仅当a=b=c=时，取等号
∴当a=b=c=时，的最小值为1．
点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．
必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（10分）（2013?南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．
（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．
考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．
专题：空间角．
分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC 所成的角的大小；
（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），
，．
所以==，
所以向量与所成的角为，
故AA1与棱BC所成的角是．
（2）设P为棱B1C1上的点，
由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），
，，
由，得，
取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．
而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），
则=，
解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．
点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．
26．（10分）（2013?南通二模）设b＞0，函数，记F（x）
=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．
（1）求函数F（x）的单调增区间；
（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．
考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用． 专题： 计算题；综合题；导数的综合应用． 分
析：
（1）将f'（x ）求导数并化简得，然后再求F （x ）的导数得，由F'（1）=0并结合a ＞0建立关于a 、b 的方程组，解之即可得到
a=b=1，进而可得F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）利用二项式定理将不等式左边展开合并，得|[F （x ）]n
|﹣|F （x n
）|=
，利用基本不等式证出
，由此即可证出原不等式对任意的n ∈N *
恒成立．
解答：
解：（1）根据题意，得．
于是
，若a ＜0，则F'（x ）＜0，与F （x ）有极小值矛盾，所以a ＞0．
令F'（x ）=0，并考虑到x ＞0，可知仅当
时，F （x ）取得极小值．
所以解得a=b=1．…（4分）
故
，由F'（x ）＞0，得x ＞1，所以F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．
（2）因为x ＞0，所以记
得g （x ）=
根据基本不等式，得
， ∴将此式代入g （x ）表达式，可得
，
因此，|[F （x ）]n
|﹣|F （x n
）|≥2n
﹣2（n ∈N *
）．…（10分）
点评： 本题给出基本初等函数，在已知当x=1时函数取得极小值2的情况下求函数F （x ）的单调增区间，并依此证明不等式恒成立．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、
二项式定理和不等式的证明等知识，属于中档题．