关于序列收敛性的一个注记

随机变量序列的几种收敛性及其关系000

本科毕业论文 题目：随机变量序列的 几种收敛性及其关系 学院：数学与计算机学院 班级：数学与应用数学2008级八班 姓名：薛永丽 指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日

随机变量序列的几种收敛性及其关系 摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、 r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究. 关键字：随机变量序列收敛分布函数

目录 1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6) 4.随机变量∑=n k k n 1 1ξ依概率收敛的一些结果 (9) 5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)

几种收敛函数的介绍

概率论中的收敛-正文 概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。 设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种： 以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。 依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。 r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。 弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。由平均收敛可以推出弱收敛。 从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。 分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数?(x)， img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。 分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。 分布淡收敛设{F n(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x都有 ，则称F n淡收敛于F。 上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A崊B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。

§ 3.2 可测函数的收敛性

83 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差异. Egorov 定理和Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 设),,(μF X 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上进行的. 先介绍几乎处处成立的概念. 几乎处处成立的性质 设)(x P 是一个定义在E 上与x 有关的命题. 若 存在一个零测度集N , 使得当N x ?时)(x P 成立(换言之, })(:{不成立x P x N ?), 则称P (关于测度μ)在E 上几乎处处成立. 记为)(x P a.e.?μ, 或者)(x P a.e. 在上面的定义中, 若)(x P 几乎处处成立, 则集})(:{不成立x P x 包含在一个零测度集内. 若})(:{不成立x P x 是可测集, 则由测度的单调性知道.0}))(:({=不成立x P x μ 特别地, 当测度空间),,(μF X 是完备的时候如此. 例1 设给定两个函数f 和g . 若存在一个零测度集N , 使得当N x ?时),()(x g x f = 则称f 和g 几乎处处相等, 记为g f = a.e. 例2 设f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集N, 使得当N x ?时,+∞

函数列与函数项级数一致收敛性解析

第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌 握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判 别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别 法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性

对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =? ??=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性： 设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。 注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。

随机变量序列的收敛特性

概率空间 ?几乎必然收敛(almost sure convergence) –随机变量序列收敛到，同时 }{n X X {li – a.s. 1 }{lim ==∞→X X P n n X X =lim X X ?→?. s .a 表示为或者n n ∞→n →)} ()(lim :{???X X n n =∞→

?依概率收敛(convergence in probability) –随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε –p. 0}||{lim =>-∞→εX X P n n X X =lim X X ?→?.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大 |X X n -|

?均方收敛(mean square convergence) –随机变量序列以及满足,同时 }{n X X li ∞<}{2n X E –m.s. 0}){(lim 2=-∞→X X E n n X X =lim X X ?→?m.s. 表示为或者n n ∞→n →

?均方收敛(mean square convergence) –随机变量序列以及满足,同时 }{n X X li ∞<}{2n X E –m.s. 0}){(lim 2=-∞→X X E n n X X =lim X X ?→?m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s ?若，则X X n ?→?m.s.∞<}{2 X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛

?以概率分布收敛(convergence in distribution) –随机变量序列以及满足在任意连续的x }{n X X li )()(lim x F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者 X X n n =∞→lim X X n ?→?d. ?依据特征函数判断收敛–X X n ?→?d.––)} ({)}({X f E X f E n →)t ()t (X X n Φ→Φ

函数列的几种收敛性

函数列的几种收敛性 王佩 （西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070） 摘要: 讨论和总结函数列的收敛、一致收敛、处处收敛，几乎处处收敛、几乎处处一致收敛、依测度收敛、近乎收敛、近乎一致收敛、强收敛及其它们之间的关系和相关命题. 关键词：函数列；收敛； Several kinds of convergence for the sequence of funcations Wang pei (College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China) Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the sequence of funcations. Key words: the sequence of funcations; convergence;

一、 几种收敛的定义 1、 收敛的定义 定义1：设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n>N 时有ε<-a n a ,则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作lim n →∞ a n =a ,或()∞→→n a a n . 定义2：设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （≥a ），使得当x>M 时有 |f(x)-A|<ε,则称函数f 当x 趋于+ ∞时以A 为极限，记作 lim x →∞ f(x)=A 或f(x)→A(x →+ ∞).用c.表示. 2、一致收敛的定义 设函数列{f n (x)}与函数f(x)定义在同一数集E 上，若对任意的ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈E 都有| f n (x)- f(x)|<ε,则称函数列{f n (x)}在E 上一致收敛于f(x)，记作f n (x)→ f(x)，（n →∞）x ∈E.用u.c.表示. 3、几乎处处收敛的定义 设函数列{f n (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E 上，若函数列{f n (x)}在E 上满足mE （f n (x)→ f(x)）=0，（其中“→”表示不收敛于），则称{f n (x)}在E 上几乎处处收敛于f(x)，记作lim n →∞ f n (x)= f(x)a.e.于E ，或f n →fa.e.于 E.用a.c.表示. 4、几乎处处一致收敛 设函数列{f n (x)}与函数f(x)定义在同一可测集E 上，若函数列{f n (x)}在E 上满足mE （f n (x)?→?uc f(x)）=0，（其中“?→?uc ”表示不一致收敛于）， 则称{f n (x)}在E 上几乎处处一致收敛于f(x)，记作lim n →∞ f n (x)= f(x)a.e.于 E ，或f n ?→?uc f a.e.于E.用a.u.c.表示. 5、依测度收敛 设函数列{f n (x)}是可测集E 上一列a.e.有限的可测函数，若有E 上一列a.e.有限的可测函数f(x)满足下列关系： 对任意ζ>0有lim n mE [|f n -f|≥ζ]=0，则称函数列{f n }依测度收敛于f,或度 量收敛于f 记为：f n (x)? f(x).

函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值

实验二迭代法初始值与收敛性 (3)

实验二：迭代法、初始值与收敛性 一：实验要求 考虑一个简单的代数方程 210,x x --= 针对上述方程，可以构造多种迭代法，如211111,1,n n n n n x x x x x +++=-=+ =记录各算法的迭代过程。 二：实验要求及实验结果 （1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计 一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。 （2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？ 实验内容： ⅰ）对211n n x x +=-进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=x^2-1 clear n=30; x=-0.5; x1=x^2-1; for i=1:n x1=x1^2-1; xx(i)=x1; end m=linspace(0,29,n); plot(m,xx) title('x=-0.5') x=-0.6 x=1.6 如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。

分析：2()1n g x x =-，'()2g x x =，要想在某一邻域上'()21,[1,1]g x x x =，此时n x 相当于是在[1.65,]+∞范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。 ⅲ）对1n x +=n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。 编写MATLAB 运算程序如下： %迭代法求解 %令x=sqrt(1+x)

随机变量的几种收敛及其相互关系

论文

摘要 概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。 本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下： 一、随机变量的几种收敛的概念理论； 二、随机变量的几种收敛之间的关系； 从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。 关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

Abstract The Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance. Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.

函数极限的性质和收敛准则

§1.6 函数极限的性质和收敛准则 上一节我们引入了六种函数极限，即 ⑴ )(lim x f x +∞ → ⑵ )(lim x f x ?∞ → ⑶ )(lim x f x ∞ → ⑷ )(lim x f a x + → ⑸)(lim x f a x ?→ ⑹ )(lim x f a x → 它们具有与数列极限相类似的性质和收敛准则，证明方法也相类似。我们这里仅就第⑹种类型的极限作为代表来叙述其某些性质并证明其中一些，其他五种情形的性质及证明只要相应修改一下即可。 一、函数极限的性质 1Th （唯一性）如果)(lim x f a x →存在，则必定唯一。 证一：设)(lim x f a x →A =，B x f a x =→)(lim 。则 ,0,01>?>?δε当1||0δ?δ当2||0δ，取2 0B A ?= ε，则0>?δ，使当δ?δ，当00δ，则00>?δ，当00δ； 2） 若00>?δ，当00δ

随机变量序列的收敛性及其相互关系

长江大学 毕业论文 题目名称随机变量序列的收敛性及其相互关系院（系）信息与数学学院 专业班级信计11001班 学生姓名傅志立 指导教师李治 辅导教师_________ 李治______________

摘要：概率极限理论不仅是概率论的重要组成部分，而且在数理统计中有广泛 的应用。本文主要对a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛四种随机变量序列的概率和收敛性性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.

目录 1......................................................................................... 引 言2......................................................................................... a .e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的 概念、性质及其相互关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 2.2依概率收敛的概念及性质 2.3依分布收敛的概念及性质 2.4r-阶收敛的概念及性质 2.5结论 3......................................................................................... 随 机变量序列依分布收敛的等价条件4......................................................................................... 随 机变量 ∑ = n k k n1 1 ξ 依概率收敛的一些结果 5......................................................................................... 小 结6......................................................................................... 参 考文献

函数项级数一致收敛性

函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且

关于函数项级数的收敛性

关于函数项级数的收敛性 作者： xxx 指导老师：xxx 摘 要：级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问题，包括收敛和一致收敛，本文试图对函数项级数的收敛、一致收敛、非一致收敛的常用判别方法进行了较为系统的和总结，并对其中几种收敛性的判断方法作了重点讨论。 关键词 ：函数项级数 收敛 一致收敛 判别方法 1 引 言 作为数项级数的推广，函数项级数项级数的收敛性问题一直是数学分析中级数的重点和难点，在实际应用中也比较广泛。在这篇文章中，本文先对函数项级数的收敛给出本质说明，由于函数项级数的收敛与数项级数的收敛本质都是逐点收敛，因此这篇论文重点是论述函数项级数一致收敛的定义以及类似于数项级数收敛的判别方法或相关定理，并对某些定理的适用范围作出归纳。. 2 函数项级数一致收敛的定义 我们知道，所谓函数项级数 ()n u x ∑在某区间I 收敛，是指它逐点收敛.意即：对I 中 每固定一点x I ∈，作为数项级数，1 n u x n ∞ =∑（） 总是收敛的，因此对于收敛性，可以用数项级数的各种判别法逐点进行判断。 定义1 ：函数序列{()}n S x 在集合D 上点态收敛于是指对于任意的0x D ∈， 数列0()n S x 收敛于0()S x ，用” N ε-”语言来表示的话，就是：对任意给定的0ε>， 可以找到N ,当n>N 时，成立：0|()()|n S x S x ε-< 一般来说，这里的N 应理解为0(,)N x ε,即N 不仅与ε有关，而且随着0x 的变化而变化。 这意味着在D ，{()}n S x 的收敛速度可能大相径庭。如果{()}n S x 不仅在D 上点点收敛，而且在D 上的收敛速度具有某种整体一致性，也即此时的N 仅与ε有关而与0x 无关. （充要条件）设｛n S ｝是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列，若｛()n S x ｝在数集D 上一致收敛于 ()S x ,则称函数项级数 ()n u x ∑一致收敛于函数()S x ,或称()n u x ∑在 D 上一致收敛.

序列的收敛性与子序列的收敛性

序列的收敛性与子序列的收敛性 摘要: 本文研究序列的收敛性与子序列的收敛性之间的关系情况，分析和推导Bolzano-Welerstrass 定理和一些结论，得出序列和子序列的收敛的几种判定方法并应用于控制收敛定理的一个重要推广，这对于我们进一步了解序列与子序列之间的关系有着一定的意义。 关键词: 序列；子序列；收敛；极限 1 引言 在数学分析里，对于序列的研究主要是极限问题，但没有较系统地讨论序列的收敛性与子序列的收敛性的关系;本文主要分析序列与子序列之间的关系，从中得出一些定理和结论，这对于我们对序列收敛性判定和研究序列与子序列间的关系具有很大的帮助。 2 序列和子序列的定义及其相互关系 2.1 序列和子序列的定义 定义：若函数f 的定义域为整个全体正整数集合N +，则称 :f N R +→ 或 (),f n n ∈N + 为序列。 因为正整数集合N +的元素可按照由大到小的顺序排列，故序列)(n f 也可以写为 1234,,,, ,, n a a a a a 或者简单地记为{}n a ，其中n a 称为该序列的通项。序列可分为有界序列，无界序列，单调序列，常序列或周期序列等。从序列{}n a 中将其项抽出无穷多项来，按照它们在原来序列中的顺序排成一列： 1n a ，2n a ， ，k n a ， 又得一个新的序列{} k n a ，称为原来序列的子序列。 易见{} k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，所以总有k n k >，事实上{}n a 本身也是{}n a 的一个子序列，且是一个最大的子序列（k n =k 时）。

2.2序列与子序列之间的若干关系 定理1（Bolzano-Welerstrass ）：若序列{}n a 有界，则必存在收敛子序列 {}k n a ，若序列{}n a 无界，则必存在子序列{}k n a ，使k n a ∞→（或k n a -∞→）. 证明：（1）不妨设{}n a 中有无限多个不同的项，否则结论显然成立．用有限覆盖定理(见注释①)来证明结论． 设序列{}n a 为一有界序列，则存在,m M ，使 n m a M ≤≤ ()1,2,n = 下面先证明在[],m M 中存在一点c ，使该点任一邻域内有{}n a 中的无穷多项． 用反证法,若此断言不成立，则对任意[],a m M ∈都存在一邻域 () ,a a a a δδ-+，0a δ≠在此邻域内它有 {} n a 中的有限项， ()[]{},,,a a a a a m M δδA =-+∈构成[],m M 的一开区间覆盖．由有限覆盖定理, 存在有限子覆盖，即存在*j a ()1 ,2,,j k = ，使 []()* ***1 ,,j j k j j a a j m M a a δδ=?-+ 依反证假设， ()** **1 ,j j k j j a a j a a δδ=-+ 中至多含有{}n a 的有限项与 ()1,2,n m a M n ≤≤= 矛盾． 据以上证明，存在()11,1n a c c ∈-+，又在11,22c c ? ?-+ ?? ?中，存在一项2n a 使 21n n >，否则与c 的任何邻域中有{}n a 的无穷项矛盾，同样我们可以在 11,33c c ??-+ ???中找到一项3 n a ，使32n n >> 在11,c c k k ? ?-+ ??? 中找到一项k n a 使1k k n n ->> ，最终得到一个序列{} k n a 满足： （i ） {} k n a 是{}n a 的子序列

迭代函数对收敛性的影响

迭代函数对收敛性的影响 一、实验名称： 迭代函数对收敛性的影响 二、实验目的： 初步了解非线性方程的简单迭代法及其收敛性，体会迭代函数对收敛性的影响，知道当迭代函数满足什么条件时，迭代法收敛。 三、实验内容： 用简单迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。 方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(2 13x x x φ==?+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123 x x x φ==?-= 四、实验要求： （1）分别对方案一、方案二取初值00=x ，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。 （2）用MATLAB 内部函数solve 直接求出方程的所有根，并与（1）的结果进行比较。 五、实验编程: 简单迭代M 文件： 输出量：k 为迭代次数，piancha 为偏差，xdpiancha 为绝对误差，xk 为近似值 输入量：初值x0，迭代次数n ： function [k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai1(x0,k) % 输入的量--x0是初始值,k 是迭代次数 x(1)=x0; for i=1:k x(i+1)=fun1(x(i));%程序中调用的fun1.m 为函数y=φ(x) piancha= abs(x(i+1)-x(i)); xdpiancha=piancha/( abs(x(i+1))+eps); i=i+1;xk=x(i);[(i-1) piancha xdpiancha xk] end if (piancha >1)&(xdpiancha>0.5)&(k>3) disp('请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式') return; end if (piancha < 0.001)&(xdpiancha< 0.0000005)&(k>3) disp('祝贺您！此迭代序列收敛，且收敛速度较快') return; end p=[(i-1) piancha xdpiancha xk]'; 方案一编程如下：

函数项级数的一致收敛性及其应用之令狐文艳创作

函数项级数的一致收敛性及其应用 令狐文艳 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into

being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers 目录 1 引言…………………………………………………………………… (1) 2 函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………… (2) 2.1 函数列及其一致收敛性…………………………………………………………………… …2