欧拉积分及其应用
欧拉积分及其应用
摘 要: Beta 函数与Gamma 函数是数学分析中两个重要的积分，灵活应用这两个积分可以很好的解决数学计算中的一些问题，本文重点阐述了Beta 函数、Gamma 函数的性质和关关系，通过举一些典型的例子来说明他们的应用. 关键词: Gamma 函数；Beta 函数；含参量积分
Abstract: Beta function and Gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problems in mathematical calculations, this paper focuses on the Beta function, Gamma function, the nature and relationship, through the give some A typical example to illustrate their application.
Key Words: The Gamma function; The Beta function; Contain the parameter integral
引言
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域.欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.欧拉(euler)积分是其重要贡献之一，它广义积分定义的特殊函数，在概率论与数理统计及数理方程等学科中经常用到，本文重点阐述Beta 函数、Gamma 函数的性质，揭示二者所具有的关系及在数学分析、概率统计等学科中的应用，从而使复杂的题目有了更简单易懂的解决方法，同时这也揭示了数学的不同学科之间的密切联系，在提高解题能力的同时，也加深对数学的理解和应用.
1
111
(,)(1),0,0p q B p q x x dx p q ---=->>?
称为贝塔（Beta ）函数，（或写作B 函数）.
()10
,0s x s x e dx s +∞--Γ=>?
称为格马（Gamma ）函数，（或写作Γ函数）.
贝塔函数与格马函数在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，前者是第一
类欧拉积分，后者是第二类欧拉积分.
1. B 函数及其相关性质
1.1 B 函数的定义域 (,)B p q =
1110
(1)p q x x ---?
，当1p <时0=x 为瑕点，当1 定义域为.0,0>>q p 任何0,000>>q p ，在0,00≥≥q p p 内，1 110(1)p q x x ---?一致收敛，故 B 函数在定义域0,0>>q p 内连续. 1.2 B 函数的性质 性质1.2.1 (对称性) (,)(,)B p q B q p =. 作变换y x -=1，),(q p B = 1110 (1)p q x x ---? =1 110 (1)p q y y dy ---?=),(p q B . 性质1.2.2 （递推公式） (,)B p q = 1 (,1)1 q B p q p q --+-,(1,0>>q p )， （1） 1 (,)(1,)1 q B p q B p q p q -=-+-，)0,1(>>q p ， （2） (1)(1) (,)(1,1)(1)(2) q p B p q B p q p q p q --= --+-+-，)1,1(>>q p . （3） 当1,0>>q p 时，有 (,)B p q =1 110(1)p q x x ---? = 110 (1)p q x x P --+120 1(1)p q q x x dx P ---? =1112 1[(1)](1)p p q q x x x x dx P -------? = 111211 0011(1)(1)p q p q q q x x dx x x dx P P ---------?? = 11(,1)(,)q q B p q B p q p p ----， 移项整理即得（1）.公式（2）可由对称性及公式（1)推得，而公式（3）则可由 公式（1），（2）推得. 性质1.2.3 （其他形式） 在应用上， ),(q p B 也常以如下形式出现 (1) 令2cos x ?=，则有 (,)B p q = 11 1 (1) p q x x ---? =212120 2sin cos q p d π ???--?； (2) 令1y x y = +111x y -=+2 (1)dy dx y =+,则有 (,)B p q =1 1 1 0(1) p q x x ---?=1 (1) p p q y dy y -+∞++? ； (3) 考察11 (1)p p q y dy y -+∞++? .令1 y t =，则有 =10 (1)p p q y dy y -+∞++? =1 1 10(1) p q p q y y dy y --+++?(,)B p q . 2. Γ函数及其相关性质 2.1 Γ函数的定义域 ()10 ,0s x s x e dx s +∞--Γ=>? ， 1、积分区间为无穷； 2、当10s -<时，0x =为瑕点； 3、当0s >时，)(s Γ收敛. 写Γ函数为如下两积分之和： ()1 s x s x e d x -+∞-Γ=? =1 1 1 01s s x x x e dx x e dx --+∞ --+?? )()(x J x I +=， 其中1 10 ()s x I s x e dx --=?，1 1 ()s x J s x e dx -+∞ -=? . 当1s >时，)(s I 为正常积分；当01s <<时，)(s I 为收敛的无界函数反常积分.)(s J 对任何实数s ，都是收敛的，特别是0s >时收敛. 所以，Γ函数()1 s x s x e dx -+∞-Γ=? 在0s >时收敛. 2.2 Γ函数的性质 性质2.2.1 对任意0s >，()0s Γ>且(1)1Γ=. 性质2.2.2 (1)()s s s Γ+=Γ对任意0s >成立. 证明 有分部积分法得： (1)s Γ+=0 s x x e dx +∞-? =0 s x x e -+∞ -+1 s x s x e dx -+∞-? =()s s Γ. 性质2.2.3 l o g ()s Γ是(0,)+∞上的凸函数. 证明 只要证明对[1,)p ∈+∞， 11 p q +=1，1s ，2s (0,)∈+∞有不等式 12log ( )s s p q Γ+≤11log ()s p Γ+21 log ()s q Γ. 事实上，由Holder 不等式即得 12()s s p q Γ+=12(1)0s s p q x x e dx +-+∞-?=1 2110()()s s x x p p q q x e x e dx ----+∞? 121 1110 ()()s s x x p q x e dx x e dx +∞+∞----≤? ? =1211()()s s p q Γ Γ ， 性质得证. 出乎意料的是，Γ函数的以上三条性质完全确定了Γ函数.这就是说，任意定义在(0,)+∞上的函数，如果具有上面三条性质，那么它一定是Γ函数.这个意想不到的结果是由Bohr 和Mollerup 首先发现的. 性质2.2.4（图像） 设1+≤ =-Γ-=Γ=+Γ)1()1()()1(s s s s s s ).()()1(n s n s s s -Γ--= （1） 若s 为正整数1+n ，则（1）式可以写成 !!)1(12)1()1(0 n dx n n n n e x ==Γ?+=+Γ? +∞- . （2） 对一切0s >，()s Γ和''()s Γ恒大于0，因此()s Γ的图形位于x 轴上方，且是 向下凸的.因为(1)(2)1Γ=Γ=，所以()s Γ在0s >上存在唯一的极小点0x 且 0(0,2)x ∈.又()s Γ在0(0,)x 内严格减；在0,()x +∞内严格增. 由于()s Γ= ()s s s Γ=(1) s s Γ+ （0s >）及0l i m (1)(1)1s s + →Γ+=Γ=，故有0 (1) lim ()lim s s s s s ++ →→Γ+Γ==+∞. 由（2）式及()s Γ在0(,)x +∞上严格增可推得 lim ()s s →+∞ Γ=+∞. 综上所述，Γ函数的图像如下图0>s 部分所示. 性质2.2.5 （延拓） 改写递推公式(1)()s s s Γ+=Γ为 (1) ()s s s Γ+Γ= . 当10s -<<时， (1) s s Γ+有意义，于是可应用它来定义左端函数()s Γ在(1,0)-内的值，并且可推得这时()s Γ0<. 用同样的方法，利用()s Γ已在(1,0)-内有定义这一事实，由(1) ()s s s Γ+Γ= 又可定义()s Γ在(2,1)--内的值，而且这时()0s Γ>.依此下去可把()s Γ延拓到整个数轴（除0,1,2,3 s =以外），其图像如上图所示. 性质2.2.6 （其他形式） 在应用上， ()s Γ也常以如下形式出现 (1) 令2x y =，则有 = Γ)(s 10 s x x e dx +∞--? =dx e x x s 2 122--? (0)s >； (2) 令py x =，可得 = Γ)(s 10 s x x e dx +∞--? =10 s s py p y e dy +∞--? (0,0)s p >>. 3. B 函数与Γ函数的关系 当,m n 为正整数时，反复应用B 函数的递推公式可得 1 (,)(,1)1 n B m n B m n m n -= -+- = 121 (,1)121 n n B m m n m n m --???+-+-+. 又由于1 101 (,1)m B m x dx m -== ?，所以 1 (,)(,1)1 n B m n B m n m n -= -+- =121 (,1)121 n n B m m n m n m --???+-+-+ 1n-211 1m+n-2m+1m n m n -=???+- (1)!(1)! (1)! n m m n --= +-， 即 ()() (,)() n m B m n n m ΓΓ= Γ+. 对于任何实数0,0>>q p 也有关系式： ()() (,)() p q B p q p q ΓΓ= Γ+. 4. 欧拉积分的应用 4.1 欧拉积分在定积分中的应用 例 1 计算积分dx x k x x cos 11 sin cos 10 ++? π ，)10(< 分析 这道题目被积函数形式复杂，若变化技巧使用不当，则导致计算过程极为复杂，甚至无从下手.这里，我们不妨转化为欧拉积分计算. 解 令2tan 112tan x k k t +-= ，则有2 tan 112tan t k k x -+=. 利用三角恒等式可得 t k k t x cos 1cos cos --= ，t k k x k cos 11cos 12--=+，dt t k k dx cos 112--=. 将其代入原式得 dx x k x x cos 11 sin cos 10 ++? π dt t k k k t k t k k cos 111cos 12cos 112204----+-=?π dt t t k k 2 cos 2sin ) 1()1(2 10 2 14 341 ? -+-= π tdt t k k 2 120 214 34 1cos sin )1()1(2? - +-=π )43,41(21) 1()1(24 3 4 1B k k ?+-=)4341() 411()41(21)1()1(2434 1+Γ-ΓΓ?+-=k k 4 sin 21) 1()1(24 34 1ππ ? +-= k k 4 34 1) 1(2)1(k k +-= π. 4.2 欧拉积分在级数计算中的应用 例 2 计算级数01 2n n n ∞ ?? ??? ∑ 的和. 分析 这是一道级数的计算问题，采用普通方法计算，其过程将会很复杂，我们可以利用欧拉积分试一试. 解 0 1 2n n n ∞ ?? ??? ∑= 11 1!!(1)!! (2)!(2)!n n n n n n n n n ∞ ∞==-=∑∑ =11 ()(1)(,1)(21)n n n n B n n n ∞ ∞ ==ΓΓ+=+Γ+∑∑ =1 10 1 (1)n n n t t dt ∞ -=-∑? 由于当01t ≤≤时，1 0(1)4 t t ≤-≤ ，所以 111 0(1)()4n n n t t --≤-≤ 因而级数11(1)n n n t t ∞ -=-∑在[0,1]上一致收敛，于是有 20 1n n n ∞ ?? ??? ∑=11 0(1)n n t t dt --?=1101((1))n n t t t dt ∞-=-∑? = 1 01(1)t dt t t --?=1201 t dt t t -+? = 33 π . 4.3 欧拉积分在概率和数理统计中的应用 例 3 设)(~2n X χ，求EX . 分析 这是一道求卡方分布的期望的问题，我们可以令t x =2 ，将其转化为欧拉积分. 解 dx e x n x dx x x f EX x n n 21220) 2 ()21()(--∞+∞-∞ +??Γ?==?? dt e t n t n n t -∞+=??Γ=??→??022 2x )2(2)2 ()21(令 dt e t n t n n n -∞+-+?Γ??=?01 12 2 2)() 2(22)21( )12()2(2+ΓΓ=n n )2(2)2 (2n n n Γ??Γ= =n . 例 4 证明概率积分2 2 π = ?∞ +-dx e x . 分析 我们知道，著名的概率积分dx e x ?+∞ -0 2 及其推广形式dx e x x n ?+∞ -0 22 的 计算是至关重要的，其计算多数采用泰勒公式或转化成二重积分来处理，一般来说，过程比较复杂.但若令2x y =，将其转化成欧拉积分，再利用拉积分的性质，则可以迅速获得结果. 解 令2 x y =，则dy y dx y x 21 2 12 1,-==， 所以 dy y e dx e y x 2 1 2 12 -∞ +-∞ +-?? = 2 )21(21π=Γ= . 结束语 通过以上对B 函数Γ函数的性质、特点及其应用的探讨，我们对B 函数Γ函数已经有了一些大致的了解，这些都是最基本的.在数学分析中，B 函数与Γ函数是两个非常重要的非初等函数，人们曾经对此进行了细致的研究，如同三角函数和对数函数那样，还专门制作了B 函数和Γ函数表.在以后的学习中我们将继续研究Γ函数B 函数的重要性质,这次就简单介绍到这里. 参考文献 [1] 华东师范大学数学系. 数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,2001. [2] 毛信实,董延新. 数学分析.[M]. 北京:北京师范大学出版社,1900. [3] 郑英元,毛羽辉,宋国栋. 华东师范大学数学系,数学分析.[M]. 北京:高等 教育出版社,1900. [4] 北京大学数学系 .数学分析.[M]. 北京:高等教育出版社,1986. [5] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程.[M]. 江苏:江苏教育出版社,1998. [6] 何琛,史济怀,徐森林. 数学分析.[M]. 北京: 高等教育出版社,1983. [7] 沐定夷. 数学分析.[M]. 上海:上海交通大学出版社,1993. 文献综述 信息与计算科学 浅谈欧拉积分 微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念. 极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限. 到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献. 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之 指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）, 欧拉定理及其应用 欧拉函数phi(m)表示小于等于|m|的自然数中，和m互质的数的个数。 phi(m)=mΠ(1-1/p)//《算法导论》第531页 p|m 证明：若m为一素数p，则phi(m)=p-1。 若m为合数，存在p，使m=pd。 1、若p整除d，对任意a，(a, d) = 1，//注意a属于[1,d)那么(a + d, d) = 1， (a + d, p) = 1， 所以(a + d, m) = 1，所以(a + kd, m) = 1，k = 0, 1, 2, ... , p - 1， 所以phi(m) = p phi(d)。//则有任意和d互质的数加上kd继续互质，所以共有p*phi(d)个 2、若p不能整除d，那么(p, d) = 1，在小于|m|的自然数里，和d互质的有p phi(d)个， 其中phi(d)个是p的倍数，所以phi(m) = (p - 1) phi(d)。//显然，除d、2d、3d……pd能整除外，其余都不能整除 由数学归纳法得到结论。 欧拉定理：如果(a, m) = 1，那么a ^ phi(m) = 1 (mod m)。//可以参考《算法导论》 证明：设R(m) = {r[1], r[2], ... , r[phi(m)]}为和m互质的数的等价类的集合。 那么有(ar[i], m) = 1，ar[i] = ar[j]当且仅当i = j。 所以aR(m) = {ar[i]} = R(m)，a ^ phi(m) Πr[i] = Πar[i] = Πr[i] (mod m)，a ^ phi(m) = 1 (mod m)。 欧拉定理的一个重要意义就是计算a ^ b mod m的时候，若b是一个很大的数时，可以化成a ^ (b mod phi(m)) mod m来计算，明显地，b mod phi(m)是一个比较小的数。 当(a, m)≠1时，设对m分解质因数得到m = Πpi ^ ri，d = (a, m)，m = m1 * m2， 其中m1 = Πpi ^ri，那么(m1, m2) = 1，(a, m2) = 1， pi|d 所以a ^ phi(m2) = 1 (mod m2)。 由欧拉函数的计算公式可以得知phi(m2)|phi(m)，所以a ^ phi(m) = 1 (mod m2)。对任意i，pi|d，都有phi(m) >= log m >= ri，所以m1|d ^ phi(m)，m1|a ^ phi(m)。由于(m1, m2) = 1，所以存在整数r，0 < r < m，r = 1 (mod m2)，r = 0 (mod m1)， 有a ^ phi(m) = r (mod m)。 显然，a ^ 2phi(m) = 1 (mod m2)，a ^ 2phi(m) = 0 (mod m1)， 第十五章 积分变换法求解定解问题 １5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题 用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u 及其一阶导数是有限的． 15.1.1 弦振动问题 例15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数u 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法） 2000,()|() |()t t x x t t t u a u x u x u x ?ψ==?-=-∞<<∞?=??=? 【解】 应用傅里叶变换，即用i x e ω-遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x 积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： i i (,)(,)d 1(,)(,)d 2πx x U t u x t e x u x t U t e ωωωωω∞ --∞∞-∞==?? 简化表示为 [(,)](,)u x t U t ω=F 对其它函数也作傅氏变换，即为 ()() [][(])()x x ?ωψω==ΦψF F 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题 222200((,)0(,)|(,))(|)t t t U a U t t U t U t ωωωωωω==Φψ??+=????=??=? 上述常微分方程的通解为 i i (,)()()at at U t A e B e ωωωωω-=+ 代入初始条件可以定出 111()()()22i 111()()()22i A a B a ωωωω ωωωω=Φ+ψ=Φ-ψ 这样 i i i i 1111(,)()()()()22i 22i () ()cos()sin()at at at at U t e e e e a a at at a ωωωωωωωωωωωωωωωω--=Φ+ψ+Φ-ψ=Φ+ψ 最后，上式乘以1 2π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到 11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ??ψξξ+-=++-+? §4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用 欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。最后还要把欧拉定理应用于循环小数。 定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则 ()()1mod .m a m ?≡ 证 设()12,, ,m r r r ?是模m 的一个简化剩余系， 因(),1a m =，故()12,, ,m ar ar ar ?也是模m 的一个简化剩余系. 于是， ()() ()()()()()()()()()()1212 12 12 mod , mod , 1mod . m m m m m m ar ar ar r r r m a r r r r r r m a m ??????≡≡≡ 推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有 ()mod .p a a p ≡ 证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ?=-及欧拉定理得 ()()1 1mod ,mod .p p a p a a p -≡≡ 若p a ，则显然有()mod .p a a p ≡ 以上两个定理对数论的应用是非常多的。下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。 任何一个有理数都可以表示为 a b ，这里,a b 都为整数，且0a >。由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故 ,0 1.a bq r r r b b b b b +==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。 若对无限小数12 0.,n a a a （i a 是0,1, ,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一 位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有 n n t a a +=，则该无限小数可以写为 欧拉积分及其应用 摘要：本文阐述了欧拉积分的定义，重点论述Gamma 函数和Bate 函数的性质及其在 求定积分时的应用。对r 函数与B 函数的关系式的证明提出简便的方法，最后推出1 ()r m 的 计算表达式，及r(x)新的表示式，从而得到余元公式新的证明方法。使得对欧拉积分知识有了更深的认识，为定积分的求解提供了新的方法及思路，提高解题能力。 关键词：含参变量积分； Gamma 函数； Bate 函数； 余元公式 1、 知识预备 、(Bohr-Mollerup 定理)如果定义于（0，+ ∞）的函数f （x ）满足以下条件： （1）f(x)>0 x ?∈（0，+ ∞） f(1)=1； （2）(1)()f x x f x +=? x ?∈（0，+ ∞）（3）ln ()f x 为凸函数， 那么必有f(x)=r(x) x ?∈（0，+ ∞）。 、对于p 不是整数时 22 112(1)sin n n p p p p n π π∞==+--∑ 、对于0 欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数 目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15) 一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173 2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分: 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: 欧拉积分的运用及余元公式的证明 王国俊 01211071 徐州师范大学 数学系 徐州 221116 摘要 欧拉积分的应用十分广泛，本文着重讲了欧拉积分及其变形在积分计算中的运用,并给出了余元公式的一种新的证明方法,而且意外得到了欧拉积分的一种新的变形. 关键词 欧拉积分；Gamma 函数；Beta 函数；余元公式 现在我们很多时候解决问题的工具还是用初等函数来解决问题，这给我们研究带来很多不便.利用含参变量积分是引进非初等函数的一个重要途径.所谓欧拉积分正是如此.下面先介绍点预备知识： 在一般的数学教材中，欧拉积分定义如下： ) 0,0()1(),() 0()(1 1 1 010 >>-?=B >?=Γ----+∞ q p dx x x q p dx e x q p x ααα 两者分别称为Gamma 函数和Beta 函数,简称为函数函数和B Γ. 欧拉积分的几个基本变形： 函数Γ)1( 令2y x =, 就有 )0(2)(2 120 10 >?=?=Γ--+∞ --+∞ ααααdy e y dx e x y x 令py x =, 则有 )0,0()(10 10 >>?=?=Γ--+∞ --+∞ p dy e y p dx e x py x ααααα 特别地当2 1= α时，由华东师范大学编的数学分析第20章第二节例七有π=Γ)21 (并且 有)()1(αααΓ=+Γ 函数B )2( 令?2 cos =x 就有 ???π d q p p q 121220cos sin 2),(--?=B 令y y x += 1，则有 dy y y q p q p p +-∞ ++?=B ) 1(),(1 华北水利水电大学 题目《欧拉公式及其应用》 课程名称：高等数学（2） 专业班级：电子信息工程2012154 成员组成： 联系方式： 2013年5月31 日 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式，证明，应用 英文题目"Euler formula and its application" Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the. Key words: Euler formula Prove application 辽宁大学2020年全国硕士研究生招生考试初试自命题科目考试大纲 科目代码：636 科目名称：数学分析 满分：150分 《数学分析》考试大纲 1.实数集与函数 1.1 掌握实数概念及其基本性质。掌握实数绝对值的概念和有关的不等式。 1.2 掌握邻域概念, 掌握确界定理。 1.3 掌握函数的概念及各种表示方法,掌握复合函数和反函数的概念。 1.4 掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数等概念。 1.5 掌握六类基本初等函数的定义和性质。 1.6 掌握常用的几个非初等函数，如符号函数，狄利克雷函数等。 2. 数列极限 2.1 掌握数列极限的N -ε的定义, 会使用“N -ε语言”证明数列的极限。 2.2 正确理解和掌握收敛数列的性质。 2.3 掌握单调有界原理,致密性定理及Cauchy 收敛准则。 3. 函数极限 3.1 掌握函数极限的M -ε和δε-定义。 3.2 掌握函数极限的性质。 3.3 掌握函数极限存在的条件, 掌握归结原则及柯西准则。 3.4 掌握重要极限 1sin lim 0=→x x x 和 1lim(1)x x e x →∞+= 及其应用。 3.5 正确理解和掌握无穷大和无穷小的概念及无穷小的阶。 4. 函数的连续性 4.1 掌握连续函数的概念, 掌握间断点及其分类。 4.2 掌握连续函数的局部性质,掌握闭区间上连续函数的性质。 4.3 掌握反函数的连续性,掌握函数的一致连续性。 4.4 掌握初等函数在其定义域上的连续性。 5. 导数与微分 5.1 掌握导数的概念及其几何意义。 5.2 掌握求导法则,掌握参变量函数的导数法则, 掌握高阶导数的求法。 5.3 掌握微分的概念及其几何意义。 5.4 掌握微分的运算法则,了解高阶微分,了解微分在近似计算中的应用。 6. 微分中值定理及其应用 6.1 熟练掌握中值定理的条件、结论和证明方法。 6.2 掌握不定式极限的求法,熟练掌握洛必达法则及其应用。 6.3 掌握泰勒公式，掌握用多项式逼近函数的思想。 6.4 会分析函数的性态,会求函数的单调区间和极值，会判断函数的凸性和拐点, 会较完善地作出函数的图形。 7. 实数的完备性 7.1 理解区间套概念，能熟练使用区间套定理。 7.2 掌握聚点概念及各种等价定义，能熟练使用聚点定理。 7.3 理解（开）覆盖的定义并且会用集合术语表达，体会如何构造开覆盖并且会 用开覆盖定理。 7.4 知晓实数完备性的六种等价说法及其证明。 8. 原函数与不定积分 8.1 掌握原函数定义及唯一性（不计常数）。 8.2 掌握不定积分的定义、性质。 8.3 熟练使用换元公式和分部积分公式。 8.4 了解有理函数不定积分的计算方法。 8.5 了解某些其它类型不定积分的计算方法。 9. 定积分（Riemann积分） 9.1 深入理解定积分概念及其产生背景。 9.2 熟练掌握可积性的判别准则及可积函数类。 9.3 熟练掌握定积分的性质及积分中值定理。 9.4 重点掌握微积分学基本定理和Newton-Leibniz公式。 9.5 熟练使用定积分工具解决几何、物理和学科的问题。 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。欧拉定理指出:如果产品市场和要素市场.都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)相关。 费马小定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。 折叠应用 首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5)。与定理结果相符。 这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。 开题报告 信息与计算科学 浅谈欧拉积分 一、综述本课题的研究综述，说明选题的依据和意义 微积分成为一门学科来说是在十七世纪, 但是微分和积分的思想在古代就已经产生了. 公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积的问题中, 就隐含着近代积分学的思想. 作为微分学基础的极限理论来说, 早在古代就有比较清楚的论述. 比如我国的周庄所著的《庄子》一书的“天下篇”中, 记有“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细, 所失弥小, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念. 极限的思想方法可追溯到古代. 中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积, 求出圆周率 的近似值3.141024, 并指出: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至不可割, 则与圆合体而无所失矣”. 刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法, 正是极限思想的具体体现. 一个数列n a 如果当n 无限增大时, n a 与某一实数s 无限接近, 就称之为收敛数列, s 为数列的极限. 到了十七世纪, 有许多科学问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的因素. 归结起来, 大约有四种主要类型的问题: 第一类是研究运动的时候直接出现的, 也就是求即时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线的问题; 第三类问题是求函数的最大值和最小值问题; 第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力. 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作, 如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格, 英国的巴罗、瓦里士, 德国的开普勒, 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论, 为微积分的创立做出了贡献. 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一, 他不但为数学界作出贡献, 更把数学推至几乎整个物理的领域. 他对数学的研究如此广泛, 因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．欧拉(Euler)积分是其重要贡献之一, 它是以广义积分定 欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造 x i x x f e ix sin cos )(+= ，0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f , 使得x i x e ix sin cos += 分离变量积分法 假设x i x z sin cos +=，求导得 iz dx dz =，通过分离变量得,idx z dz =，然后两边取积分 欧拉定理 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。 生平简介 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ，1707年4月15日~1783年9月18日)，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,记作()d a f x x +∞ ? ,即 ()d a f x x +∞ ? =lim ()d t a t f x x →+∞?; 这时也称反常积分()d a f x x +∞? 收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d a f x x +∞ ?就没有意义,习惯上称为反常积分()d a f x x +∞? 发 散,这时记号()d a f x x +∞? 不再表示数值了. 类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限 lim ()d b t t f x x →-∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞ ? ,即 ()d b f x x -∞ ? =lim ()d b t t f x x →-∞?; 这时也称反常积分()d b f x x -∞ ?收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d b f x x -∞ ? 发散. 设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分 ()d c f x x -∞ ? 和()d c f x x +∞ ? （c 为常数） 都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积 分,记作()f x dx +∞ -∞ ? ,即 ()d f x x +∞ -∞ ? =()d c f x x -∞ ? +()d c f x x +∞ ? =lim ()d c t t f x x →-∞?+lim ()d t c t f x x →+∞? 这时也称广义积分()d f x x +∞ -∞ ? 收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞ -∞ ? 发散. 上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分. 2 无穷限广义积分的计算方法 2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分 由定义计算可以分两步: 1求定积分()d A a f x x ?=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式. 第十九章含参量积分 教案目地：1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP 教案时数：12学时 §1含参量正常积分 和引入含参积分:. 以实例一. . 定义含参积分和含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分. 1. 含参积分地连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 > P172 证上连续 . ( 在Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 则函数上连续. ( 在在, 上连续证> P173p1EanqFDPw 2. 含参积分地可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连 上可导, , 则函数且在续 . ( 即积分和求导次序可换> . ( 证> P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连 上, 且可微, 和续,函数定义在则含参积分值域在, 上可微, 在且DXDiTa9E3d . ( 证>P174 计算积分. P176. 例1 例2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 地阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 : 含参无穷积分. 一． 1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 为例介绍含参无穷积分表示地函数无穷区间> . 以.RTCrpUDGiT 2. 含参无穷积分地一致收敛性:, , 使地定义: 逐点收敛( 或称点态收敛> . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性> 设函数定义在上 . 若对 成立对, 则称含参无穷积分, 使 ( 关于在>一致收敛.5PCzVD7HxA Cauchy积分> 收敛准则Th 19.5 在上一致收( 敛, 对成立 . 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 例1 其中. 内非一致收敛 . P180但在区间jLBHrnAILg : 含参无穷积分与函数项级数地关系 3. 积分在上一致收敛Th 19.6 , 对任一数列在函数项级数, ↗, 上一致收敛. ( 证略>xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass M 判别法: 设有函数, 1. 使在上有 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F 之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。 数论定理编辑 内容 在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则: 证明 将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数） 我们考虑这么一些数： m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n) 1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有： mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR 关于欧拉定理问题及其应用 摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。 在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 一、欧拉定理和其推论的证明 （一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法 1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明：首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n 的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)， 考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样， （a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)浅谈欧拉积分【文献综述】
无穷限广义积分的计算(1)
欧拉定理及其应用(注解版)~~YT
11(3)第十一章3 积分变换法求解定解问题
4 欧拉定理
欧拉积分及其应用
欧拉公式的应用
数学分析之含参量积分
(积分法)欧拉积分,余元公式
《欧拉公式及其应用》
636数学分析
欧拉定理
浅谈欧拉积分【开题报告】
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉定理
最新无穷限广义积分的计算(1)
数学分析教案华东师大版第十九章含参量积分
欧拉定理
数论论文-关于欧拉定理问题及其应用