第四章叶栅理论

第四章 叶栅理论 §4—1 概 论

把按照一定规律排列起来的相同机翼之系列，叫做翼栅。翼栅问题是单个机翼问题的推广。翼栅理论在工程上得到广泛应用，特别是在叶片式流体机械方面。因此，翼栅常被称为叶栅，组成它的机翼也就叫做叶片了。 一、叶栅几何参数

表征一个叶栅的几何特征的参数，叫做叶栅的几何参数。叶栅的几何参数主要有下列几个：

(一)列线

栅中诸叶片上各相应点的联结线，称为叶栅的列线。通常都以叶片前后缘点的联线表示之。实际上所遇到的列线，其形状有两种：一为无限长直线；另

(见图4一

1)。

(二)栅轴

垂直于列线的直线叫栅轴。但对圆周列线的叶栅，把旋转轴定义为其栅轴。 有些文献中，把上述列线叫做栅轴，而不再引用列线这一名词。 (三)叶型

叶片与过列线的流面交截出来的剖面形，叫叶栅的叶型。其一几何参数见翼型。

图4—1直列叶栅与环列叶栅

(四)栅距

列线上二相邻的相应点间的线段长度，叫叶栅的栅距或栅隔，用字母t 记之。对圆列线叶栅，不引用此参数，而用角距n

π

2(n ——叶片数)代替它。 (五)安放角

叶型的弦与列线间之夹角e β，称为叶型在叶栅中之安放角。叶型中线在前、后缘之切线

与列线之夹角'e β、''e β分别叫作叶型的进、出口安放角。对圆列线叶栅，只引用后二个参数。 （六）疏密度

栅中叶型弦长l 与栅距t 之比值t l /，叫做叶栅的疏密度。而把其倒数l t /，称为相对栅距。圆列线叶栅不引用此参数。 二、叶栅分类

在工程实际当中所遇到叶栅多种多样，为便于分析和讨论问题，可以给这些叶型加以分 类。但从不同角度又可得出不同的分类，这里仅就水力机械中常用到的分类法，介绍两种。

(一)根据绕流流面分类叶栅

1．平面叶栅

如能将绕叶栅液流分成若干等厚度流层，这些流层本身为平面或这些流层虽为曲而，但若沿流线切开后，能铺展成一平面者，称这类叶栅为平面叶栅。绕这类叶栅的流动为平面流动。

例如水轮机的导叶叶栅，低比速水轮机和水泵的转轮叶栅等，绕流这些叶栅的流面本身就是平面；而轴流式水轮机、水泵和风机等转轮叶栅之流面，虽为圆柱面，但顺流线切开后可展成平面。所以上述叶栅均为平面叶栅。

2．空间叶栅

如果无论怎样分绕叶栅的液流，既得不到平面流层，也得不到可以展成平面的曲面流层时，则叶栅就叫空问叶栅。混流式水轮机及泵叶轮属于这类叶栅。

(二)按展开流面上列线形状，还可分叶栅成；

1．直列叶栅

列线成一无限长直线者为直列叶栅。轴流式叶轮属于此类叶栅(图4-1a)。

2．环列叶栅

列线为一圆形围线者，称环列叶栅。低比速水轮机及水泵叶轮，均为环列叶栅(图4-1b)。

三、叶栅绕流问题提法

叶栅理论所讨论的问题，可以分成两个基本类型：

(一)正问题

给定叶栅和栅前无穷远处来流，要确定叶片表面及其周围空间的流速分布及栅后无穷远处流功情况。这类问题通常就叫做绕叶栅流动正问题。

(二)反问题

给定叶栅前、后无穷远处速度，及某些叶栅几何参数，要求作出叶栅。这样提出的问题，常称为绕叶栅流动反问题。

正问题是叶栅理论的基础，叶栅绕流总是从正问题入手，建立它的理论。反问题是设计叶栅，是机器制造中的首要任务。

不可压缩流体叶栅理论，目前对平面叶栅比较成熟。可认为任意叶型所组成的叶栅之平面势流问题都已解决，并被广泛应用于工程实际中。空间叶栅理论，则还处于探索阶段。本书主要介绍平面叶栅的绕流。

四、栅中叶型的受力

在平而机翼理论§3一3中，我们得到了单个机翼受力的库达一茹可夫斯基定理。在平面直列叶栅情况下，使用动量定理，则可导出一个类似的结果。

如图4-2a为一被绕流的直列叶栅。栅前、栅后无限远处流速，分别为'ω和''ω。坐标系取法如图：y轴与列线平行，x轴与它成右手系。

图 4-2 栅中叶型的受力

取垂直于纸面为一单位厚的封闭控制面ABCD :AB 与DC 为二相邻的相应流线；AD 及BC 则取再叶栅前、后充分远处并与列线平行，那里流动已趋于均匀。对流出、流进此控制面的流体，列出它们沿坐标轴方向的动量方程：

()()()'

''

'''

'''x

x x y x x p p t R

Q R Q ρωωρωω--=--=-

其中''',p p 为叶栅前、后充分远处的压力；,x y R R 为流体对叶型作用力R 的坐标分量。

由连续性方程：

'''

x x Q t t ωω==

从而 '''

x x x ωωω==

代入动量方程得

()'

''

0x

p p t R

--=

或 ()

'''

x R p p t =-

()'''

y x x x R t ρωωω=-

为进一步改进所得结果，在上、下游断面AD 与BC 处列出伯努利方程式：

()()'2'2''2''21122

x y x y p p ρωωρωω+

-=+- 从而 ()'''''2'2

12

y y ρρρωω-=-

把这代入上面得到R x 之结果中则

()()''2'2''2'2

12

x y y y y y R t R t ρωωρωω=

-=-- 把上、下游速度的向量平均值，叫做绕叶栅流动的无穷远平均速度，并用记号ω∞表示：

()'''

'''1

22

y y x i j ωωωωωω∞+=+=+

注意此时饶叶型环量为:

()'''

''

'

'''s ABCDA

s y s y AB BC

CD

DA

s y s y AB

BC DC AD y y ds

ds dy ds dy

ds dy ds dy

t

ωωωωωωω

ωω

ωωΓ==+++=+--=-?

????????

把ω∞及Γ代入叶型受力的表达式得

x y y x R R ρωρω∞∞=Γ=-Γ

(4-1)

这就是作用在叶型上的力之两个坐标分量。合力的大小为

R ρω∞==Γ

并由于

0x y y x x y R X Y ωωωρωωρωω∞∞∞∞∞∞∞?=+=Γ-Γ=

可见R 与ω∞垂直，结合式(4一1)更可看出R 的方向为将ω∞逆环流转90

的方向(见图4-2

b )。

如果令相邻两叶片间距离t 无限增大，而保持环量Γ不变，则由

()'''

y y t ωωΓ=-

推知

'''0y y ωω-→

这就是说，留在有限位置上的那个叶片前、后充分远处的流速'ω、''

ω完全一样了。这个离叶片充分远处的流速用ω∞代表，则叶片此时所受升力为R ρω∞=Γ。因此，孤立翼型可视为叶栅绕流的一个特殊情况，而叶栅绕流时茹可夫斯基升力公式的更一般形式是 R ρω∞=Γ (4-2) 五、等价叶栅

在叶栅的计算中，某一叶栅动力特性的有关数据，常常是通过已被详细地进行过理论分析，并精确地掌握其动力性能的另一个，所谓等价叶栅取得的。因此有必要介绍一个等价叶栅的概念。

栅距相同，但叶型不同的两个叶栅，如对无论怎样的来流速度，二栅中叶型全能给出相等的的升力，则此二叶栅叫互为等价的叶栅。

任何叶栅存在与它等价的叶栅，则此等价叶栅中叶型形状可以完全任意。特别是任何叶栅都可以找到与其等价的平板叶栅，这是可被证明的。

设给定一平面直列叶栅，取一代表流面z ，栅中二叶栅AB 与''

A B ，栅距为t ，并取坐标系使y 轴与列线平行(见图4-3 a )。已知当来流沿β角方向时，绕流是无环量的；设来流速度大小等于1、无环量绕流时的复势为()W f z i ?ψ==+。以()W f z =为保角变换函数，则

z 平面上给定的叶栅就变换成w 平面上与实轴ψ平行的平板叶栅(图4-3b )，设AB 与

''A B ，分别为z 平面上二叶型的像。如再用函数i We βζ=作一次转轴变换，则在ζ平面

上得到与实轴成β角的平板叶栅(图4-3c )，此栅必为z 上原给定叶栅的等价平板叶栅。也就是说，它与原叶栅距t ；且无论对怎样的来流，二栅中叶型都将提供相等的升力。

为了证明ζ上的平板叶栅与z 上原叶栅具有相同的栅距t ，我们引进同态点概念。在叶栅绕流的流场中，把二个沿列线方向相距若干栅距的点叫同态点，因为在这些点流动具有相同的动力状态，譬如具有相同的流速。由上述，如z 与'

z 为z 上二同态点，则它们应满足：

图4-3任意叶栅及其等价平板叶栅 n 为正整数、i 为虚数单位。在这些点流速相同

()()''f z nti f z +=

或积分后得

()()n f z nti f z c +=+

对前驻点A 与'

A 为相隔一个栅距(n =1)的同态点上式可写成

()()'f A f A c =+

显然只要能计算出常数c ，就可确定w 上平板叶栅的栅距，为此，在z 上距叶栅很远的左

前方，取二与'A 、A 处于相同流线上的同态点'

M 、M (图4-3 a )，于是

()()()()()()()()()()'

'''''

''

'M M M M y x M

M M M c f A f A A A i A A M M i M M dy i dy dy i dy

y y

??ψψψψψψ?

ψυυ????=-=-+-????????=-+-????

??=+=+???

???

()sin cos cos sin i t it ti i c tie

β

ββββ-=+=-=

可见，w 平面上平板叶栅的栅距与z 上原栅距相等同为t 。而ζ上板栅系由w 上板栅经

旋转变换而来，因此不会改变点与点之间的距离，比如A 与'

A 间仍应保持t 的距离，即ζ上

板栅的栅距为t 。

当来流沿平板方向流来(即来流具有方向角β)时，则平板与叶型同时具有为零的升力。我们将进一步适明，在任意来流情况下，它们将提供相等的升力。这只须能证明平板和叶栅周围会产生相同的环量即可。而这又只需证明对任意来流绕流它们时，栅后速度相等。对某一来流设平板后()ζ=+∞流动速度为''''

i e

αω，绕流复势()W F ζ*=，则z 上相应流动的复

势()()

[]i W F e f z g z β

==。由此计算

()''''||i dF dW e d d αζζζωζζ

*

-=+∞=+∞== 对同一来流原叶型叶栅、栅后速度可如下计算

''''|||i i z z z dW dg dF d df e e d dz d dz dz αβζωζζ-=+∞=+∞=+∞+∞

??===???? 这说明对同一来流，两个叶栅给出相同的栅后流速。这就证明了前述的论断。

由上述讨论可以得出结论：对任何平面直列叶栅都存在与它等价的平板叶栅。等价平板叶栅的栅距等于原叶栅的栅距t ，安放角由原栅无环量绕流角β决定，板长l 由原栅无环量绕流速度势函数求得：()()l B A ??=- (图4-3b )。

因此，某叶栅在任意绕流情况下，其升力、环量、升力系数等表示动力特性的数据，均通过其等价平板叶栅定出来。而平板叶栅的绕流是已被详尽地研究过，并精确地掌握了的。 六、栅中流动的一般特征

当叶栅被绕流时，叶型周围流速分布，决定于栅距，安放角，叶型几何形状和来流情况。 在栅中叶型的前驻点1s 和后驻点2s ，流速为零。其附近区域中的流速与距前驻点的弧长s 呈线性关系。

近似可认为该区中速度分布，与一半径等于再12,s s 处曲率半径12,R R 的圆柱，

被无限远来流，流速分别为''',ωω所绕流时，其前驻点和后驻点附近的流速分布是一样的。 在前、后驻点附近，叶型围线上分别具有与''',ωω平行的切线的点12,A A 处的流速会出现极大值。此值一般大于'

ω和''

ω。

在叶间流道内，流速分布取决于流道密度和叶型围线曲率。一般流道中，靠叶型上弧这边流速比靠叶型下弧那边流速要大。对加速叶栅，随流道变狭和围线下弧部分曲率的减小而流速增加；对减速叶栅，则随流道加宽及上弧曲率变小而流速减小。对任何叶栅，在流道出口处，流速近乎均布，且就等于栅后无限远处流速。

§4-2环量及栅前流动方向问的关系

这节要导出绕栅中叶型的环量随栅前来流方向改变而变化的规律。应用这一规律可以计算任意冲角下，栅中叶型的环量，而只要事先掌握两个该叶栅的特征环量。 设已研究过给定叶栅的两个基本流动：

(一) '

'110,1αω==即'

111,0x y ωω== ('1α为来流与栅轴x 方向的夹角，参看图12-2)，

令绕流速度势为1(,)x y ?并叶型环量记为1γ。 (二) '

'22,12

π

αω=

=即'

22

0,1x y ωω==时，绕流的速度势函数为2(,)x y ?、环量2γ。

在任意来流',αω'即''''

cos ,sin x y ωωαωωα==时，用(,)x y ?代表其速度势，Γ是叶型环量。根据势流叠加原理

''''12(,)(,)sin (,)x y cos x y x y ?ωα?ωα?=+

实际上直接验算可以证明，上表示式满足无限远及叶型周界处的边界条件。并由此式可推出环量表示式为

''''12sin cos ωαγωαγΓ=+

令β表示叶栅无环量绕流方向角时，代进上式得

''''120sin cos ωβγωβγ=+

从而得无环量绕流角β与特征环量12,γγ间关系为：

1

2

tan γβγ=-

此外，再引记号12,γγ分别应取做

12sin cos γγβ

γγβ

=-=

把它们代回前之Γ表示式得

()''sin ωγαβΓ=-

或 '

sin ωγδΓ=

式中'δαβ=-是由栅中叶型的动力翼弦起算的冲角。

此结果说明：绕流叶栅时，栅中叶型的环量与栅前来流的动力冲角之正弦成正比。

§4-3 叶栅特征方程

栅前流动已知时，则叶栅完全确定了栅后的流动。叶栅能决定栅后流动的这种性能，称为叶栅的动力特性。在水力机械中，常通过叶栅特征方程来表示叶栅的动力特性，故特征方程是分析叶栅（从而水力机械）的工作性能的重要工具。

以下我们就对各种叶栅分门别类地建立他们的特征方程式。 一、 不动叶栅的特征方程式

首先让我们导出不动直列叶栅的特征方程。设有二运动不相似的绕此栅的平面有势流动，已测得它们栅前、后的流速分别为

1. ''

''''111111(,)

(,)x y x y ωωωωωω==

2. ''

''''222222(,)

(,)x y x y ωωωωωω==

若又有另外任一绕此栅的流动，只要知道了它栅前的流动时，则其栅后流动就可被定出。设

栅前速度为''

(,)x y ωωω=由于前述二绕流为运动不相似，则向量'1ω与'

2ω是线性无关的。因

此，'

ω可表以它们的线性组合。

'''

12

a b ωωω=+ 其中，a ，b 为二常数。再根据势流特性，则所求的栅后流速''''

(,)x y ωωω=就应该是：

''''''12

a b ωωω=+ 把上面二向量方程改写成标量形式得：

12'''

12''''''12x x x

y y y y y y

a b a b a b ωωωωωωωωω=+=+=+ 由前二方程解出b a ,代入第三个方程中

''2'

2'121'

'11''1'

2'121'

2'2'

'y y

y x

x y

y x

x y y

y x

x y

y x

x y ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+

=

经进一步改写，上式可写成下列形式

x y

y x

x y

y y

y y y

y x

x y

y x

x y ωωωωωωωωωωωωωωωωωωω'

2'121'

2'121'

'

2'121'

2'121''+

=

方程右端两项的系数，由于先已测得绕流叶栅之二个流动的栅前、后之流速，所以它们是已 知的，用字母m K ,表之则

x y y m K ωωω+='

''

式中 '

2'121'

2'121'

2'121'2'121,y

y x

x y

y y

y y

y x

x y

y x

x m K ωωωωωωωωωωωωωωωω=

=

此即不动平面直列叶栅特征方程的雏形。

水力机械中习用的是写成环量及流量形式的特征方程，因此尚须进一步改写所得结果。首先，代替系数m 引入另一系数0i ，它们之间存在如下关系：

0)1(i K m -=

引用0i 后，上结果可改写成

x y y i K K ωωω0''')1(-+=

其次，设所考察的平面直列叶栅，系由轴流式叶轮半径为r 的单位厚圆柱面流层所展成。

以列线长r π2同乘上式两端得

x y y r i K r K r ωπωπωπ2)1(220'

''-+=

注意到y 是沿列线的方向，x 则为垂直列线方向(参看图4-2)，则'

'''''2,2y y r r ωπωπ=Γ=Γ分别应为栅后和栅前的环量，x r Q ωπ2=为通过单位厚圆柱流层的流量。采用这些记号后，上述等式变成

Q i K K 0''')1(-+Γ=Γ （4-4） 这就是水力机械中，分析不动直列叶栅的栅前、后流动的特征方程式。

式（4-4）中的系数0,i K 如前所述它们可通过测量两个绕给定叶栅的栅前、栅后流动求

出。实质上，这是两个依赖于叶栅几何特性的系数。对不同叶栅它们将采取不同数值，因此称它们为叶栅的特征系数。以下分别讨论他们的物理意义。

设有两个流量相等，绕过同一叶栅的不同流动。对此二流动，分别列出他们的特征方程

Q i K K 0'1''1)1(-+Γ=Γ Q i K K 0'2''2)1(-+Γ=Γ

二式相减

''2'1''2''1'')(?Γ=Γ-Γ=Γ-Γ=?ΓK K

所以

'

'

'?Γ

?Γ=K 这结果说明：K 为在流量不变时，当栅前环量有了一个单位变化时，所引起的栅后环量的改变量。当叶栅无限稠密)/(∞→t l 时，由于此时叶片无限多，无限薄，栅中流体完全被叶片所持。不管栅前来流沿什么方向冲向叶栅，而栅后流动将始终沿叶片出口的切线方向流出。

从而0'

'=?Γ故0=K 。又当叶栅无限稀疏)0/(→t l 时，这相当于在有限远处只有一个叶片，叶栅前、后流动始终一样。则'''?Γ=?Γ故1=K 。一般情况下)/0(∞<>K 。

并因此把K 称为叶栅的穿透系数。

为讨论0i 的物理意义，考察一个栅前、栅后环量相等时的叶栅绕流。设0'''Γ=Γ=Γ代入特征方程式（4-4）：

Q i K K 000)1(-+Γ=Γ

00

00tan 22βωπωπ==Γ=

x

y r r Q i 由于'

'

'Γ=Γ时，绕叶型环量将为零，从而叶片升力为零。把此种绕叶栅之流动，叫零流动。

0β是零流动的方向角，00tan β=i 为零流动方向系数，常称它为零向系数。

（二）、不动环列叶栅特征方程式

对于环列叶栅，用类似的方法，可以导出与式(12-4)完全相同的特征方程式来。

设有两个绕过同一叶栅的互不相似的流动，其栅前、栅后的流动参数已被测得：其中之一，流量为1Q ，，栅前、后环量为'

1Γ和'

'1Γ；另一个绕流，流量为2Q ，栅前、后环量为'

2Γ和

'

'2Γ。若任一绕流同一叶栅的流动，其流量Q ，栅前环量'Γ，则它们可用上述已测得的数据

表成

21bQ aQ Q +=

'2'

1'Γ+Γ=?Γb a

b a ,为二个常系数。根据势流可以叠加的道理，该绕流栅后环量就应该是

''2'

'1''Γ+Γ=Γb a

经过与不动直列叶栅类似的计算过程，就可以得出与式（4-4）相同形状的环列叶栅特征方程式

Q i K K 0''')1(-+Γ=Γ

上特征方程中，系数0,i K 具有与直列叶栅相同的物理意义。

由上述导出过程还可看出：所得结果，不仅适用于平面叶栅，而且也适合空间叶栅的情形。总而言之，式（4-4）是适用于一切不动叶栅的特征方程式。

图4-4 零向系数与零流动

二、运动叶栅的特征方程式

适当应用上述已得到的结果于运动叶栅情况时，可导出适合于运动叶栅的特征方程式。值得注意的是得出不动叶栅的特征方程式的两个条件：流动和稳定和有势的。因而在引用式（4-4）时流动应符合上述条件。

(一)移动直列叶栅特征方程式

等角速旋转的轴流式叶轮，当将其流层展开成直列叶栅时，得到的是以速度ωr u =（r ——流层所在处半径，ω——转动角速）沿列线平移的直列叶栅。流场中任一点，其绝对运动是不稳定的。但如取以速度u 与叶栅一起移动之座标系时，则相对运动是稳定的。另外，由于绝对运动有势，牵连运动为平移，也是有势的，故相对运动也必然为有势流动。

由上述分析可以看出，相对于栅一起移动的坐标系，流动既有势、又稳定。因此对该流动可引用不动叶栅所得结果：

x y y i K K ωωω0''')1(-+=

应注意的是式中速度为相对速度。

若引用记号y x υυ,表示绝对速度坐标分量，则绝对速度与相对速度的关系如下

u y y -='

'''υω u y y -=''υω

x x υω=

把这些关系代入上式

()x y y i K u K u υυυ0''')1(-+-=-

或改写(注意ωr u =)成

ωυυυr K i K K x y y )1()1(0'''-+-+=

等式双方乘r π2得

ωπ20'''2)1()1(r K Q i K K -+-+Γ=Γ (4-5)

上式即移动直列叶栅之特征方程式。其中r 为叶栅所在圆柱面流层的半径，ω则为转动角速度，其他各项意义如前。

(二)转动环列叶栅特征方程式

最后让我们在最一般情况下，来建立叶栅的特征方程式。由于不动叶栅()0=u ，可视为运动叶栅u =任意向量的特例；而移动直列叶栅()∞=r ，又可视为转动环列叶栅（r 为任意值)的特殊情形。因此，建立转动环列叶栅的特征方程式，是具有更为普遍意义的。 设给定叶栅以角速度

ω旋转，测出某一绕它流动的运动参数：'',,,s s s Q ΓΓ (我们称此流

动为流动S )。今有另一绕此栅的流动，已知流量为Q 、栅前环量,s Γ，要求确定栅后环量''s Γ。我们仍想利用式(12-4)建立确定'

'Γ的关系方程式。由于绕这类叶栅的流动中绝对运动是不稳定的，而相对运动虽稳定，但确是有旋的，所以无法直接应用公式(12-4)于这些流动。但如果考虑以相同角速度旋转的同一个叶栅的两个不同的绕流时，则此二流动的相对运动之差，应是既稳定又无旋(旋转部分互相抵消)的。对此两相对流动之差可应用式(12-4)，这样一来就可导出所要的结果了。

基于上述理由，考虑已测知的某一流动S 和所研究流动两者的相对运动之差，则差仍是

一种绕流运动，它既稳定又有势。若令''0,00,,s s s Q ΓΓ和'

'0,00,,ΓΓQ 表示流动S 与待研究流动之相对流动的流量及栅前、栅后的环量，那么差''0''0,0,

000,,s s s Q Q Γ-ΓΓ-Γ-就应满足方程式

(4-4)

()

()s s s Q Q i K K 000,0,0''0''0)1(--+Γ-Γ=Γ-Γ

注意到绝对运动参数与相对运动参数间存在下列关系：

s

s s

s

s

s

Q Q u r u r Q Q u r u r =-Γ=Γ-Γ=Γ=-Γ=Γ-Γ=Γ0'

'''0'

''''''

'00''''0''''''''0,2,2,2,2ππππ

把这些代入上式，可得栅前、后绝对运动参数间的关系如下：

[]

s s s Q i K K Q i K K 0'''0''')1()1(--Γ-Γ+-+Γ=Γ

方括号中是在定转速ω之下测得的常数。可以看出此常数是与叶栅几何特性有关并与转速ω

成正比的，故可写成：

ωS Q i K K s s s =--Γ-Γ0''')1(

代回上面推得之结果

ωS Q i K K +-+Γ=Γ0''')1(

平面直列移动叶栅可视为空间转动环列叶栅之一特例。因此，若把所得结果与式(4-5)比较时，则不难看出：所得等式中S 在平面移动直列叶栅情形下应为：

22)1(r K S π-=

但对一般运动环列叶栅，无法通过解析办法找出S 的表达式。实用上常引入一个与上式结构相似的式子表示S ：

)(2)1(''2

r r r r K S a a

<<-=π

a r 叫叶栅的有效半径，一般靠实验测定。上述S 表达式已经被大量实践所证实。把此S 代回

前所推得的等式中去则

ωπ2

0'''2)1()1(a r K Q i K K -+-+Γ=Γ (4-6)

这就是所求的空间、转动、环列叶栅的特征方程式。它是叶栅特征方程式的最一般形式。不动叶栅特征方程式（4-4）与移动、直列叶栅特征方程式（4-5）均为其特例。

§4-4平面直列叶栅绕流的保角变换解法

当有不可压缩流体绕过平面直列叶栅，且流动为有势时，则其流场可用一解析的复位势函数来描写。为寻找绕流的复位势函数，常利用保角变换的办法。此法解题思想——如平面机翼时所论，把一个绕复杂图形系统的流动，变成一个绕简单图形系统或简单图形的辅助流动。而后者是经过详尽研究、并已经掌握了其复位函数的流动。再经由保角变换函数，便可求出原绕叶栅流动的复位势函数了。

实用上为便于计算并保证一定精确度起见，对稀疏叶栅常采取多叶半平面，单个圆或带状域为辅助流场，对稠密叶栅则多以绕圆柱叶栅或平板叶栅的流动作为辅助流场。下面仅以单个圆为例说明这类方法的解题过程。

类似于理论翼型时所讨论过的情况，人们发现：有一类周期解析函数，它可以把平面直栅变成单位圆。所以对这类保角变换的方法，较易得出它的理论解。这一解析过程，我们就来具体讲述这类函数。

一、平板叶栅到单位的变换

先让我们求讲述平面栅到单位圆的变换函数。设平面上有一平板叶栅(图4-5a)，它决定三个参数l 、t 、β。为使得绕板栅的流动，能转换成单位圆的绕流(此类绕流是已充分掌握了的)，前人已找出了变换函数。此函数z 平面上板栅转成辅助平面ζ上的单位圆：它将z 平面上沿列线方向为一个栅距t ，它包含一张平板的每一带形区域变成ζ全平面，同时平板变成了单位圆，栅前-∞=z 及栅后+∞=z 变为实轴上的R -=ξ和R +=ξ点（图4-5b ）

上述这样的变换函数，可以通过对比两个平面上相应的二最简单流动来得到。这是取得变换函数的一种流体力学方法。

图4-5 平板叶栅绕流变成单位圆绕流

考虑z 平面上，来流速度平行栅板的、无环量绕流。不妨设流速为1，则此绕流的复位势应为：

()z e z W i β-=

下面再来确定ζ平面上相应流动的复位势()ζ*W 。由于z 平面上流场呈周期分布，包含平板，沿列线宽为t 的每一带形域中的流动：流体从-∞=z 点流出，绕经栅板AB ，流入+∞

=z 点。ζ面上相应流动，则应是流体从R -=ζ点源流出（设流量为Q ），绕过圆周，流入R

=ζ处的点汇。如在ζ面-R 点邻近划一以它为圆心的小圆周，当一动点从圆上某点，沿圆周正向绕行一圈再回到该点时，则动点在z 平面上对应地，将由某c 点绕以-∞=z 的圆周（实际上为一直线）移至相邻的同态点11,cc c 为平行纵轴线段。流体由圆心R -涌出，并在小圆上各处流线与圆交成等角，和物理平面z 上流线与1cc 交成相同的等角。再由于z 上流线均为与横轴交角为β的平行直线，因此推知流线将与1cc 斜交，从而ζ面上流线将与圆成同样的斜交。这个分析说明：ζ平面R -点处还应有一点涡（设环量Γ）。完全类似地可以指出，在

R +=ξ点处存在一个（强度为Q -Γ-,）点涡汇。为使单位圆成为一条流线，则须于R

/1-处放置一个点涡源；于R /1处摆上一个点涡汇。并强度分别为Q ,Γ-和Q -Γ,。这样就得到了ξ面上的流动，它相应于z 面上板栅的无环量绕流的应为一无环量绕单位圆的流动（图4-5b ）复势可随即写出如下：

()()()R

R i iQ R R i iQ R i iQ R i iQ R i iQ R i iQ W 11ln

2ln 21ln 21ln 2ln 2ln 2+-

-Γ+-++Γ=???

?

?--Γ+??? ??++Γ-+-+Γ-++Γ=

*ζζπζζπζπζπζπζπζ Γ及Q 的值可以如下来确定。ζ面上的Q ,Γ相应于z 面上流经沿列线一个栅距t 的线段之环量：

β

βωβ

βωcos cos 1sin sin 10

t dy dy Q t dy dy t

t x t

t y =?===?==Γ????

把此结果代入复势中

()?????? ?

?

+---+=-*R R e R R e t W i i 11ln

ln 2ζζζζπζββ 从而得变换函数——把板栅变为单位圆——为：

?????? ?

?

+---+=R R e R R t z i 11ln

ln 22ζζζζπβ （4-7） 由此可以看出，变换依赖于β,t 和R ，实际上R 是依赖于l 的。计算表明：

β

ααβααβπtan 1

1

tan 1sin 2arctan sin 2cos 21cos 21ln cos 1220200202+-=??

????

-+-+++=R R R R R R R R t l

0α是圆周上驻点B 的极角。由此可见变换函数是以l t ,,β为参数的函数。

二、几个绕平板叶栅的特殊流动

已经找到了平板叶栅到单位圆的变换函数（4-7），绕平板叶栅的任何流动的复势，皆可通过此变换函数，由相应的绕圆流动的复势得出。因此为了能得到绕叶栅流动的解，只要找出相应的绕圆流动的解就行了。

（一） 无环量平行绕流

平板叶栅无环量平行绕流时，对应的绕圆流动复势，如上面所得到为：

()?????? ?

?

+---+==-*R R e R R e t f W i i 11ln

ln 2//ζζζζπζββ （二） 无环量垂直绕流

上面讨论了来流大小为1、方向平行于栅中平板（即来流流速为β

i e ）时的绕流问题，得到复

势函数()ζ//f 。如果来流方向改为垂直于栅中的平板（图4-6a ），也就是来流之速为

ββπi i ie e

-=??

? ??--2，则只要在()ζ//f 中用βi ie -代ββi i ie ie --,代βi e -即可得到与来流垂直于平

板的绕流对应的绕圆流动复势

()?????? ?

?

+-+-+==-±*R R ie R R ie t f W i i 1ln

ln 2ζζζζπζββ

图4-6平板叶栅的垂直和纯环量绕流

(三)纯环量绕流

我们来研究平板叶栅的纯环量绕流(图4-6 b )，即考虑这样一个绕流0'

''==x x ωω，

'

''y

y ωω-=并沿包围单个平板的围线上的环量为l 。 由于

()

,1'

''=Γ=-t y y ωω

所以t

t y y

21

,21'''=-=ωω。 这时()ξ面上，在R -=ζ点旋涡的强度，如前面的方法可计算之如下：

2

1

210

'-=-

==Γ??dy t dy t

t y ω 类似地可计算出R =ζ处的旋涡强度21-=Γ。而在关于单位圆为对称的点R

1±=ζ处则应有2

1

=

Γ的旋涡。 因此对应于平板叶栅纯环量绕流的绕圆流动的复势可写成：

()()()[]()()?

?? ??-??? ?

?

+-+-=?

???????? ?

?

-+??? ??++-++-

==*R R R R i R R i R R i f W 11ln ln

411ln 1ln 221

ln ln 221ζζζζπζζπζζπζγ

在推导中略去了*

W 中的常数项

4

1

-。 三、平板叶栅的任意绕流

在上述平板叶栅特殊绕流讨论的基础上，我们可以进一步来考虑平板叶栅任意绕流问题 的解，即确定其复位势的问题了。

设有绕过平板叶栅的任一流动，栅前、后流速'

'',ωω，合平均速度则为()

'''

2

1ωωω+=

∞合平均速度与平板间夹角（冲角）记为δ并设绕平板环量为Γ。

把∞ω分解成平行与垂直栅中平板的两个分量：δωδωsin ,cos ∞∞，令与分速度对应的复势记成：;sin ,cos //±∞∞-f f δωδω又把绕平板环量为Γ所对应复势记成γγf f f f ,,(//±Γ如前、第二个复势前的负号，是由于现来流方向与前述相反之故)，则直接验算不难证明，此平板叶栅任意绕流的复势可写成

()γδωδωζf f f f W Γ+-==∞∞*

sin cos // (4-8)

式(12-8)就是平板叶栅任意绕流情况下的复位势函数，式中环量厂可通过茹可夫斯基假定确定。

四、栅中平板环量的确定

如果我们只对叶栅总动力特性感兴趣，则可以通过确定出绕平板的环量而求得平板所受 的升力。

根据茹可夫斯基假定，平板在尾缘B 速度应为有限，即

有限=B

dz

df

但 dz

d d df dz df ζζ= 由变换函数式

//f e z i β=

则 0//=???

???=B

i B

d df

e d dz ζζ

β 从而

∞=dz

d ζ

因此推知

0=ζ

d df

即

0sin =????

??Γ+???? ??-±∞B

r B d df d df ζζδω 把二式中所得，±f 与r f 的表示式对ζ求导，并用B 点在

ζ平面单位圆上像点的座标

αζi e =代入所得方程中求解得

β

δωαcos )1(cos sin 420

+-

=Γ∞R tR i 栅板

当单个平板被绕流时，如大家所熟知的，环量可由下式计算

δωπsin ∞-=Γl 平板

我们用L 表示环量的比值时，则 β

απcos cos )1(40

2

+=ΓΓ=

R l tR L 平板栅板 (4-9) 由式(4-9)知L 是l

t 的函数，图4-7绘出了它们之间的关系曲线。

图4-7 L 随l

t 和β的变化曲线

在上述取得平板叶栅任意绕流复势函数的基础上，很容易求得沿栅板的流速分布（从而

确定压力分布），这就彻底解决了平板叶栅任意绕流的问题，从理论上来说也已经解决。所以平板叶栅绕流问题的解决，具有很重要的理论意义。平板叶栅绕流的结果也常被工程设计人员所引用，如栅中叶型的动力特性，可由单独同一叶型的动特性经修正得到(参式4-9)。故平板叶栅绕流的解还具有很大实际意义。

对一般的直列叶栅，原则上可通过周期解析函数E KZ ce =ζ把z 上围绕每个叶片，周

期性地重复的、沿列线为一个栅距宽的，互相平行的带状流域，变成

ζ上绕单叶流动。进

而再经由某()ζz z =的变换，把叶型变成z 面上单位圆。这样解决直列叶栅的绕流问题。至于环列叶栅，则开始时用周期解析函数n z =ζ(n 为叶片数)，将包含一个叶片的、张角为n

π

2的角形流域，先变成

ζ上绕单叶型的流动，以后再把绕单叶流动变成绕单位圆流动。

§4-5平面直列叶栅绕流的奇点分布解法

平面叶栅绕流解析方法。除去保角变换法，还有基于势流叠加原理的奇点分布法。这类方法可用来解无限薄及有限厚叶型叶栅绕流的正、反问题。在很多场合奇点法表现得相当简洁和有效，故在水轮机、水泵产品设计中均有所应用。在这一节我们介绍由无限薄翼型组成的叶栅绕流反问题解法．通过这一解法说明奇点分布法的解题路线及其特点。

薄叶型叶栅奇点分布法是薄翼奇点分布法的直接推广。完全类似，想象地把叶栅从流场里抽去，而用连续分布于栅中叶型上的奇点——点涡——代替叶栅。代替后的奇点诱导流场与无穷远来流合成的流场应与原真实流场全同。根据原流场中栅中叶型应为一条流线的条件，则可作出以奇点分布规律为核的积分方程式来。在解正问题时，根据边界条件来解积分方程。求出奇点分布规律，从而获得绕流流场的解。反问题则是根据对叶栅的要求和经验统计资料，预先给定奇点分布规律，运用逐次逼近法以求符合要求绕流条件的叶栅。解正、反问题均以奇点诱导流场的计算为基础。故拟先讨论奇点诱导流扬问题，然后讨论解叶栅绕流问题。 一、奇点所诱导出的流场

对无限薄叶型栅格，类似薄翼，每一栅型均可代以按某一定规律()s γ沿叶型弧长s 连续分布的旋涡层来代替它(图4-8)。为计算这些涡层在平面上任一点处的诱导流速，取定栅型中某一个基本参考叶型则分别标以…-1，-2和1，2……。

图4-8涡层分布图

(一)诱导流场的复位势

基本叶型0之中点取为沿叶型弧的曲线座标原点。设叶型0弧上任一点0s ，它的复座标为0ω，包含此点之一段微弧为ds 。并设该处旋涡密度为()0s γ，则那里的旋涡在平面上任一点

ω的复位势为

()()000ln 2ωωπω

γ-i

ds s 。其他叶型上与相应的为

......)2,1(,00=+=-=-j jt jt j j ωωωω（见图4-8)。这些点处相应微弧上旋涡在0ω点处的

复势则应为

()()j i

ds s ±-ωωπω

γln 200。这些微弧旋涡形成一个平行u 轴的无穷涡列，它在平面

上点ω处的复势由式(8—29)应为：

()()()000sin ln 2ωωπ

πγ-=

t

i ds s z dW 从而，沿叶型所有涡在ω的复位势可写成：

()()()02

/2/000sin ln 2ds t

i ds s W l l ?

--=ωωπ

πγω

()ωW 为平面上任一点ω处诱导流场的复势，积分沿基本叶型0进行，0s 为叶型0上动点，

()0s γ为0s 处旋涡密度，而0ω则为点的复座标。

把()ωW 实部与虚部分开可得势函数与流函数。为计算方便引用记号：

()0ωωπ

-=+t

ib a

()()00,z z t

b u u t

a -=-=

ππ

因此

()()ashb

i achb ib a ib a ib a t

cos sin sin cos cos sin sin sin

0+=+=+=-ωωπ

从而

()()()220cos sin sin

ashb achb t

+=-ωωπ

但由于

122=-b sh b ch

故