北大金秋营数学2015年
2015年北京大学数学金秋营试题
1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。
2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4
3
]+1组整数解（m,n,r）.
3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。
4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1.
5、设S,T?N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥
un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+?S+T。
6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。
7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px)
k =c i
mk
i=0
x
i
，
其中x
k =x x?1…(x?k+1)
k!
。证明：c j∈Z，且p j?[k p]|c j(j=0,1,…,mk).
8、设k∈Z+, S={(m+1
k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2
k
,n)|m,n∈Z}.
求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射
F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
学生参加北京大学夏令营的教师推荐信
学生参加北京大学夏令营的教师推荐信(2010-04-26 09:04:24) 尊敬的北京大学的领导： 你们好！ 很高兴能以这样的方式向你们推荐我最优秀的学生张爽，作为班主任，把优秀的学生推荐给优秀的大学是我义不容辞的责任。希望我的这封推荐信能够帮你们更多更好的了解张爽同学，同时也能够使张爽同学进入北京大学的夏令营得到锻炼。 张爽同学是以河间市08年中考第一的成绩进入我班的。当时他刚刚进入高中，踌躇满志，意气风发，高中生活把他打造成了意志坚强、底蕴深厚、成熟内敛、热爱生活，有爱心、同情心、上进心，具备优秀的思维品格、超强的学习能力的优秀高中生。 她热爱生活，富有爱心。我认为，一个优秀人才，首先应是热爱生活的，对生活和未来充满希望、信心和勇气，张爽同学就是这样。他富有爱心，曾为失学的同学竭尽全力，为遭遇不幸的同学无私捐助，多次参与班级、学校组织的爱心活动。作为班里的数学课代表，学习委员，她长期耐心的帮助学习较差的几个同学，不惜耽误自己的学习时间，使这几个同学的成绩有较大的提高。 她自主学习能力很强，除了学好日常各门功课外，利用很多业余时间参加了生物、物理、英语、作文竞赛，曾获得全国中学生语文能力大赛二等奖，迎奥运作文大赛二等奖，中学生英语能力竞赛二等奖，希望杯数学竞赛一等奖。她热爱读书，读文学、读历史、读哲学，不断的从中西先贤那里汲取智慧和思想，这在今天的理科生中实属罕见，因为博览，所以全面。因为勤奋，所以突出，她多次被评为年级学习之星，校园学习之星，多次获得学校一等奖学金。 该同学有着年轻人的热情和朝气，有着广泛的爱好和兴趣。演讲比赛，她显示出主持人的睿智和风采，博得阵阵掌声；文艺汇演，动听的英文歌曲，让同学们啧啧称赞；吉他弹奏，绘画，更显出她的才气。 我相信，有全面的素质和扎实的功底，加上大学的宽松环境，张爽同学必将具有良好的发展前景。因此，我完全有理由相信他将成为优秀乃至杰出人才，并郑重向贵校推荐，希望贵校给他以机会，让她参加北京大学的夏令营活动。 推荐人：王盼英 校长推荐：
2018年北京大学夏令营个人陈述-精选word文档 (5页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == 北京大学夏令营个人陈述 北京大学是历史悠久、享誉世界的教育学府，100多年来以其深厚的学术 和人文底蕴成为了全国优秀学子向往的精神殿堂。为了充分发挥北京大学的教 育领跑者作用，北京大学生夏令营给全国青少年提供一个"走进北大、感受北大"的机会。下面是准备的北京大学夏令营个人陈述，欢迎浏览。 北京大学夏令营个人陈述一 我于XX年9月考入XX大学XX学院XX专业，经过两年的基础课程学习，渐渐清晰的发现自己对市场营销有一种特别的兴趣，201X年，参加可口可乐校 园营销大赛中，我们团队的策划案获得了福州大学新区第一名的成绩，这更坚 定了我选择了市场营销专业。 研究能力上，我除了有比较扎实的基础课程的功底外，专业课程的理论知 识掌握也较为全面，并且善于灵活运用各种模型和理论体系分析相关的课题和 研究问题。在大三一年多的专业课程学习中，我课上课外都积极主动向专业课 程老师请教、学习，认真完成老师布置的每个课题的讨论和研究，所有的专业 课成绩争取都保持在90分左右。除此之外，自己学习研究了《竞争战略》、《营销管理》、《蓝海战略》、《品牌知行》、《客户关系管理》等相关专业 课的书籍，努力完善自身的知识结构。 科研成果上，在201X年3月主动参与到了李春方副教授负责的《提高宁德地区电力公司造血功能》的课题研究中，主要负责了电力市场的调研与问卷分 析相关方面的工作，也从这次课题研究声学习到了不少书本上无法学到的知识。在201X年6月，在一些专业老师的指导下，完成了一篇理论文献综述《浅谈社会资本理论主要研究议题的共识及争论焦点》，并且在201X年第8期的《经济研究导刊》上发表。另外，按教学大纲要求，出色的完成了营销策划、品牌 管理、市场调研等相关课程的实践环节，所做的研究报告都得到了比较高的成 绩基点。 另外，我在大学期间，担任过管理学院团委书记助理、管理学院学生会副 主席、04营销班班长、05工商一班班主任等学生干部工作，策划组织过大型晚会、校女生论坛，组建了天翼学员助学公司，三年来获得过一等奖学金2次， 二等奖学金1次，三等奖学金3次。
2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 含答案(精品范文).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题 2018年6月23日 本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟. 1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系： ()2mod .ax bx c m n ++≡ 求所有满足要求的三元整数组(),,a b c . 2.已知实数122018,, ,a a a 两两不同，存在t 满足11i i a t a ++=（1,2,,2018i =，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数. 3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？ 4.如图，ABC ?中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=.求证：MS BD CD SJ ?=.
试卷答案 本试卷共4题 1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1, ,1f f f n -组成模n 的完全剩余系. 下证0a =，1b =-或1. 若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾. 若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能. 故1a b +=-或1. 当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =.
自主招生数学专题一不等式(习题补充版)
自主招生数学专题一：不等式 不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件. 近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢. 面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉. 【知识梳理】 1证明均值不等式 2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式 3证明排序不等式
【重要例题】 1(2015北大体验营)1=++c b a 求) 1)(1)(1(c b a abc ---的最大值 21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3 1 222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311 1 ≥+ + c b a 6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab 3(2016清华自主招生)12 ==∑∑x x 求xyz 最值(原题为不定项选择题) 4设0,,>c b a ,求证2≥+++c b c b a a c 5(2008南开)5262 +=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值 6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3 ≥++z c y b x a 7求2 211x y y x -+-的最大值 8(2010浙大),,11 +=∈=∑R x x i n i i 求证41 3 >-∑ i i x x
2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题含答案
北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 2018年6月23日 本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟. 1.已知a、b、c为整数，且对任意正整数m、n，存在整数x满足如下关系： 2 ax bx c 三m mod n . 求所有满足要求的三元整数组a,b,c . 、，1 2.已知头数a1,a2,11 （, a2018两两不同，存在t满足a i t （i = 1,2,11丨,2018，并规定 a i a2019 =印）.求实数t的可能取值的个数. 3.给定正整数n、k.有一个密码锁，它有n个按钮，编号分别为1L n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时，密码锁会被打开.（例如n=3 , k =2，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？ 4.如图，AABC中AB = AC .点A所对应的旁切圆圆J分别与直线BC、CA、AB相切于 点D、E、F .点M是线段BC的中点.点S在线段JM上，且满足AS D^ AE.求证: MS BD CD SJ 一JD
本试卷共4题 1.设f x = ax 2 bx c ，注意f x 三f x ? n mod n ，故本题只需对任意正整数 n , f 0 ,f 1 n -1组成模n 的完全剩余系. 下证 a =0, b 二「1 或 1. 若 a +b 式0, ±1，取 n = |a +b ，则 f （0）三 f （1modn ），矛盾? 若a ? b = 0，则f x 二ax 2 - ax ? c ，此时f 0二f 1，这也不可能? 故 a ? b = -1 或 1. 当 a+b=1 时，a^0，贝U 16a+4b|z12a —4a + bK12 — 4= 8. 取 n = 16a 4b ，则 f 0 三 f 4 mod n ，矛盾.故 a = 0. 类似当a b - -1时，取n = 16a 4b ，可得a = 0. 故 a,b 二 0,1 或 0,-1 . 注意对任意正整数 m 、n ，同余方程 x ? c 三m mod n 和- x ? c 三m mod n 显然有解. 故（a,b, c ）=（0,1, k 或 （0,—1,k ）, " Z . 1 一 、 1 2 2.由已知有a i 1 ,不动点方程为x ,化为x - tx ■ 1 = 0 ,设此一元二次方程的 tp t —x 两根为：?与1 . 当，--时， 所以「= 1 ,可得 a ： 1 _「=「，以及 ai ■ aL ^- 试卷答案 1 a i -1 1 a 2019 - 1 2018，矛盾. 6 T 若t 二-2，同理可得 —-2018，也矛盾. a 「1 若 t = 2，则 a i , 2 p 1 a 2019 1
北京大学金秋营数学试题(部分含答案)
2019年北京大学优秀中学生数学金秋营试 题 学科专业能力测试一 第一天 2019年10月14日下午14:00—17:30 1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。证明：BQ平分∠AQC. 2、对于的一个排列{}定义函数 f()=.求所有的排列中，f()的最小值。 3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立. 4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价: （1）p为模q的二次剩余； （2）同余方程存在一个解； （3）同余方程存在四个互不相同的解。 学科专业能力测试二 第二天 2019年10月15日上午09:00-12：00
5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。 6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个“循环”，试求这50个人中“循环”个数的最大可能值。 7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2019是一个正整数的k次方。 8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？ 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 【部分试题参考解答】 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知
北京大学2016年全国优秀中学生暑期夏令营试题
北京大学2016年全国优秀中学生体验营（综合夏令营） 综合测试真题 1.设关于x 的方程2sin cos 0x x a ++=在实数范围内有解，求实数a 的取值范围。 【解答】题中方程有解即2sin cos x x a --=有解，从而有 2 215cos cos 1cos 24a x x x ? ?=--=-- ?? ? 于是实数a 的取值范围是5,14?? -???? 。 2. 设,,a b c 均为正数且,,a b c 是否成等差数列，并说明理由。 【解答】由题意知()1 2 b c c b c a -=-= -，所以 c b b a b a +=+== --- 成等差数列。 3. 设,,a b c 为实数,证明:当且仅当()2 2a b c -≥时,对任意实数x 都有 ()() 22 x a x b c -+-≥成立。 【解答】整理题中不等式得 ()()222220x a b x a b c -+++-≥, 此不等式恒成立的条件为当且仅当对应判别式 ()()()22 2248420a b a b c c a b ??=+-+-=--≤?? 等价于()2 2c a b ≤-,命题得证。
4. 已知复数12,z z 满足1z 与12z z +有相同的模且12(1)z z a i =-，其中a 为非零实数,求 2 1 z z 的值。 【解答】由题意知 ()() 2 2 111121212z z z z z z z z z ==+=++ 化简得2221120z z z z z z ++= 因为12(1)z z a i =-,所以12(1)z z a i =+，代入上面的式子得222z z a =-。 于是有222 112 1z z z i z z z ==-+。 5. 一条直线与双曲线交于,A B 两点,与此双曲线的渐近线交于,C D 两点,证明:线段AC 与BD 的长度相等。 【解答】以双曲线的中心为原点,以实轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则 双曲线与它的渐近线方程可以表示为：()22 220,0x y a b a b λ-=>>， 其中1λ=时为双曲线，0λ=时为渐近线 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 则有：22 112 222 2222 11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得： 1212121222 ()()()() 0x x x x y y y y a b -+-+-= 同理有3434343422()()()() 0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为,A B ,C D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时,由双曲线的对称 性得AC BD =；当此直线的斜率k 存在且不为零时,有2 341221234y y y y b x x x x a k ++== ++， 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上,所以它们重合,从而有AC BD =。
2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 含答案
北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛 试题 2018年6月23日 本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟. 1.已知a 、b 、c 为整数，且对任意正整数m 、n ，存在整数x 满足如下关系： ()2mod .ax bx c m n ++≡ 求所有满足要求的三元整数组(),,a b c . 2.已知实数122018,,,a a a 两两不同，存在t 满足1 1i i a t a ++=（1,2,,2018i = ，并规定20191a a =）.求实数t 的可能取值的个数. 3.给定正整数n 、k .有一个密码锁，它有n 个按钮，编号分别为1n .打开该锁的密码是长度为k 的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k 个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n =，2k =，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？ 4.如图，ABC ?中AB AC ≠.点A 所对应的旁切圆圆J 分别与直线BC 、CA 、AB 相切于点D 、E 、F .点M 是线段BC 的中点.点S 在线段JM 上，且满足AS DS AE +=. 求证：MS SJ = .
试卷答案 本试卷共4题 1.设()2f x ax bx c =++，注意()()()mod f x f x n n ≡+，故本题只需对任意正整数n ，()()()0,1,,1f f f n - 组成模n 的完全剩余系. 下证0a =，1b =-或1. 若0,1a b +≠±，取n a b =+，则()()()01mod f f n ≡，矛盾. 若0a b +=，则()2f x ax ax c =-+，此时()()01f f =，这也不可能. 故1a b +=-或1. 当1a b +=时，0a ≠，则1641241248a b a a b +≥-+≥-=. 取164n a b =+，则()()()04mod f f n ≡，矛盾.故0a =. 类似当1a b +=-时，取164n a b =+，可得0a =. 故()(),0,1a b =或()0,1-. 注意对任意正整数m 、n ，同余方程()mod x c m n +≡和()mod x c m n -+≡ 显然有解. 故()(),,0,1,a b c k =或()0,1,k -，k Z ∈. 2.由已知有11i i a t a += -，不动点方程为1x t x =-，化为210x tx -+=，设此一元二次方程的两根为α与β. 当αβ=时， 若2t =，则1112i i i a a a +--=-，111111i i a a +=---，2019111201811 a a =---，矛盾. 若2t =-，同理可得2019111201811 a a =+++，也矛盾. 所以αβ≠，可得1i i i a a t a ααα+--=? -，以及1i i i a a t a βββ+--=?-，
北京大学优秀大学生夏令营个人陈述
北京大学物理学院优秀大学生暑期夏令营 预报名个人陈述 姓名： XXXX 请用大约1500字介绍你的学术背景、科研兴趣方向以及对今后学习研究工作的设想和计划等。个人陈述应由申请人独立完成，如发现是由他人协助完成，将取消申请人资格。 我高中毕业于XXXXXX。大二平均绩点3.87，综合成绩（百分制）93.05分，排名系第一，获国家奖学金，被评为XXXXX大学优秀学生。大三上半学年平均绩点4.0（满绩点），平均分（不含加分）96.38。目前所获竞赛奖项主要有：MCM（美国大学生数学建模竞赛）Meritorious Winner（一等奖），2014年SUPT（上海市大学生物理学术竞赛）特等奖，第四届XXXXX大学物理学术竞赛一等奖，电院杯英语竞赛一等奖。此外还担任国家大学生创新训练项目课题组长，争取在结题前能发表Sci文章，课题中期成果已入围“挑战杯”校内选拔，将代表学校参加“挑战杯”上海市比赛甚至国赛。2015年 5月成为中国共产党预备党员。 我在学习方面比较认真，以学为乐。每天学习14小时左右，喜欢自主学习和讨论。本科学习研究主要分为三个阶段。第一阶段：大一期间主要学习数学和英语两门学科，为以后物理学习打基础。除了学习高数、线代、概率统计外，我还系统地自学了“数分、高代、解几”等数学专业课程。大一就背完了1-4册大英课本所有词汇、四六级和托雅词汇，后来大二、大三时还侧重学习了物理学专业英语（不过大三时考六级成绩不理想，我会在今年6月份再考一次）；第二阶段：大二期间主要学习物理学本科基础科目，比如“力热光电磁”等。每一门专业课我都会全力以赴去钻研，寒暑假基本把课程都预习完，开学后有时间就读拓展文献专著等，有问题及时讨论解决，力争使每一门科目都能达到接近研究生的水平，形成自己的物理思维。对于基础物理的学习，我认为“学而不思则罔，思而不学则殆”，要做到“书本知识的学习”和“书本之外的思考”相结合，扎实严谨，充分理解和积累物理图像。比如对于数理方法的学习，我曾读过五六本书，推导了1000多张纸，顺便找出课本的30多处错误；比如对于双缝干涉实验的思考，从光学、量子力学，直到“高量”里的“退相干”，至今仍未结束。第三阶段：重点学习“四大力学”，了解物理学前沿，同时培养自己的科研“实战能力”和创新能力。我担任国创课题组长，在管曙光教授的指导下，研究非线性物理前沿问题——复杂网络上的Kuramoto模型一级相变。学习了非线性动力学（包括混沌、自组织、分形、分岔等）、复杂网络、同步学等有关知识，暑假平均一周读一本专著。此外还学习了数学类常微分方程和数值分析，自学并能较熟练地使用Fortran、Matlab、Latex、Origin等。 经过大学的学习，我对基础物理理论方面更有兴趣。确切地说，是微观量子世界和宏观复杂系统两者。而把“化约”和“整合”的思想结合在一起便是凝聚态物理——一方面需要微观基本规律的支撑，“简单即是美”；另一方面又研究多粒子体系结构、关联和集体运动，“More is different”。唯有二者相结合，我们才能逐步揭开大自然的奥秘。此次申报凝聚态物理所“非线性物理和生物技术”与“凝聚态理论”两个方向。本科课题属于些非线性领域，另外固体物理也学习研究过，我相信有了这些基础，到研究生做项目能够很快入手。北大物理系声誉全国，有国际一流的老师和各种发展机会，我希望能够进入北大硕博连读，一直从事物理事业，其间有机会出国交流，开拓眼界。我的人生理想是“为中华之复兴而读书”。虽然中学时未能实现燕园梦想，但几年来进取心依旧炽热。我知道中国在基础科学某些方面还与西方有不小差距，进入北大学习物理，今后为国家基础物理的研究贡献自己的一份绵薄之力，实现人生理想。希望老师批准我的与报名申请。谢谢！ 申请人签名： XXXXX 日期： 20XX 年 5 月 10 日
北大金秋营数学2015年
2015年北京大学数学金秋营试题 1、设△ABC的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。直线l‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T.射线AT上一点N 满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR⊥RN。 2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3[k+4 3 ]+1组整数解（m,n,r）. 3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。 4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1. 5、设S,T?N，满足0∈S，且存在正实数u,v,使|S∩{1,2,…,n}|≥ un,|T∩{1,2,…,n }|≥vn,对任意正整数n成立。证明：若u+v≥1，则Z+?S+T。 6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。 7、设p是奇素数，g∈Z|x|,deg g=m,k∈Z+,设g（px) k =c i mk i=0 x i ， 其中x k =x x?1…(x?k+1) k! 。证明：c j∈Z，且p j?[k p]|c j(j=0,1,…,mk). 8、设k∈Z+, S={(m+1 k ,n)|m,n∈Z},T={(m+2 k ,n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k,使得存在a,b,c,d∈R及映射 F:R2→R2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
北京大学保送生数学真题及答案
北京大学保送生数学真题及答案
2012年北京大学保送生考试 数学试题及参考答案 1． 已知数列{}n a 为正项等比数列，且 34125 a a a a +--=，求5 6 a a +的最小值． 解：设数列{}n a 的公比为()0q q >，则231 115 a q a q a a q +--=， 1235 1a q q q ∴= +--()251(1) q q = +-．由1 a >知1q >． ()4 5 4 5 56111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44 2 25511(1) 1q q q q q q =?+=+-- 2 222 11 515122011q q q q ????=++ =-++≥ ? ?--? ?? ?， 当且仅当 2 2111 q q -= -即q =5 6 a a +有最小值 20 ． 2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =． 证法一：设 ()() 20f x mx nx t m =++≠，数列 ()()()()() ( ),,,a f a f f a f f f a 的公比为()0q q >， 则 ()()()()()()( ) ()223 ,,f a aq f f a f aq aq f f f a f aq aq =====， 2ma na t aq ∴++=① 22 ()m aq naq t aq ++=② 2223 ()m aq naq t aq ++=③ ①-②得()()()2 2 111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2 2 2 2 111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．
北京大学夏令营 个人陈述
北京大学夏令营个人陈述 亲爱的北京大学工学夏令营组委老师： 您好！ 我叫田震，我是日照一中的一名高二学生，在这两年的生活中，我学到了很多的知识，明白了许多道理，但我觉得自己还有一些欠缺之处，因此，希望借此次夏令营之东风，进一步完善自我，让自己的求学生涯更加圆满。 在高中这两年的学习中，我的成绩一直比较优秀，且处于不断进步的状态。高一时，我的年级名次一直在十几名左右，进入高二，文理分科以后，我的成绩不断进步，就在上次期中考试中，我取得了年级第四名的好成绩，这与平日的付出是分不开的，虽然我已位于年级成绩的前列，但我深知自己不该就此止步。因此，我迫切需要一个进一步提升自己能力的机会，我也相信，夏令营展现自我的非常好的舞台。 我比较擅长组织工作，从初中到现在，我当了五年的班长，在担任班长期间，我敢于负责，勇于接受班主任交给的任务，虽然这耗费我的一些学习时间，担任学习部部长，在工作的过程中，我渐渐提升自己的能力。 我非常喜欢工学这一专业，尤其是其中的力学，自然万物无不受力，那一张张受力分析图，展现的是改事物现在所处的状态以及未来发展的趋势。贝朗克尔原理将动力学问题转化到静力学问题，巧妙而又自然，格外激发了我学习工学的兴趣。 在这两年中，我也参加过一些有关自主招生考试的培训活动，通过做一些自主招生的题目，我发现自己还有一些不足，因此，我自学了一些大学教材，虽然学起来很困难，但很有味道，我还参加过全美高中数学建模竞赛，而且我所在的队还获了奖，通过参加建模竞赛，我开发了思维，也认识到了合作的力量，从这以后，我意识到参加一些有创造性的活动对一个高中生的发展是多么的重要。 在高二，高三之间的这个暑假，我想通过参加本次夏令营活动，与一同参加本次活动的同学交流学习，我想自己一定会获益匪浅，希望您能给我这样一个机会，为一只雏鹰插上助飞的翅膀。 田震 2013-6-19
2017年北京大学博雅计划数学试题
如果对你有帮助，请下载使用！ 1 2017年北京大学博雅计划数学试题 一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分） 1.正整数9959959995++++的十进制表示中数字1的个数为（ ） A.2012 B.2013 C.2014 D.前三个答案都不对 2. 将等差数列1,5,9,132017，，排成一个大数7 ，则该大数被9除的余数为（ ） A.4 B.1 C.7 D. 前三个答案都不对 3.一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（ ） A.9 B.10 C.11 D. 前三个答案都不对 4. 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的平方和的最大值为（ ） A.15 B.20 C.25 D. 前三个答案都不对 5. 351cos )(1cos )(1cos )7 77 π ππ +++（的值为（ ） A.9 8 B.78 C.34 D. 前三个答案都不对 6. 已知()f x =11()(),()(()),1,k k f x f x f x f f x k +==≥则2017(2017)f 的值为（ ） B.2017 D. 前三个答案都不对 7.已知正整数n 满足2017 20172017n n n ≠，且与有相同的个位数字，则2017-n 的最小值为（ ） A.4 B.6 C.8 D. 前三个答案都不对 8.一个盒子装有红，白，蓝，绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个，从中随机拿出4个玻璃球，这4个球是红色的概率为1p ，恰好有三个红色和一个白色的概率为2p ，恰好有两个红色，一个白色和一个蓝色的概率为3p ，四种颜色各一个的概率为4p ，1234p p p p ===则这个盒子里的玻璃球的个数的最小值等于（ ） A.17个 B.19个 C.21个 D. 前三个答案都不对 9.设1 11,,)()()a b c a b c b c a ---和（均为正整数，则235a b c ++的最大值与最小值之差（ ） A.8 B.15 C.22 D. 前三个答案都不对 10.将正整数集合N + 分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式有（ ） A.0种 B.1种 C.无穷多种 D. 前三个答案都不对 11.O 是凸四边形ABCD 对角线AC BD 和的交点，已知,,,AOB BOC COD DOA ????的周长相同，,,AOB BOC COD ???的内切圆半径分别为3,4,6，则DOA ?的内切圆半径为（ ） A. 9 2 B.5 C. 112 D. 前三个答案都不对 12.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。已知有100名学生参加了数学考试，50名同学参加了物理考试，48名同学参加了化学考试。学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（ ） A.108名 B.120名 C.125名 D. 前三个答案都不对 13.有多少个平面与正四面体的4个顶点的距离都相等？（ ） A.4个 B.6个 C.8个 D. 前三个答案都不对 14有多少个互补相似的ABC ?满足sin cos tan ?A B C == A.0个 B.1个 C.2个 D. 前三个答案都不对 15.已知存在整数,,a b c 满足+1,)()()100a b c S a bc b ac c ab +==+++>（，则S 的最小值属于（ ） A.(]100,110 B.(]110,120 C.(]120,130 D. 前三个答案都不对 16.已知存在正整数,,407,10,n a b c a b c abc ++=满足则n 的最大值（ ） A.5 B.6 C.7 D. 前三个答案都不对 17.整数2 ,218,+0p q p q x px q +=+=满足有整数根，满足这样条件的整数对（,p q ）的个数为（ ） A.0个 B.2个 C.4个 D. 前三个答案都不对 18.已知2222 22 tan tan sin sin ,1tan tan x y x y x y +=+++则sin sin x y ?的最大值（ ） A.0 B. 1 4 C. 2 D. 前三个答案都不对 19.令0000221 sin14cos14,sin16cos16,()2 a b c a b =+=+=+，则,,a b c 的大小顺序（ ） A.a c b << B.c a b << C.a b c << D. 前三个答案都不对 20.假设三角形三边长为连续的三个整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三 边长为（ ） A.4,5,6 B.5,6,7 C.6,7,8 D. 前三个答案都不对
2015北大 高校自主招生数学试题及解答
2015北大 一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1，则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为（） A ．16900 B ．17900 C ．18900 D ．前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（） A ．3524 B ．3624 C ．3724 D ．前三个答案都不对 3.已知x ∈[0, 2π]，对任意实数a ，函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a )，则当a 取遍所有实数时，g(a )的最大值为（ ）A ．1B ．2 C ．3 D ．前三个答案都不对4.已知2010?202是2n 的整数倍，则正整数n 的最大值为（ ）A ．21B ．22C ．23D ．前三个答案都不对5.在凸四边形ABCD 中， BC=4，∠ADC=60°，∠BAD=90°，四边形ABCD 的面积等于2 AB CD BC AD ?+?，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（） A ．6.9 B ．7.1 C ．7.3 D ．前三个答案都不对 二.填空题6.满足等式120151 11+(1)2015 x x +=+（的整数x 的个数是_______．7.已知a ,b,c,d ∈[2,4]，则2 2222()()() ab cd a d b c +++的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=2222b a c ba +-,且x+y+z=1，则201520152015x y z ++的值为___10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集，已知|i A |为奇数，1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数，1≤i ≠j ≤n ，则n 的最大值为____________ 三．解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列，且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数，且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列，求证：f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c ，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B +14.从O 出发的两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点，且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足：1210...a a a +++=30，1210...a a a <21，求证：i a ?，使得i a <1
北京大学量子力学期末试题word资料11页
量 子 力 学 习 题 （三年级用） 北京大学物理学院 二O O 三年 第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。 第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1 121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于
的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 求： ?)t ,x (=?2 第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系， 证明：0 1 1222112112 22 2 21 212211 =+=+=+**S S S S S S S S 这表明S 是么正矩阵 4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数 5、求粒子在下列位场中运动的能级 6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用
2016年北京大学数学学科夏令营初赛试题
2016 年北京大学数学学科夏令营初赛试题 本试卷共 4 题，每题 30 分，满分 120 分，考试时间 180 分钟． 1、已知锐角△ABC中，∠B=600，P 为AB 中点，Q 为外接圆上弧 AC(不包含点 B)的中点，H 为△ABC的垂心．如果 P,H,Q 三点共线，求∠A． 2、求所有的整系数多项式 P(x)，使得存在一个无穷项整数数列{an}，其中任意两项互不相等，且满足：P(a1)=0，P(a k+1)=a k (k=1,2,?)． 3、给定正整数 n，有2n 张纸牌叠成一堆，从上到下依次编号为 1 到2n．我们进行这样的操作：每次将所有从上往下数偶数位置的牌抽出来，保持顺序放在牌堆下方．例如 n=3 时，初始顺序为 123456，操作后依次得到 135246，154326，142536，123456． 证明：对任意正整数 n，操作不超过 2n?2 次后，这堆牌的顺序会变回初始状态． 4、给定正整数 p,q，数列{an}满足：a1=a2=1，a n+2=pa n+1+qa n (n=1,2,3?)．求证：要使得对任意正整数 m,n，均有(a m,a n)=a(m,n)，当且仅当 p=1 时成立． 2016 年北京大学数学学科夏令营初赛试题 参考答案 1、答案750． 解如图，设O 为外接圆圆心，延长CO 交外接圆于D，则四边形BHAD 为平行四边形，因此D,P,H 三点共线，进而D,P,H,Q 四点共线． 连接 OH,BQ，由∠B=600，于是 BH=AD=CD/2=OQ, 又 OB=OQ，因此 BHQO 为菱形，从而 ∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA, 又 ∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ, 因此BO,BQ,BH 将∠CBA四等分，进而不难得知 ∠A=750．2、答案P(x)=x+C，其中C∈Z．
2016年清华大学数学金秋营试题
2016年清华大学数学金秋营试题 考试时间：2016年10月13-14日，共6道题 1、给定△A 1A 2A 3及其内部一点P ，设△A 1A 2A 3，△PA 2A 3，△PA 3A 1，△PA 1A 2的外接 圆的圆心分别为O, O 1，O 2，O 3，设直线OO 1与O 2O 3相交于点M ，试比较23MO MO 与 12 31 PA A PA A S S ??的大小，其中，12 31 ，PA A PA A S S ??分别表示△PA 1A 2，△PA 3A 1的面积。 2、给定正整数n ，求最大的正整数k ，使得如下命题成立：对每个i =1,2,….,2n,设Ai 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个Ai 都是形如 {}1,2,... a a a r +++的集合，其中a 是整数，r 是正整数），如果对任何 1i n ≤≤，()n+12j n ≤≤都有i j A A ≠?，则存在整数x ，使得集合 {} 12i i n x A ≤≤?包含至少k 个不同的元素。 3、对由有限个实数构成的集合Y ，定义（Y ） σ为Y 中所有元素之和 y Y （Y ）=y σ∈∑ 给定正整数m, n 与正实数12...m x x x <<<，设A 1，A 2，…A n 是集合 {}1 2 ,,...m x x x 的非空子集，求如下表达式 11() ()()n n i j i j i j A A A A σσσ==?∑∑ 所能取到的最小值。 4、设G 是连通的简单图，所有顶点构成的集合为V ，所有边构成的集合为E ，称E 的子集H 为G 的“偶度子图”，如果对任何x V ∈,H 中一共有偶数条边以x 为顶点。设,V v =,E e =请问G 一共有多少个“偶度子图”？，注意：E 的空子集?也被视为一个“偶度子图”。