山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷(文科)
山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）
一.选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）
A．﹣2 B．2C．﹣D．
2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）
A．﹣3∈A B．3?B C．A∩B=B D．A∪B=B
3．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）
A．B．C．D．
5．（5分）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11
6．（5分）函数的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）
A．B．C．D．以上全错
8．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）
A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y
9．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+λ
（）（（λ≥0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
10．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）
A．0B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16
二、填空题（本题包括5小题，共25分）
11．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m3．
12．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=．
13．（5分）观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为．
14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为．
15．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（12分）已知向量（ω＞0），函数的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值．
17．（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
高校相关人数抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
（1）求x，y；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．
18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．
19．（12分）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．
20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短
轴两端点构成等边三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）
A．﹣2 B．2C．﹣D．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
解答：解：∵复数===是纯虚数，∴=0，≠0，
解得a=．
故选：D．
点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．
2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）
A．﹣3∈A B．3?B C．A∩B=B D．A∪B=B
考点：元素与集合关系的判断．
专题：集合．
分析：先求出集合A，从而找出正确选项．
解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；
∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}
∴A∩B={x|x≥2}=B．
故选C．
点评：注意描述法所表示集合的元素．
3．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：φ=?f（x）=Acos（ωx+）?f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f （x）为奇函数?f（0）=0?φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解答：解：若φ=，
则f（x）=Acos（ωx+）
?f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；
若f（x）是奇函数，
?f（0）=0，
∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．
∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=
“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．
故选B．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．
4．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）
A．B．C．D．
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．
解答：解：∵已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得a=5，
故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，
故选C．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
5．（5分）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11
考点：循环结构．
专题：计算题．
分析：要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．
解答：解：∵S=，并由流程图中S=S
循环的初值为1，
终值为10，步长为1，
所以经过10次循环就能算出S=的值，
故i≤10，应不满足条件，继续循环
所以i＞10，应满足条件，退出循环
判断框中为：“i＞10？”．
故选A．
点评：本题考查直到型程序框图的应用，是2015届高考常考题型，易错点是不能准确理解流程图的含义而导致错误．
6．（5分）函数的零点所在的区间为（）
A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）
考点：函数的零点；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数的解析式可得f（1）＜0，f（2）＞0，故有f（1）?f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得
函数的零点所在的区间．
解答：解：由函数，可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=1﹣=＞0，
∴f（1）?f（2）＜0．
根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间为（1，2），
故选B．
点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
7．（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）
A．B．C．D．以上全错
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可．
解答：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P，圆的半径为R，
∵S圆=πR2，正三角形的面积S A=3××R2×sin120°=R2
∴P===．
故选B．
点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．
8．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）
A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y
考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．
解答：解：双曲线C1：的离心率为2．
所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：
抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，
所以2=，因为，所以p=8．
抛物线C2的方程为x2=16y．
故选D．
点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．
9．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+λ
（）（（λ≥0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
考点：平面向量的基本定理及其意义．
分析：过A作BC边的垂线AD，作中线AE，则
=，根据向量的加法即可知道P点在中线AE 所在直线上，即P点的轨迹经过△ABC的重心．
解答：解：如图，过A作BC的垂线，垂足为D，则，
∴=，AE为△ABC的中线；
向量2λ与共线，∴根据向量的加法知P在中线AE所在直线上；
∴P点的轨迹经过三角形ABC的重心．
故选D．
点评：考查正弦值的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量加法的几何意义，以及三角形的中线经过重心..
10．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）
A．0B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16
考点：抽象函数及其应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，得到f（﹣x）=﹣f（x），运用周期，化简f=f（﹣2）=﹣f（2），即可得到答案．
解答：解：f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6）=﹣f（x），
则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），
则f（x）为周期为12的函数，
由于y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，
则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，
即有f（﹣x）=﹣f（x），
则f=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），
由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．
故选B．
点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．
二、填空题（本题包括5小题，共25分）
11．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；压轴题．
分析：由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．
解答：解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，
体积等于×2×4×3=4
故答案为：4
点评：本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．
12．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=4．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．
解答：解：∵f（x）=﹣x3+ax﹣4，
∴f'（x）=﹣3x2+a，
∵函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，
∴﹣3+a=1，
∴a=4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力．
13．（5分）观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．
考点：归纳推理．
专题：计算题．
分析：观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．
解答：解：观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2
左边的式子的项数与右边的底数一致，
每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，
故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2
点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题；转化思想．
分析：求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|PM|满足勾股定理，求出|PM|就是最小值．
解答：解：：（x﹣5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4．
故答案为：4
点评：本题是基础题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
15．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为7．
考点：基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本
不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．
∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．
因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，
∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，
∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．
故答案为：7
点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（12分）已知向量（ω＞0），函数的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的单调增区间；
（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值．
考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；由
y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．
专题：综合题．
分析：（I）利用向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数．利用f（x）的最小正周期为π，可求ω的值，从而可得函数的解析式，利用三角函数的单调性，即可得到函数f（x）的增区间；
（II）由，及，可求得，进而可求f（A）的值．
解答：解：（I）
=
=…（3分）
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．
∴，解得ω=1，…（4分）
∴．
由≤≤…（5分）
得f（x）的增区间为…（6分）
（II）由，∴，
又由=…（8分）
∴在△ABC中，…（9分）
∴=…（12分）
点评：本题考查三角函数式的化简，考查数量积公式的运用，考查余弦定理的运用，解题的关键是三角函数式的化简．
17．（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）
高校相关人数抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
（1）求x，y；
（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．
考点：分层抽样方法；等可能事件的概率．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，可得从5人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校C的情况数目，根据等可能事件的概率公式，计算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有，解可得x=1，y=3；
（Ⅱ）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共=10种，
而二人都来自高校C的情况有=3种；
则这二人都来自高校C的概率为．
点评：本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算，难度不大，注意组合数公式的运用．
18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ））由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎体体积公式求出．
解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
又PM=2MC，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求锥体体积，着重考查了平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．
19．（12分）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（I）由题意可得数列{a n}的公差，进而得通项，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；
（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）?2n﹣1，由错位相减法可求和．
解答：解：（I）由题意可得数列{a n}的公差d=（a5﹣a3）=2，
故a1=a3﹣2d=1，故a n=a1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1，
当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，
∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，
∴b n=1?=；
（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）?2n﹣1，
∴T n=1?20+3?21+5?22+…+（2n﹣3）?2n﹣2+（2n﹣1）?2n﹣1，
故2T n=1?21+3?22+5?23+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n，
两式相减可得﹣T n=1+2?21+2?22+…+2?2n﹣1﹣（2n﹣1）?2n
=1+2﹣（2n﹣1）?2n
=1﹣4+（3﹣2n）?2n，
∴T n=3+（2n﹣3）?2n
点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短
轴两端点构成等边三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由题意可得，解得即可．
（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．与椭
圆的方程联立化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，可得根与系数的关系，由=λ，=μ．利用向量的线性运算即可得出．
解答：解：（1）由题意可得，解得，
∴椭圆的方程为=1．
（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．
联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，
△＞0．
，，（*）
∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），可得﹣（x1+1）=λ（x2+1）．
得．
由=μ，可得（﹣4﹣x1，y0﹣y1）=μ（x2+4，y2﹣y0），可得﹣（x1+4）=μ（x1+4），
得．
∴λ+μ=﹣=﹣，
把（*）代入分子=+8=0，
∴λ+μ=0．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出a=1时函数f（x）的导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ）对a讨论：①当a=﹣2，②﹣2＜a＜0时，③当a＜﹣2时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．条件转化为f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2aln x﹣2x，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=x﹣﹣2≥0，即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．求出不等式右边的最小值，令2a不大于它即可．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，
f′（x）=x﹣+（a﹣2）=（x＞0）
当a=1时，f′（x）=，f′（1）=﹣2，
则所求的切线方程为：y﹣f（1）=﹣2（x﹣1），
即4x+2y﹣3=0；
（Ⅱ）①当﹣a=2，即a=﹣2时，
f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，
由0＜x＜﹣a，或x＞2时，f′（x）＞0，﹣a＜x＜2时，f′（x）＜0．
则f（x）在（0，﹣a），（2，+∞）单调递增，在（﹣a，2）上单调递减；
③当﹣a＞2，即a＜﹣2时，
由0＜x＜2或x＞﹣a时，f′（x）＞0；2＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，
f（x）在（0，2），（﹣a，+∞）上单调递增，在（2，﹣a）上单调递减；
（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．
由知f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，
令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2aln x﹣2x，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g′（x）=x﹣﹣2≥0，
即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．，则a≤﹣，
故存在这样的实数a满足题意，其范围为（﹣∞，﹣]．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查构造函数，运用导数求单调性和最值，考查分类讨论和参数分离的思想方法，属于中档题．