不变量法化简二次曲面

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〔不变量法化简二次曲面〕徐晓利

摘要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.

关键词：二次曲面；化简；不变量

二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.

1二次曲面

定义1在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称

为二次曲面.

设二次曲面的一般方程为：

（1.1）.

二次曲面方程中的常用记号：

将的二次项部分记为，

将的系数排成矩阵，叫做二次曲面的矩阵.

.

2不变量法化简二次曲面

定义2二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：

1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；

2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；

3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.

在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.

在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的