上海市大同中学2012学年第一学期高三数学期中试卷附答案

P

D

C

B

A

上海市大同中学2012学年第一学期高三数学期中试卷

2012.11.8

一、填空题（每小题4分，共56分）

1.设{}{}

2

0,1,2,3,|0U A x x mx U ==+=?，若{

}1,2U A =C ,则实数m =__3-___. 2．221lim 31n n n n →∞+-+= 13

．

3．在二项式5

1x x ?

?- ??

?的展开式中，含3x 的项的系数是 5- ．

4．如果1cos 3α=

,且

α是第四象限的角,那么3cos()2πα+= ．

5．不等式()120x x ->的解集为 ()

1,00,2??

-∞ ???

. 6．若函数??

?

??<+=>-=0,0,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则a b + 2 ．

7．把()4cos 3f x x ??

=+

π ???

的图像向右平移?个单位，得到的图像正好关于y 轴对称，则?的最小正值是 3

π

. 8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP →·AC →

＝___18_____.

9．已知命题“任意x R ∈，2

15502x x a -+

>”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____5

6

a >____． 10.（理）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该

点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是__

4

3

__. 【解析】∵圆C 的方程可化为:()2

241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.

∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点； ∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤

. ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-

,2≤,解得403

k ≤≤

.

∴k 的最大值是

43

. （文）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是31a -≤≤． 【解析】圆22()2x a y -+=的圆心(,0C a 到直线10x y -+=的距离为d

,则

1231d r a a ≤=?

≤+≤?-≤≤．

11．若函数y x a b =--+和y x c d =-+的图像交于点()2,5M 和()8,3N ，则a c +的值为

10 .

12．(理)已知函数()21log 3x

f x x ??

=- ???

，正实数,,a b c 成公差为正数的等差数列，且满足

()()()0f a f b f c ??<及()()()0f a f b f c ++<，若实数0x 是方程()0f x =的一个解，则0,,,x a b c 的大小

关系是 0x a b c <<< ．

（文）已知函数()21log 3x

f x x ??

=- ???

，实数a 、b 、c 满足()()()()00f a f b f c a b c ??<<<<，若实数0

x 是方程()0f x =的一个解，那么下列结论：①0x a <,②0x b >,③0x c <,④0x c >，其中，不可能成立的结论的序号是 ④ ．

解析：如图所示，方程f (x )＝0的解即为函数y ＝????13x

与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，若x 0>c >b >a >0， 则f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾， 所以，x 0>c 不可能成立，故填④

13．（理）已知数列{}n a ，若12132431,,,,

,n n a a a a a a a a a -----是公比为2的等比数列

（1a 是常数），则{}n a 的前n 项和n S 等于 )]2(2[11+-+n a n ．

（文）已知函数()()(

)()210110x x f x f x x ?-≤?=?-+>??，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到的顺序排列成一个数

列，则该数列的通项公式为 *

1()

n a n n N =-∈ ． 14．设函数.)(,3)(2

a x x g a ax x x f -=++-=若不存在．．．R x ∈0，使得0)(0

二、选择题（每小题5分，共20分）

15．从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中

剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率（C ）

A ．不全相等

B ．均不相等

C ．都相等，且为

251006

D ．都相等，且为50

2003

16．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果GH 、EF 交于一点P ，则（B ） A ．P 一定在直线BD 上 B ．P 一定在直线AC 上

C ．P 在直线AC 或B

D 上

D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上

17．已知a R ∈，复数122,12z ai z i =+=-，若

12z z 为纯虚数，则复数12

z

z 的虚部为（A ） A ．1 B ．i

C ．

2

5

D ．0

18．（理）设225,x z

x y z t y t

≤≤≤≤≤+则

的最小值是（C ） A ．2 B ．

12 C

D

（文）设01x <<，,a b 都为大于零的常数，则22

1a b x x

+-的最小值为(B ) A ．()2

a b -

B ．()2

a b +

C ．22

a b

D ．2

a

三、解答题（共74分，各小题依次为12分、14分、14分、16分、18分）

19．已知函数()x

f x b a =? (其中,a b 为常量且0,1a a >≠)的图象经过点()()1,6,3,24A B ．(1)试确定()f x ；

(2)若不等式110x x

m a b ????

+-≥ ? ?????

在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围．

解：(1)∵f (x )＝b ·a x

的图象过点A (1,6)，B (3,24)∴?

????

b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ② ……3分 ②÷①得a 2＝4，又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x . ……6分 (2)????1a x ＋????1b x

－m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤????12x ＋????13x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝????12x ＋????13x

，g (x )在(－∞，1]上单调递减， ……10分 ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝5

6

，故所求实数m 的取值范围是????－∞，56. ……12分

20．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3

cos 4

B =．（1）求2

s i n

2c o s

2

A C

B ++

的值；（2）若b =求ABC ?面积的最大值. 解：

（1）因为3cos 4B =

，所以sin B =. …1分 又2

2πsin 2cos

2sin cos cos 22A C B B B B +-+=+12sin cos (1cos )2

B B B =+-…4分 =3

24+18. ……7分 （2）由已知得2223cos 2

4

a c

b B a

c +-=

=，因为b = 所以223

32a c ac +-=.…9分 又因为22

3

322

a c ac ac

+=

+≥， 所以6ac ≤，当且仅当a c ==

ac 取得最大值. ……12分

此时11sin 622ABC S ac B ?=

=?=

所以ABC ?………14分

21．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（1）证明：直线MN OCD

平面‖；

（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （3）（仅理科生做）求点B 到平面OCD 的距离． 方法一（综合法） （1）取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖ ……2分

又

,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖ ……4分

（2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ……6分

⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP

,4

ADP π

∠=

∵∴DP =

……8分 MD =1cos ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠=

=∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为

3π

……10分

（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作

AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴

又 ,

AQ OP AQ OCD

⊥⊥平面∵∴,线段

AQ 的长就是点A 到平面

OCD 的距离

…12分

2

OP ====∵

，

2

AP DP ==

2

2

23OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 ……14分

方法二(向量法)作AP CD

⊥于点P,如图,分别以

AB,AP,AO 所在直线为,,x

y z 轴建立坐标系，

(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N ,

(1)2222(1,,1),(0,,2),(2)

44222MN OP OD =-

-=-=-- 2分

设平面OCD 的法向量为(

,,)n x y

z =,则0,0n OP n OD ==

即

202022

y

z x y z -=??-+-=??取z =解得n = 22

(1,,1)(0,4,2)044

MN n =-

-=∵

MN OCD ∴平面‖

(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)

AB MD ==-

-∵ 6分

1c o s ,23

AB MD AB MD

π

θθ=

=

=?∴∴ , AB 与MD

所成角的大小为

3π 10分 (3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得OB n d n

?=

12分

2

3

=

. 所以点

B 到平面OCD 的距离为2

3

．14分

22．已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且c =,Q 为椭圆C 的左顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知过点6(,0)5

-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.

(3)（理）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.

（文）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；

解：（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a

b

+=>>，且222

a b c =+.

由题意可知：1b =，c = ………5分

所以2

4a =. 所以，椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=. ………7分 （2）由（1）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .

（理）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5

y k x k =+≠.

由226(),514

y k x x y ?

=+????+=??消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. ……8分 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0?>.2

122

2

122240,25100144100.

25100k x x k

k x x k ?+=-??+?-?=?+?

………10分

因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116()5y k x =+，226()5

y k x =+，

所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ?=+++121266(2)(2)()()55

x x k x k x =++++?+

2

221212636(1)(2)()4525

k x x k x x k =+++

+++ 222

2222144100624036(1)

(2)()402510052510025

k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥. 所以 QAB ?为直角三角形. ………………13分 假设存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形，则QA QB =. 取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^. 记点6

(,0)5

-为N . 另一方面，点M 的横坐标22

1222

12024225100520M x x k k x k k

+==-=-++， 所以 点M 的纵坐标2

66()5520M M k y k x k =+

=+. 所以 22222

1016666(,)(,)520520520520k k k

QM NM

k k k k +? ++++ 222

601320(520)k k += +. 所以 QM 与NM 不垂直，矛盾.

所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形.………16分

（文）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65

x =-

.

由226,514

x x y ?=-????+=?? 解得：6,545x y ?=-????=??或6,5

4.

5x y ?=-????=-?? ………10分 即64

64(,), (,)5555

A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.…………12分 则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ?=-，所以 AQ BQ ^. 所以 2

AQB π

∠=. …………16分

23．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）.

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当0>a 时，求数列{}n a 的最小项. 解：（1）∵2n a b n n +=

∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2)

由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+，∵1a ≠-，∴ 20b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列. ………5分

（2）1(44)(21)

34(22)221

n n n a S a a a -+-=+

=--++- 当n ≥2时，11

1(22)23434

2(22)234(1)234

n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==++--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1

-n n S S (n ≥2)是常数，∴043=+a ，即4

3a =- . ……11分

（3）由（1）知当2n ≥时，2(44)2(1)2n n n b a a -=+=+，

所以2

21(1)

(1)2(2)

n n a n a a n n +=?=?+-≥?， 1223)12(2)1(,21+>≥+-?+=-≥+n n n a a a n n n n n 有 ，n n a a n ≥≥∴+13时

显然最小项是前三项中的一项.

当

1

(0,)

4

a∈时，最小项为1

8-

a；当

1

4

a=时，最小项为a4或1

8-

a；

当

11

(,)

42

a∈时，最小项为a4；当

1

2

a=时，最小项为a4或1

2+

a；

当

1

(,)

2

a∈+∞时，最小项为1

2+

a. ………18分