解三角形应用举例导学案

解三角形应用举例

2014高考会这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．

复习备考要这样做 1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用．

1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

2．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．

(3)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

3．解三角形应用题的一般步骤

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．

(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]

解三角形应用题的两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.

答案130°

解析 由已知得∠BAD ＝60°，∠CAD ＝70°，

∴∠BAC ＝60°＋70°＝130°. 2． (2011·上海)在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°， ∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__________千米． 答案 6

解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°，

由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，

∴AC ＝

222

·3

2＝ 6. 3． 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 10 3

解析 如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO

＝60°，OM ＝AOtan 45°＝30， ON ＝AOtan 30°＝33

×30＝103， 由余弦定理得， MN ＝

900＋300－2×30×103×

3

2

＝300＝103(m)． 4． 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为____________ m. 答案 500(3＋1)

解析 过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝30°，故∠ADE

＝150°.于是∠ADB ＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD ＝45°－30°＝15°， 故∠ABD ＝15°，由正弦定理得AB ＝ADsin ∠ADB sin ∠ABD

＝

1 000sin 150°

sin 15°

＝500(6＋2)(m)．

所以在Rt △ABC 中，BC ＝ABsin 45°＝500(3＋1)(m)．

5． 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东10° D ．南偏西10° 答案 B

解析 灯塔A 、B 的相对位置如图所示， 由已知得∠ACB ＝80°， ∠CAB ＝∠CBA ＝50°， 则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.

题型一 测量距离问题

例1 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．

思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形． 解 如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，

∴AC ＝CD ＝ 3 km.

在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝

3sin 75°sin 60°＝6＋2

2

.

在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝(3)2＋?

??

??6＋222－2×3×6＋22×cos 75°

＝3＋2＋3－3＝5，

∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.

探究提高 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． 注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．

如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，

C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知

某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米． 答案 507

解析 连接OC ，在△OCD 中， OD ＝100，CD ＝150， ∠CDO ＝60°， 由余弦定理可得

OC2＝1002＋1502－2×100×150×1

2

＝17 500，

解得OC ＝507(米)． 题型二 测量高度问题

例2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．

思维启迪：依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前 进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有

B 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝AB

BE ，AB 为定值，BE 最小时，

仰角最大．要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，需先求BD(或BC)． 解 如图所示，某人在C 处，AB 为塔高， 他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°，过点B 作BE ⊥CD 于E ，

则∠AEB ＝30°，

在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°， 由正弦定理，得

CD sin ∠DBC ＝BD

sin ∠BCD

，

∴BD ＝40sin 30°

sin 135°＝202(米)．

∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中， BE ＝DBsin 15°＝202×

6－2

4

＝10(3－1)(米)． 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°， ∴AB ＝BEtan 30°＝103(3－3)(米)．

故所求的塔高为10

3

(3－3)米．

探究提高 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．

如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC ＝

a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为__________． 答案

asin αsin β

sin β－α

解析 AB ＝ACsin β，AC sin α＝DC sin ∠DAC ＝a

sin β－α ，

解得AB ＝asin αsin β

sin β－α

.

题型三 测量角度问题

例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．

思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．

解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近

渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以

212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×12，即360t2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－5

12(舍去)．所以舰

艇靠近渔轮所需的时间为2

3 h.

此时AB ＝14，BC ＝6.

在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB

sin 120°，

所以sin ∠CAB ＝6×

3214＝33

14

，

即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．

即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.

所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23

h 才能靠近渔轮．

探究提高 对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．

如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方

向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于 ( ) A.

21

7

B.2114

C.32114

D.2128

答案 B

解析 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝ 120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝ 2 800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得

sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝21

7

.

由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝27

7.

故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)

＝cos ∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝21

14

.

正、余弦定理在实际问题中的应用

典例：(12分)如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)

海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船

沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 审题视角 (1)分清已知条件和未知条件(待求)． (2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD. (3)利用正弦定理或余弦定理求解． 规范解答

解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船， 则CD ＝103t(海里)，BD ＝10t(海里)，[1分] 在△ABC 中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．[3分] 又∵BC sin ∠BAC ＝AC

sin ∠ABC

，

∴sin ∠ABC ＝AC·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝2

2，

∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，

∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，[5分] 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD ，

∴sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10t·sin 120°103t

＝1

2.

∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分]

又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝

6

10

小时≈15(分钟)．[11分] ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[12分]

解斜三角形应用题的一般步骤为

第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图； 第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求 解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型；

第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角 形，求得数学模型的解；

第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从 而得出实际问题的解．

温馨提醒 (1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题． (2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解．

方法与技巧

1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．

2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值． 3．合理运用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范

在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．

1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．

2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角． 3．坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值． 4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．

A 组 专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分)

二、1． 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为3

4，设α为坡角，那么cos α等于

( )

A.35

B.45

C.34

D.43

答案 B

解析 因为tan α＝34，所以cos α＝4

5

.

2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )

A ．1

B ．2sin 10°

C ．2cos 10°

D ．cos 20° 答案 C

解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，

∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°. 在△ABD 中，由正弦定理得 AD sin 160°＝AB

sin 10°

，

∴AD ＝AB·sin 160°sin 10°＝sin 20°

sin 10°

＝2cos 10°.

3． 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点

B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( ) A ．50 m B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m 答案 A

解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选

定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m

D.252

2

m

答案 A

解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°， ∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°. 在△ABC 中，由正弦定理得

AB sin C ＝AC

sin B

， ∴AB ＝AC·sin C

sin B ＝50×

221

2

＝50 2 (m)．

二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是______________．

答案 203米、40

3

3米

解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又 CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM·1tan 60°＝2033(米)，故

乙楼的高度为CD ＝203－2033＝403

3

(米)．

6． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行

驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2

解析 如图所示，依题意有 AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，

由正弦定理得60sin 45°＝BM

sin 30°

，

解得BM ＝30 2 (km)． 7. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA

＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________． 答案 8 2

解析 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA2＝BD2＋AD2－

2BD·AD·cos ∠BDA ，即142＝x2＋102－2·10x·cos 60°，整理得x2－10x －96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6(舍去)． 在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD

sin ∠BCD

，

∴BC ＝

16

sin 135°

·sin 30°＝8 2.

三、解答题(共22分)

8． (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同 一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB. 解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°， 由正弦定理，得

BC sin ∠BDC ＝CD

sin ∠CBD

，

所以BC ＝30sin 30°

sin 135°

＝15 2 (m)．

在Rt △ABC 中，AB ＝BC·tan ∠ACB ＝152tan 60° ＝15 6 (m)．

所以塔高AB 为15 6 m.

9． (12分)如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点， AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长． 解 在△ADC 中，AD ＝10， AC ＝14，DC ＝6，

由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD2＋DC2－AC2

2AD·DC

＝

100＋36－1962×10×6＝－1

2

，

∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，

∴AB ＝AD·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°

sin 45°

＝

10×

3

2

22

＝5 6. B 组 专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分)

1． 在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于

( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．30°或150° 答案 A

解析 利用正弦定理可得

2sin 45°＝2

sin C

， ∴sin C ＝1

2

，∴∠C ＝30°或150°.

又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝30°，故选A.

2． 某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为

( )

A. 3 B ．2 3 C.3或2 3

D ．3

答案 C

解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3， ∠ABC ＝30°，

由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°， 整理，得x2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.

3． 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 ( ) A ．102海里 B ．103海里 C ．203海里 D ．202海里 答案 A

解析 如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°

，解得BC ＝102(海里)．

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时． 答案 10

解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是5

0.5

＝10(海里/小时)．

5． 某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米． 答案

206

3

解析 如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO

＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°. 由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，

∴AO ＝206

3

(米)．

6． 在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积

为3－3，则∠BAC ＝______.

答案 60°

解析 S △ADC ＝12×2×DC×32

＝3－3，

解得DC ＝2(3－1)，

∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．

在△ABD 中，AB2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×c os 120°＝6，∴AB ＝ 6. 在△ACD 中，AC2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123，∴AC ＝ 6(3－1)，

则cos ∠BAC ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC ＝1

2

，∴∠BAC ＝60°.

三、解答题

7． (13分)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，

B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面

C 处测得B 点和

D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．

解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1. 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，

故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA. 在△ABC 中，

AB sin ∠BCA ＝AC

sin ∠ABC

，

所以AB ＝ACsin 60°sin 15°＝32＋6

20，即BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为

0.33 km.