近年高考文科数学选择压轴题的解法探究

近年高考文科数学选择压轴题的解法探究

建水县第二中学：贾雪光

高考数学题目是分梯度，分类别把关，就是说高考的压轴题不仅仅只是第21题或者是第20题，而是选择题有选择题的把关题，填空题有填空题的把关题，解答题有解答题的把关题，通过分析近几年高考全国卷中的数学文科卷，我们收集到了如下的信息，2013年全国文科卷一、文科卷二最后一道选择题，2012年全国新课标卷选择题倒数第二题，2011年全国新课标卷最后一道选择题，2010年全国新课标卷最后一道选择题，2009年宁夏、海南卷选择题的最后一题，这些题目所针对的都是高中数学几个必考知识点中的函数性质的综合考查，这一现象会不会是一种巧合或是只是偶然呢？笔者认为，答案一定是否定的。这一现象必然体现着命题者的某种良苦用心和意图。因此，笔者认为，高三数学教师在面对高考备考复习时必须对这一规律引起高度重视，因为高考的最后一道或者倒数第二道选择题，一般都是有一定难度，能对学生的综合素质进行全面考查的题目，下面笔者将自己对近几年这几个题的求解规律和认识探究提出来，供各位正在指导高三学生备战2014年高考的数学教师参考，不妥之处肯请批评指正。 例如：（2013年全国卷二）12、若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（ ）

（A ）(,)-∞+∞ （B ）(2,)-+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)-+∞

探究：多数老师可能会对这一题目采用有的辅导材料上给的去特殊值验证法来求解，但是笔者认为本题如能充分考虑函数的图像及性质，充分利用数形结合的思想，那么，这道题目的求解将会十分快捷和直观简单，这或许就是命题者的意图之所在。

解析：因为20x >，所以由2()1x x a -<得122

x x x a --<=，根据零点的定义的三种理解角度，我们引导学生在同一坐标系中，分别作出函数

x x y a x y )21(2,21==-=-的图象如图1所示，当0x >时，1)2

1(22<==-x x y ，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，因此答案应该选D 。

图1

上述解法直观快捷，对学生数学能力的要求也不是太高，只要教师在引导学生备

考时讲解清楚函数零点的定义，几种常见简单的函数图象变换法则，学生就能求解。

例2、2012年新课标文科卷11、当0

（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 很多辅导资料上给出的答案为：由题意得，当01a <<时，要使得

14l o g ,(0)2x a x x <<≤，即当102

x <≤时，函数4x y =在函数log a y x =图象的下方，又当12x =时，1

242=，即函数4x y =过点1(,2)2，把点1(,2)2代入函数log a y x =

得2

a =

，即12a <<，当1a >时，不符合题意，舍去，所以实数a 的取值范

围是

12a <<，故选B. 但是如果我们直接构造一个新函数为x x f a x log 4)(-=则直接在同一坐标系

内，作出函数x x f a x log 4)(-=的图象后，由于0log 4<-x a x 在0

很成立则可直观得解。

例3、2011年新课标文科卷（12）已知函数f(x)=lg ,01016,102x x x x <≤-+>??? 若a ，b ，c 均不

相等，且，则abc 的取值范围是

（A ）（1，10） （B ）(5，6) （C ）(10，12) （D ）(20，24)

解析：本题命题者的意图应该是要考察学生用数形结合思想的能力，以及学生利用图像综合处理函数与方程问题的能力，实际上，由已知条件有c b a 、、互不相等，于是我们不妨设a b c <<，则根据f(a)= f(b)如图可知显然ab=1于是有abc=c ，所以如图直观地得到问题的求解，即： 1012c <<

所以选C

图3

例4、2009年全国文科卷12、用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设()min{2,2,10}x f x x x =+-(x ≥0)，则()f x 的最大值为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

解析：画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图

象，如右图，观察图象可知，当0≤x ≤2时，

f （x ）＝2x ，当2≤x ≤3时，f （x ）＝x ＋2，

当x ＞4时，f （x ）＝10－x ，f （x ）的最大

值在x ＝4时取得为6，故选C 。

图4

例5、2011年全国新课标文科卷12、已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈- 时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有。

（A ）10个 （B ）9个 （C ）8个 （D ）1个

解析：作出两个函数的图象∵函数y=f （x ）的周期为2，在[-1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f （x ）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0； x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个

图5

从以上各题的求解我们不难体会数形结合的优越性，所以从这些例子和近几年的高考数学试卷来看，我们作为高考备考的指导者和引领者，必须在教学中注意收集高考相关信息，及时将相关内容传达和传递给学生，为学生的高考备考保驾护航。