2012年山东省高考理科数学试题及答案(word无错版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学
1. 若复数z 满足i i z 711)2(+=-(i 为虚数单位)，则z 为
A ．35i +
B ．35i -
C ．35i -+
D ．35i -- 2. 已知全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}3,2,1=A ,{2,4}=B ,则()U A B e为
A ．{}1,2,4
B ．{}2,3,4
C ．{}0,2,4
D ．{}0,2,3,4
3. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增
函数”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分
组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9 ，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C 。则抽到的人中，做问卷B 的人数为
A ．7
B ．9
C ．10
D ．15
5. 设变量y x ,满足约束条件 ???
??-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数y x z -=3的取值范围是
A ．]6,23[-
B ．]1,23[--
C ．]6,1[-
D ．]2
3,6[- 6. 执行右面的程序框图，如果输入4=a ，那么输出的n 的值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7. 若[
,]42ππ
θ∈
,sin 2θ=,则sin θ= A ．35 B ．45 C
D ．34
8. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+，
当13-<≤-x 时，2
()(2)f x x =-+，当31<≤-x 时，
x x f =)(。则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++???+=
A ．335
B ．338
C ．1678
D ．2012 9. 函数x
x x
y --=
226cos 的图像大致为
10. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为23，双曲线12
2=-y x 的渐近线与椭圆C 有四
个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
A ．12822=+y x
B ．161222=+y x
C ．141622=+y x
D ．15
202
2=+y x 11. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为
A ．232
B ．252
C ．472
D ．484 12. 设函数)0,()(,1
)(2≠∈+==
a R
b a bx ax x g x
x f 且，若)(x f y =的图像与)(x g y =的图象有且仅有两个不同的公共点),(),,(2211y x B y x A ，则下列判断正确的是 A ．当0 2121>+<+y y x x B ．当0+y y x x C ．当0>a 时，0,02121<+<+y y x x D ．当0>a 时，0,02121>+>+y y x x 13. 若不等式24≤-kx 的解集为}31|{≤≤x x ，则实数=k 14. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，F E ,分别为线段C B AA 11,上 的点，则三棱锥EDF D -1的体积为 。 15. 设0>a .若曲线x y =与直线0,==y a x 所围成封闭图形的面积为2 a ， 则=a 16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在)1,0(，此时圆上一点P 的位置 在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于)1,2(时，的坐标为 17. 已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2 A m x n x x A ==> ，函数()f x m n = 的最大值为6 Ⅰ）求A ；Ⅱ）将函数)(x f y =的图象向左平移 12 π 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象。求)(x g 在]24 5, 0[π 上的值域。 18. 在如图所示的几何体中，四边形A B C D 是等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠= ， FC ABCD ⊥平面，AE BD ⊥，CB CD CF == （Ⅰ）求证：BD AED ⊥平面； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值。 19. 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 3 4 ，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 2 3 ,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX 。 20. 在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）对任意* m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项 和m S 。 21. 在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一 象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3 4 。 （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 说明理由； （Ⅲ）若点M 1 :4 l y kx =+ 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122 k ≤≤时，22 AB DE +的最小值。 22. (本小题满分13分) 已知函数ln ()x x k f x e += （k 为常数，e =2.71828……是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行。 （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：对任意2 0,()1x g x e -><+ 2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学参考答案 1—12： ACACA BDBDD CB 13.2 14. 16 15.4 9 16.(2sin 2,1cos2)-- 17. （本小题满分12分） 已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2 A m x n x x A ==> ，函数()f x m n = 的最大值为6 Ⅰ）求A ；Ⅱ）将函数)(x f y =的图象向左平移 12 π 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象。求)(x g 在]24 5, 0[π 上的值域。 解：Ⅰ）1()sin cos cos22cos2)sin 2226A f x m n x x x A x x A x π? ?=?=+=+=+ ?? ? ， 因为0A >，由题意知：6=A （Ⅱ）由(Ⅰ）()6sin(2)6 f x x π =+将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位后得到： 函数6sin[2()]6sin(2)1263 y x x πππ =++=+的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数6sin(4)3 y x π =+的图象。 因此()6sin(4)3g x x π=+当]245, 0[π∈x 时，]1,21 [)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ， 故函数()g x 在5[0,]24 π 上的值域为]6,3[-. 另解：由)34sin(6)(π+=x x g 可得)3 4cos(24)(π +='x x g ，令0)(='x g ， 则)(234Z k k x ∈+=+πππ，而]24 5,0[π ∈x ，则24π=x ， 于是36 7sin 6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======π ππππg g g ， 故6)(3≤≤-x g ，即函数()g x 在5[0,]24 π 上的值域为]6,3[-. 18.（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ，60DAB ∠= ，FC ABCD ⊥平面， AE BD ⊥，CB CD CF == （Ⅰ）求证：BD AED ⊥平面； （Ⅱ）求二面角F BD C --的余弦值。 解析：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知: 202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-??-+=, 即AD CD BD 33==,在ABD ?中，∠DAB=60°，AD BD 3= ， 则ABD ?为直角三角形，且DB AD ⊥。又AE ⊥BD ，?AD 平面AED ，?AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD ⊥平面AED ； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知CB AC ⊥，设1=CB ，则 3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐 标系，)0,2 1 ,23( ),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量. 设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量，则 ?????=?=00m ,即?????=-=-0 02323z y y x ， 取1=y ，则1,3==z x ，则)1,1,3(=m 为平面 BDF 的一个法向量 . 5 55 1,cos = = >= 5 5。 19. 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 3 4 ，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 2 3 ,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率； （Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX 解：（Ⅰ）36 7323141)31(43122=???+?=C P ； （Ⅱ）5,4,3,2,1,0=X 91 323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=?===?===?==C X P X P X P , 1 )2(3)5(,1)2(1)4(,1213)3(2212=?===?===?==X P X P C X P EX=0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3= 12 312=. 20.在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(9,9)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项 和m S 。 解析：（Ⅰ）由a 3+a 4+a 5=84，a 5=73可得,28,84344==a a 而a 9=73，则9,45549==-=d a a d ， 12728341=-=-=d a a ，于是899)1(1-=?-+=n n a n ，即89-=n a n . （Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，m m n 29899<-<，则89 9892+<<+m m n ， 即9 8 9989 121 +<<+ --m m n ，而*N n ∈，由题意可知11299---=m m m b ， 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m m b b b S 8980198019109819809991919 1991212122 12m m m m m m m m -+=+?-=---=-----=++++， 即8 9801912m m m S -+=+. 21.在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象 限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3 4 。 （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在， 说明理由； （Ⅲ）若点M 1 :4 l y kx =+ 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当 122 k ≤≤时，22 AB DE +的最小值。 解析：（Ⅰ）F 抛物线C ：x 2 =2py （p ＞0）的焦点F )2,0(p ，设M )0)(2,(0200>x p x x ，),(b a Q ，由题意 可知4p b =，则点Q 到抛物线C 的准线的距离为==+=+p p p p b 4 3 24234，解得1=p ，于是 抛物线C 的方程为y x 22=. （Ⅱ）假设存在点2 00(,)2 x M x 0(0)x >满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为： 002 0'|()'|2x x x x x y x ====，所以直线MQ 的方程为：2000()2x y x x x -=- 令14y =得00124Q x x x =+，所以0011(,)244 x Q x + 又MQ OQ =，故2 222000001111 ()()()42424216x x x x x -+-=++ 因此2 2 019()4216 x -=，又00x > ，所以0x M （Ⅲ）当0x = 1( )84Q ,圆Q 的半径为：r == 所以圆Q 方程为：22127 (()8432 x y - +-= 由21214 y x y kx ? =????=+??整理得：22410x kx --=，设,A B 两点的坐标分别为：),(),,(2211y x B y x A ， 由于2112121680212k x x k x x ? ??=+>?+=???=-? 所以]4))[(1(212 2122x x x x k AB -++=)24)(1(22++=k k 由22127(()84321 4 x y y kx ?-+-=??? ?=+?? 整理得：221(1)016k x x +-= 设,D E 两点的坐标分别为3344(,),(,)D x y E x y 由于22342342270484(1)116(1)k x x k x x k ??=+>???+=?+? ?=- ?+? 所以222 34342 251(1)[()4]8(1)4DE k x x x x k =++-=++， 因此2222 2251(1)(42)8(1)4 AB DE k k k +=+++++，令 ]5,45[12∈=+t k 所以22 2 2 2 2 2 32251251(1)(42)(42)428(1)8484 k AB DE k k t t t t k t t ++=+++=-++=-+++， 设2 251()4284g t t t t =-+ +，225()828g t t t '=--， 当]5,45[∈t 时，5()'()604g t g '==>，即函数()g t 在5 [,5]4t ∈上是增函数。 即当21,45==k t 时min 13 ()2g t =. 故当21=k 时，22 min 13()2 AB DE += 22.(本小题满分13分) 已知函数ln ()x x k f x e += （k 为常数，e =2.71828……是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行。 （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：对任意20,()1x g x e -><+ 解：由ln ()x x k f x e += 可得= ')(x f 1ln x kx x x xe --，(0,)x ∈+∞， 而0)1(='f ，即01=-e k ，解得1=k ； （Ⅱ）=')(x f 1ln x kx x x xe --，令()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞ 当10< e >， 所以10< f x >；当1>x 时，'()0f x <。 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数；在),1(+∞内为减函数。 简证（Ⅲ）2 1ln 1()() (1ln )x x kx x x x g x x x x x x xe e --+=+=--，(0,)x ∈+∞ 因此对任意0x >，2 ()1g x e -<+等价于21ln (1)1 x e x x x e x ---< ++ 由（Ⅱ）()1ln h x x x x =--，(0,)x ∈+∞ 所以2'()ln 2(ln ln )h x x x e -=--=--，(0,)x ∈+∞ 因此当2(0,)x e -∈时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当2 (,)x e -∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减。 所以()h x 的最大值为22 ()1h e e --=+ 故2 1ln 1x x x e ---≤+ 设()(1)x x e x ?=-+ 因为0'()1x x x e e e ?=-=- 所以(0,)x ∈+∞时，'()0x ?>，()x ?单调递增， ()(0)0x ??>= 故(0,)x ∈+∞时，()(1)0x x e x ?=-+> 即 11 x e x >+ 所以2 21ln 1(1)1x e x x x e e x ----≤+< ++ 因此对任意0x >，2 ()1g x e -<+