不定积分例题及参考答案
不定积分例题及参考答案第4章不定积分
内容概要
课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
思路: 被积函数52
x -
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
53
2
2
23x dx x C -
-==-+?
★(2)dx
-
?
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+????
★(3)2
2x x dx +?
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++?
??（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+??
★★(5)422331
1
x x dx x +++?
思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
分别积分。
解：4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2
2
1x dx x +? 思路:注意到22222
111
1111x x x x x
+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：22
21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?
34
134（-
+-）2 思路:分项积分。 解：34
11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-
+-）2 223134
ln ||.423
x x x x C --=--++ ★(8)
23(
1dx x -+?
思路:分项积分。 解：
2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?
?
★★(9)
思路=？111
7248
8
x x ++==，直接积分。
解：
715
8
88
.15
x dx x C ==+?
?
★★(10)
221
(1)dx x x +?
思路:裂项分项积分。 解：
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21
1
x x
e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11
x x x x x
x
x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x
e e =
（）。 解：333.ln(3)
x x
x
x
e e dx e dx C e ==+??
（）
（） ★★(13)2cot xdx ?
思路:应用三角恒等式“22
cot csc 1x x =-”。 解：2
2
cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+?
?
★★(14)23523x x
x
dx ?-?? 思路:被积函数 235222533
x x x
x
?-?=-（），积分没困难。 解：2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ?-?=-=-+-??（（）） ★★(15)2cos 2
x dx ? 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++?? ★★(16)1
1cos 2dx x
+?
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++??? ★(17)cos 2cos sin x
dx x x
-?
思路:不难，关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-??
★(18)22
cos 2cos sin x
dx x x
?? 思路:同上题方法，应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x
x x x x -==-?????? 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+??
★★(19)dx ?
思路:注意到被积函数
==
，应用公式(5)即可。
解：
22arcsin .dx x C ==+?
★★(20)21cos 1cos 2x
dx x
++?
思路:注意到被积函数 2222
1cos 1cos 11
sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。 解：221cos 11tan sec .1cos 2222
x x x dx xdx dx C x ++=+=++?
?? ★2、设()arccos xf x dx x C =+?
，求()f x 。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()d
f x dx f x dx =?
即可。 解：等式两边对x 求导数得：
()()xf x f x =∴=
★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+?
所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++?
（）。
★4、证明函数21,2
x x e e shx 和x
e chx 都是s x e chx hx -的原函数
知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。
解：
2x x e e chx shx =-，而22[][][]x x x x d d d
e e shx e chx e dx dx dx
===1()2
★5、一曲线通过点2
(,3)e ，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：
1
[()]d f x dx x
=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2
(,3)e 在曲线上，适合方程，有2
3ln(),1e C C =+∴=， 所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+
★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是2
3(/)t m s ，问： （1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
（2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：()y f t =， 则由速度和位移的关系可得：
23[()]3()f t t f t t C =?=+d
dt
， 又因为物体是由静止开始运动的，3
(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。 (1) 3秒后物体离开出发点的距离为:3
(3)327f ==米； (2)
令3
360t t =?=秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：234111
(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212
dx d x xdx d x x dx d x =
-=--=-
2222
111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255
112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x =
==--===+
2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟
练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★（1）3t
e dt ?
思路:凑微分。 解：33311(3)33
t
t t
e dt e d t e C =
=+?
? ★(2)3
(35)x dx -?
思路:凑微分。
解：3
3411
(35)(35)(35)(35)520
x dx x x x C -=---=--+??d
★(3)1
32dx x
-?
思路:凑微分。 解：
1111(32)ln |32|.322322
dx d x x C x x =--=--+--?? ★(4)
思路:凑微分。
解：12
3
3
111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+??? ★(5)(sin )x b
ax e dx -?
思路:凑微分。
解：11
(sin )sin ()()cos x
x x
b
b b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a
-=-=--+???
★★(6)
思路:如果你能看到t
d =，凑出d 易解。
解：
2C
==+?
★(7)10
2
tan sec x xdx ?
思路:凑微分。 解：10
210111
tan sec tan (tan )tan .11
x xdx xd x x C ==
+?
? ★★(8)
ln ln ln dx
x x x ?
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：
(ln ||)(ln |ln |)
ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+???
★★(9)tan ?
思路:
是什么，是什么呢？就是
解：ln |C ==-+?
?
★★(10)
sin cos dx
x x ?
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin 22sin cos x x x =。
2csc 22ln |csc 2cot 2|sin cos sin 2dx dx
xd x x x C x x x ===-+???
方法二：将被积函数凑出tan x 的函数和tan x 的导数。
22cos 11sec tan ln |tan |sin cos sin cos tan tan dx x dx xdx d x x C x x x x x x ====+????
方法三： 三角公式2
2
sin cos 1x x +=，然后凑微分。
22sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin dx x x x x d x d x dx dx dx x x x x x x x x +==+=-+??????
ln |cos |ln |sin |ln |tan |x x C x C =-++=+ ★★(11)
x x dx e e -+?
思路:凑微分：222111()x x x
x x x x x dx e dx de de e e e e e -===
++++。 解：22arctan 11()
x x x
x x x x dx e dx de e C e e e e -===++++??? ★(12)2
cos()x x dx ?
思路:凑微分。 解：2
222
11cos()cos sin 22
x x dx x dx x C =
=+?
?
★★(13
)
思路:
22==凑微分易解。 解
：
1
2222
11(23)(23)66x d x C -=-=---=?
★★(14)2cos ()sin()t t dt ωω?
思路:凑微分。
解：2
2
2
1
1
cos ()sin()cos ()sin()cos ()cos()t t dt t t d t t d t ωωωωωωωω
ω=
=-
?
??
31
cos ().3t C ωω
=-
+ ★★(15)3
4
31x dx x
-? 思路:凑微分。
解：3344
4444433431313(1)ln |1|.4444
1111x x dx dx dx d x x C x x x x ===--=--+----???? ★(16)
3sin cos x dx x ?
思路:凑微分。 解：
332sin 111
cos .2cos cos cos x dx d x C x x x
=-=+?? ★★(17
)
9
思路:经过两步凑微分即可。 解
：
9
10
10
10111010C ===+?
★★(18)
思路:分项后分别凑微分即可。
解
：=-
2
2
121
4
238
121
94
238
12
arcsin().
23
x
x
x
x
x
C
=-
=+-
=+
）
★★(19)
2
21
dx
x-
?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。
解
：
2
1
212
dx
dx
x
==-
-
??
1)1).C
=
=-+=+?
★(20)
2
(45)
xdx
x
-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解：
222
1454111
4(45)
(45)5(45)2545(45)
xdx x
dx d x x x x x
--
=-=------
???
（）（）
2
1141141
(45)(45)ln|45|.
254525252545
(45)
d x d x x C
x x
x
=---=-++ --
-
??
★(21)
2
100
(1)
x dx
x-
?
思路:分项后分别凑微分即可。
解：
222
100100100100100
(11)(1)(1)1
(2)
(1)(1)(1)(1)(1)
x dx x dx x x
dx x x x x x
-+--
==++
-----
???
9899100
111
(2)(1)(1)(1)(1)
d x x x x =++----? 979899
111111
.97(1)49(1)99(1)C x x x =-
--+---
★★(22)
81xdx x -?
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
2
8444444111111()()241(1)(1)1111
xdx xdx xdx dx x x x x x x x ==-=---+-+-+???? 222224222
2222211111111[()][(1)(1)]42811111
11111ln ||arctan .484()11dx d x d x x x x x x x dx x C x x =
--=--+-++-+--=-+++???? ★(23)3cos xdx ?
思路:凑微分。cos sin xdx d x =。
解：3222cos cos cos cos sin (1sin )sin xdx x xdx xd x x d x =?==-????
31
sin sin 3
x x C =-+
★★(24)2
cos ()t dt ω?+?
思路:降幂后分项凑微分。 解：2
1cos 2()11
cos ()cos 2()2()224t t dt dt dt t d t ω?ω?ω?ω?ω
+++=
=+++?
??? 11
sin 2()24t t C ω?ω
=
+++ ★★★(25)sin 2cos3x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解：111
sin 2cos3(sin 5sin )sin 55sin 2102
x xdx x x dx xd x xdx =
-=-?
??? 11
cos5cos 102
x x C =-
++ ★★★(26)sin5sin 7x xdx ?
思路:积化和差后分项凑微分。 解：111sin 5sin 7(cos 2cos12)cos 22cos12(12)2424
x xdx x x dx xd x xd x =
-=-?
??? 11
sin 2sin12.424
x x C =-+ ★★★(27)3tan sec x xdx ?
思路:凑微分tan sec sec x xdx d x =。
解：3222tan sec tan tan sec tan sec (sec 1)sec x xdx x x xdx xd x x d x =?==-????
231
sec sec sec sec sec 3
xd x d x x x C =-=-+??
★★(28
)
arccos x
思路:
(arccos )d x =-。
解
：
arccos arccos arccos 1010
arccos .ln10
x x
x
d x C =-=-+?
★★(29
)
思路:
(arcsin )d x =。
解
：
2
arcsin 1
arcsin (arcsin )
d x C x x ==-+? ★★★★(30
)
思路:
2arctan =
=。
解
：
==?
2C =+
★★★★(31)
ln tan cos sin x
dx x x ?
思路:被积函数中间变量为tan x ，故须在微分中凑出tan x ，即被积函数中凑出2
sec x ，
22
ln tan ln tan ln tan ln tan sec tan cos sin tan tan cos tan x x x x
dx dx xdx d x x x x x x x
=== 21
ln tan (ln tan )((ln tan ))2
xd x d x ==
解：2ln tan ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan cos tan x x x
dx dx d x xd x x x x x x
===???? 21
(ln tan )2
x C =+ ★★★★(32)
21ln (ln )x dx x x +?
思路:(ln )(1ln )d x x x dx =+ 解：
22
1ln 11
(ln )ln (ln )(ln )x dx d x x C x x
x x x x +==-+?? ★★★★(33)
1x dx e -?
解：方法一：
思路:将被积函数的分子分母同时除以 x
e ，则凑微分易得。
11()(1)ln |1|1111
x x x x
x x x x dx e dx d e d e e C e e e e -------==-=--=--+----???? 方法二：
思路:分项后凑微分
11111x x x x x x dx e e e dx dx dx e e e -+==+---????1(1)1x x
x d e e =---? ln |1|ln(|1|)x
x
x
x e C x e e C -=--+=--+
(ln ln |1|)x
x
x e e C -=---+ln |1|x e C -=--+
方法三：
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 x
e ，裂项后凑微分。
111ln (1)1(1)(1)11x x x x
x x x x x x x x x dx e dx de de e d e e e e e e e e e ??===+=--??-----??
????? ln |1|x
x e C =--+ln |1|x
e C -=--+
★★★★(34)
6(4)dx x x +?
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
6656666141411(4)4(4)4(4)44dx dx x x dx x dx x x x x x x x x ??
+-===- ?++++??
???? 66611(4)11
ln ||ln ||ln |4|4244424
d x x x x C x +=-=-+++? 方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令1
x t =，则2
1
dx dt t =-
。 66626
666611(4)1(41)()12424(4)14144114
ln(14)ln(1).
2424dx t d t d t dt x x t t t t
t C C x
+∴=?-=-=-++++=-++=-++???? ★★★★(35)
82(1)dx
x x -?
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
8822482828221(1)(1)(1)(1)(1)(1)1dx x x x x x dx
dx dx x x x x x x x -+-++==+----???? 2468
1(1)(1)x x x dx
dx x x x +++=+-+?? 8642
211111
(
)1dx dx x x x x x =++++-?
?
753111111ln 75321x C x x x x x
-=-
----++ 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令1x t =
，则21
dx dt t
=-。 88642
822222
11()(1)1(1)11
1dx t t dt dt t t t dt x x t t t t
∴=?-=-=-++++----???? 642642
2753751111(1)(
)(1)()2111
11111111111111ln ||ln ||75321753321t t t dt dt t t t dt dt t t t t x t t t t C C
t x x x x x =-+++-=-+++---+---=-----+=-----+++????3、求下列不定积分。
知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。
2222sin cos 1;sec tan 1.x x x x +=-=
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。 ★★★(1
)
思路:令sin ,2
x t t π
=<，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。
解：令sin ,2
x t t π
=<
，则cos dx tdt =。
22cos sec 1cos 1cos 222cos 2
tdt dt dt t t
dt t t d t t t ∴==-=-=-++?????
tan arcsin .2t t C x C =-+=
（或1arcsin x C x -=-
+） （万能公式sin 1cos tan
21cos sin t t t
t t
-==+，又sin t x =
时，cos t =） ★★★(2)
dx x
?
思路:令3sec ,(0,)2x t t π
=∈，三角换元。
解：令3sec ,(0,
)2
x t t π
=∈，则3sec tan dx t tdt =。
223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec 3
3tan 33arccos .
||t dx t tdt tdt t dt
x t t t C C x ∴===-=-+=+????
（3sec x x =
时，3
cos ,sin ,tan 3
x x x x
x ==
=） ★★★(3
)
思路:令tan ,2
x t t π
=<，三角换元。 解：令tan ,2
x t t π
=<
，则2
sec dx tdt =。
23sec cos sin sec sec tdt dt tdt t C C t t ∴====+=+??? ★★★(4
)
思路:令a tan ,2
x t t π
=<，三角换元。 解：令tan ,2x a t t π
=<
，则2
a sec dx tdt =。
233222sec 11
cos in sec sec .
a tdt dt tdt s t C
a t a t a a C ∴====+=
+???
★★★★(5
)
2
思路:先令2
u x =，进行第一次换元；然后令tan ,2
u t t π
=<
，进行第二次换元。
解
：222412x
x =
+?，令2u x =得：
212=，令tan ,2
u t t π=<，则2
sec du tdt =，
2
2
2
11tan11tan1
sec sec
22tan sec2tan
111
(csc sec)ln sec tan ln csc cot
222
11111
ln ln.
2222
t t
tdt tdt
t t t
t t dt t t t t C
u C x C
u
++
∴===
?
=+=++-+
=++=+
??
?
（与课本后答案不同）
★★★(6
)
思路:三角换元，关键配方要正确。
解：22
549(2)
x x x
--=-+，令23sin,
2
x t t
π
+=<，则3cos
dx tdt
=。
2
1cos21
9cos99(sin2)
224
92
arcsin.
23
t t
tdt dt t C
x
C
+
∴===++
+
=
??
★★4、求一个函数()
f x,
满足'()
f x=(0)1
f=。
思路:
(0)1
f=确定出常数C的值即可。
解
：(1).
1
x C
x
=+=+
+
?
令()
f x C
=+，又(0)1
f=，可知1
C=-，
() 1.
f x
∴=
★★★5、设tan,
n
n
I xdx
=?，求证：1-2
1
tan
1
n
n n
I x I
n
-
=-
-
，并求5
tan xdx
?。
思路:由目标式子可以看出应将被积函数tan n x分开成22
tan tan
n x x
-，进而写成：22222
tan(sec1)tan sec tan
n n n
x x x x x
---
-=-，分项积分即可。
证明：222222 tan(tan sec tan)tan sec tan
n n n n n n
I xdx x x x dx x xdx xdx
----==-=-
????
2122544253142421
tan tan tan .1111
5tan tan tan tan 442
1111
tan tan tan tan tan ln cos .4242
n n n n xd x I x I n n I xdx x I x x I x x xdx x x x C ----=-=
--===-=-+=-+=--+???时，
习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。
思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 ★（1）arcsin xdx ?
思路:被积函数的形式看作0
arcsin x x ，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数0
x 优先纳入到微分号下，凑微分后仍为dx 。 解
：21arcsin arcsin arcsin (1)2xdx x x x x x =-=+
-??
arcsin .x x C =+
★★（2）2
ln(1)x dx +?
思路：同上题。
解：22
2
2
22
22ln(1)ln(1)ln(1)11x x x dx x x x dx x x dx x x
+=+-=+-++??? 22
2
2
222(1)2ln(1)ln(1)2211ln(1)22arctan .
x dx x x dx x x dx x x x x x x C +-=+-=+-+++=+-++??? ★（3）arctan xdx ?
思路：同上题。
解：222
(1)
arctan arctan arctan 121dx d x xdx x x x x x x x +=-=-++???1
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
定积分典型例题20例答案(供参考)
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
不定积分例题及答案 理工类 吴赣昌
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
不定积分例题及答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成
正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
经济数学(不定积分习题及答案)
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2222[()]'[()]'=2()x x x x x x e e e e e e ---+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是32π ，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 2 '()1f x x = - '2(arcsin )1x x = -因为 '2()()d arcsin 1f x f x x x C x ===+-?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知''()2y f x x == 因为 2 ()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
§4不定积分习题与答案
第四章 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3)23( ２） ? -3 32x dx ３）dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx
５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122x dx 12）dx x ?3cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+2 39 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７） ?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）? xdx x ln 2 ４）dx x e x ? -2 sin 2
不定积分例题及答案
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？
不定积分_定积分复习题与答案
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
最新不定积分习题与答案
精品文档不定积分（Ａ） １、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１） ?dx2?dx)(x?22x1?４）３） 2x ??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos 13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７） ２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５） ?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７） 3x3 x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９） dx?3?dxxcos21?2x12）11 ） 3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13) ??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15) 3x1 ??dxdx)x?(x12x?117) 18) x2arccos arctanx10 精品文档． 精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１） ?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３） 2x24x? dx dx??32)1(x?x21?６）５） dxdx??22?1?x1?x1?x７）８） ４、求下列不定积分（分部积分法） ??xdxarcsinxsinxdx１）２） x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）
?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22 ５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１） 3x?2?dx210??3xx２） dx?2)?x(x1 3 ） （Ｂ） 2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。时函数值为 精品文档． 精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。xsin??dxx(xf) )(xfx。4、设，求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?2２）１） 1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?３）４） dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a６）５）xarctan xe?dx lnx ?3dx2)?x(12x1x?ln）8 7） ?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) １）（Ｃ）求以下积分x xe dx ?dx?dx341x?x2e４）３） 5x x earctan ??dxdx8xxsincos?1?x５）６） 5x?xxxsincos 精品文档． 精品文档不定积分第四章 答案习题 （Ａ）321?cx??c??23x（２）１、（１）
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V
(完整版)定积分习题及答案
第五章 定积分 (A 层次) 1．?20 3 cos sin π xdx x ； 2．?-a dx x a x 2 2 2 ； 3．?+3 1 2 2 1x x dx ； 4．?--11 45x xdx ； 5．? +4 1 1 x dx ； 6．?--1 4 3 1 1x dx ； 7．? +2 1 ln 1e x x dx ； 8．? -++0 222 2x x dx ； 9．dx x ?+π02cos 1； 10．dx x x ?-π πsin 4 ； 11．dx x ?- 22 4 cos 4π π； 12．?-++5 5242 312sin dx x x x x ； 13．?3 4 2sin π πdx x x ； 14．?41ln dx x x ； 15．?10xarctgxdx ； 16．?20 2cos π xdx e x ； 17．()dx x x ? π 2 sin ； 18．()dx x e ?1 ln sin ； 19．?- -24 3 cos cos π πdx x x ； 20．?+4 sin 1sin πdx x x ； 21．dx x x x ?+π02cos 1sin ； 22．?-+21 11ln dx x x x ； 23．?∞+∞-++dx x x 42 11； 24．?20sin ln π xdx ； 25．( )() ?∞+++0 211dx x x dx α ()0≥α。 (B 层次) 1．求由0cos 0 =+??x y t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数 dx dy 。 2．当x 为何值时，函数()?-=x t dt te x I 0 2 有极值？ 3． () ?x x dt t dx d cos sin 2 cos π。 4．设()??? ??>≤+=1,2 11,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。
不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ?x x dx 2 ３）dx x ?-2)2( ４）dx x x ?+22 1 ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(?+ ８） dx x x x )1 1(2?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １）dx x ?-3 )23( ２） ? -3 32x dx ３） dt t t ? sin ４）? )ln(ln ln x x x dx ５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2? ８）dx x x ?-43 13 ９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11）?-122 x dx 12）dx x ? 3 cos 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31
17)dx x x ? -2 arccos 2110 18) dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ? sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,2 22 a dx x a x ５）? +3 2)1(x dx ６）?+ x dx 21 ７） ?-+2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?-2sin 2 ５）? xdx x arctan 2 ６）? xdx x cos 2 ７）? xdx 2 ln ８） dx x x 2cos 2 2? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １）dx x x ?+33 ２）?-++dx x x x 1033 22 3）?+)1(2x x dx （Ｂ）
不定积分-定积分复习题及答案-精品
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）